2019-2020年高考数学一轮总复习2.8函数与方程教案理新人教A版

1、2019-2020年高考数学一轮总复习2.8函数与方程教案理 新人教A版典例精析题型一确定函数零点所在的区间1【例1】已知函数f(x) = x+ Iog2x，冋方程f(x) = 0在区间匕，4上有没有实根，为什么？411117【解析】因为 f () = + Iog2 ； = 2= 0,444 441f(4) = 4+ Iog24 = 4+ 2 = 60, f(玄并 0，又 f(x) = x+ Iog2x 在区间玄，4是连续的，一 1-1所以函数f(x)在区间玄,4上有零点，即存在 c 4, 4，使f(c) = 0,1所以方程f(x) = 0在区间4, 4上有实根.【点拨】判断函数f(x)的零点

2、是否在区间(a , b)内，只需检验两条：函数 f(x)在区间(a , b)上是连续不断的；f(a)f(b) 0.【变式训练1】若x0是函数f(x) = x + 2x 8的一个零点，贝U x0(表示不超过x0的最大整 数)=.【解析】因为函数 f(x) = x + 2x 8在区间(一8,+ )上是连续不间断的单调递增函数，且f(2)f(3) 0,得知 f(x) = x2 + mx+ (m 2) 0 有两个 不同的零点. 因为函数f(x) = x 4 + log2x在区间(0,+)上是连续不间断的单调递增函数，且 f(2)f(3)0，所以函数f(x)在区间(0 ,+8)上存在唯一的零点.【点拨】

3、判断函数的零点个数有以下两种方法：(1)方程f(x) = 0的根的个数即为函数 f(x)的零点个数； 函数f(x)与x轴的交点个数，即为函数f(x)的零点个数；特殊情况下，还可以将方程f(x) = 0化为方程g(x) = h(x)，然后再看函数y = g(x)与y= h(x) 的交点个数.【变式训练2】冋a为何值时，函数f(x) = x3 3x+ a有三个零点，二个零点，一个零点？【解析】f (x) = 3x2 3 = 0,得 x1 = 1, x2= 1,此时 f(x)有极大值 f( 1) = 2 + a,极 小值f(1) = 2 + a.由图象(图略)得知： 当2 a 2时，函数f(x)有三

4、个零点；当a= 2或a= 2时，函数f(x)有两个零点；当a 2时，函数f(x)有一个零点.题型三利用导数工具研究函数零点问题【例 3】设函数 f(x) = x3 + 2x2 4x + 2a.(1)求函数f(x)的单调区间； 关于x的方程f(x) = a2 在 3,2上有三个相异的零点，求a的取值范围.【解析】(1)f (x ) = 3x2 + 4x - 4.2由 f (x) 0，得 xv 2 或 x3；由 f (x) v 0，得一2vxv-.2故f(x)的递增区间为(g, 2)、(3，+),2f(x)的递减区间为(一2, 3).3 由 f(x) = a2? x3 + 2x2 4x a2 +

5、2a= 0,令 g(x) = x3 + 2x2 4x a2 + 2a.所以 g (x) = 3x2 + 4x 4. TOC o 1-5 h z 22由(1)可知，g(x)在(g, 2)和(-,+g)上递增，在(2,-)上递减，故g(x)在3,3222和, 2)上为增函数，在2, 上为减函数.33关于x的方程f(x) = a2在3,2上有三个不同的零点，则g( 3) 3 - a2 I 2,g( 2) = 8 日十 2 口0(#) = 一甥一应 +解得2v aw 1 或 3+50)(卫14)X1.005 冏0,14冬/20,p 卜40心一14)X100-5 600t20#0 得 18W pw 20

6、,当 20Vpw26 时，由 L0 得 20Vpw22,故商店销售价应控制在18w pw 22之内. 当18w pw 20时，L最大=450元，此时，p= 19.5元.当20Vpw22时，L最大=4代|元，此时，p= 2町元.故p= 19.5元时，月利润最大余额为450元.(3)设可在n年内脱贫，依题意得12nX 450 50 000 58 000 0,解得 n20,即最少可望在20年后脱贫【点拨】解答这类题关键是要仔细审题，理解题意，建立相应数学模型，求解时，也可利用导数，此外要注意问题的实际意义【变式训练2】国家税务部门规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过

7、4 000元的按照超过 800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿费的11%纳 税.某人出版了一本书，共纳税 550元，问此人的稿费为多少元？【解析】设纳税y(元)时稿费为x(元)，则j800),yh ( jcKOO)X14% (8004 000).由 y 500 知 x 4 000，所以 xX 11%= 550? x= 5 000 ,所以此人稿费为 5 000元.题型三生活中的优化问题【例3】(xx湖北模拟)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：

8、万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=设f(x)为隔热层建造费用k-(0 wx 10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元,3x+ 5与20年的能源消耗费用之和.(1)求-的值及f(x)的表达式；达到最小？并求最小值隔热层修建多厚时，总费用 f(x)【解析】(1)设隔热层厚度为x cm,由题设，每年能源消耗费用为C(x)k3x + 5，40一.而建造费用为C1(x) 3x + 5最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为40800f(x) = 20C(x) + C1(x) = 20X -+ 6x=-+ 6x(0 wx 10).3x十5x十5再由C(0) = 8得k =

9、 40,因此 C(x)=6x.,2 400 人，(2)f(x) = 6-(57+52，令 f (x) = 0，解得x= 5, x =弓(舍去).当 0v x v 5 时，f (x) v 0 ;当 5v XV 10,即 2 400= 6,(3x + 5)2，故x= 5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5) = 6X 5+- = 70. )15+5当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值【点拨】如果根据数据判断函数的类型，可由数据的变化情况对其单调性、对 称性和特定值进行判断，也可以从所给的部分数据求出模拟函数解析式，再由 其他数据进一步判断.【变式训练3】某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，70万元.2420开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x、y应为x=, y=.x 24 y【解析】如图，由已知有 亦二=7=8,即 4x十 5y 120 = 0,11 4x 十 5yS= xy = 20(4x5y) w %()2 = 180.所以？ x= 15, y= 12.总结提高利用数学模型解决实际问题，运用数学建模思想、不同的函数模型刻画现实世界中不同的增 长变化