电路分析电子教案 第7章

1、本章教学内容第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析动态电路的方程及其初始条件7.1一阶电路的零输入响应7.2一阶电路的零状态响应7.3一阶电路的全响应7.4二阶电路的零输入响应7.5二阶电路的零状态响应和全响应7.6一阶电路和二阶电路的阶跃响应*7.7一阶电路和二阶电路的冲激响应*7.8一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解。1.动态电路方程的建立及初始条件的确定.本章教学重点本章教学学时8学时含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1. 动态电路7.1 动态电路的方程及其初始条件 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。 这个变化过程称为电

2、路的过渡过程/动态过程/暂态过程。下 页上 页特点返 回例0ti过渡期为零电阻电路下 页上 页+-usR1R2（t = 0）i返 回i = 0 , uC= Usi = 0 , uC = 0k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：k未动作前，电路处于稳定状态：电容电路下 页上 页k+uCUsRCi (t = 0)+- (t )+uCUsRCi+-返 回i = 0 , uC= Usi = 0 , uC = 0 k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：k未动作前，电路处于稳定状态：电容电路下 页上 页k+uCUsRCi (t = 0)+- (t )+uCUsRCi

3、+-前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?有一过渡期返 回uL= 0, i=Us /Ri = 0 , uL = 0 k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：k未动作前，电路处于稳定状态：电感电路下 页上 页k+uLUsRi (t = 0)+-L (t )+uLUsRi+-返 回uL= 0, i=Us /Ri = 0 , uL = 0 k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：k未动作前，电路处于稳定状态：电感电路下 页上 页k+uLUsRi (t = 0)+-L (t )+uLUsRi+-前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0?有一

4、过渡期返 回下 页上 页 (t )+uLUsRi+-k未动作前，电路处于稳定状态：uL= 0, i=Us /Rk断开瞬间i = 0 , uL = 工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。这是研究动态电路的主要目的之一。注意k (t )+uLUsRi+-返 回过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化下 页上 页返 回应用KVL和电容的VCR得：若以电流为变量：2. 动态电路的方程下 页上 页 (t 0)+uCUsRCi+-例RC电路返 回应用KVL和

5、电感的VCR得：若以电感电压为变量：下 页上 页 (t 0)+uLUsRi+-RL电路返 回有源 电阻 电路 一个动态元件一阶电路下 页上 页结论 含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。返 回电容电路以电容电压为未知数,电感电路以电感电流为未知数更方便解题。如何确定微分方程的变量？二阶电路下 页上 页 (t 0)+uLUsRi+-CuCRLC电路应用KVL和元件的VCR得： 含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。返 回一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方

6、程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。下 页上 页结论返 回高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。下 页上 页返 回复频域分析法时域分析法求解微分方程经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。下 页上 页返 回动态电路的分析方法根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；3.电路的初始条件本节应掌握的重要知识点：本章解题的难点之一如何求电路中电压或电流的初始值？电压、电流初始条件 （值）的定义？ t = 0与t = 0的概念

7、认为换路在t=0时刻进行0 换路前一瞬间 0 换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为 t = 0时u ，i 及其各阶导数的值。下 页上 页注意0f(t)00t返 回t = 0+ 时刻iucC+-电容的初始条件0下 页上 页当i()为有限值时返 回uC (0+) = uC (0)电感的初始条件t = 0+时刻0下 页上 页当u为有限值时iLuL+-返 回iL(0)= iL(0)L (0+)= L (0)iL(0+)= iL(0)qc (0+) = qc (0)uC (0+) = uC (0)换路定律 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。 换路瞬间，若电容电流保

8、持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。下 页上 页返 回uC (0+) = uC (0)iL(0+)= iL(0) 注意：电感二端的电压、电容流过的电流、电阻中的电压和电流可以跃变。电容电压、电感电流称为独立初始值。独立初始值非独立初始值电感二端的电压、电容流过的电流、电阻中的电压和电流。电路初始值的确定本章的重要知识点和难点.电路初始值的确定（1）画出t0时的等效电路，电容开路、电感短路，求出uC(0-), iL(0-)； （2） 应用换路定律。（3）在换路后的电路（t=t0+时）中，根据置换定理，用电压等于u(t0+)的电压源替代电容元件，用电流等于iL(t0+)的电流源替代电感

9、元件，注意等效的方向；从而求出非独立初始值。 独立电源均取t=t0+时的值。 直接求出独立初始值下 页上 页返 回(2)由换路定律 uC (0+) = uC (0)=8V(1) 由0电路求 uC(0)uC(0)=8V(3) 由0+等效电路求 iC(0+)iC(0)=0 iC(0+)例1求 iC(0+)电容开路下 页上 页+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效电路+-10ViiC10k电容用电压源替代注意返 回iL(0+)= iL(0) =2A例 2t = 0时闭合开关k ,求 uL(0+)先求应用换路定律:电感用电流源替代解电感短路下 页上 页iL

10、+uL-L10VS14+-iL10V14+-由0+等效电路求 uL(0+)2A+uL-10V14+-注意返 回iL(0+) = iL(0) = iSuC(0+) = uC(0) = RiSuL(0+)= - RiS求 iC(0+) , uL(0+)例3解由0电路得：下 页上 页由0+电路得：S(t=0)+uLiLC+uCLRiSiCRiS0电路uL+iCRiSRiS+返 回例4求k闭合瞬间各支路电流和电感电压解下 页上 页由0电路得：由0+电路得：iL+uL-LS2+-48V32CiL2+-48V32+uC返 回12A24V+-48V32+-iiC+-uL求k闭合瞬间流过它的电流值解确定0值给

11、出0等效电路下 页上 页例5iL+20V-10+uC1010iL+20V-LS10+uC1010C返 回1A10V+uLiC+20V-10+1010求初始值的步骤小结:1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0)和iL(0)；2.由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。a. 换路后的电路（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。下 页上 页返 回零输入响应:本节应掌握的知识点:1、零输入响应的定义。2、如何求解RC电路零输入响应。3、如何求解RL电路零输入响应。经典公式法7.2

12、 一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流r的变化情况。7.2 一阶电路的零输入响应1.RC电路的零输入响应已知 uC (0)=U0 uR= Ri下 页上 页iS(t=0)+uRC+uCR返 回特征根特征方程RCp+1=0则下 页上 页代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0A=U0iS(t=0)+uRC+uCR返 回方程的解为:下 页上 页或返 回iS(t=0)+uRC+uCRtU0uC0I0ti0令 =RC , 称为一阶电路的时间常数电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续函数跃变响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;下 页上 页表

13、明返 回时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = RC 大过渡过程时间长 小过渡过程时间短电压初值一定：R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小放电时间长U0tuc0 小 大C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大物理含义下 页上 页返 回a. :电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认为, 经过 35 , 过渡过程结束。U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t0 2 3 5U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 下 页上 页注意返 回 t2 t1 t1时刻曲线的斜率等于U0tuc0t1t2次切距的长度下 页上

14、页返 回b. 时间常数 的几何意义：问题:实验中如何计算时间常数 ?c. 计算时间常数注意的问题特别注意：R为从C二端看进去的戴维宁等效电阻。 = RC零输入响应经典公式法:若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么iS(t=0)+uRC+uCR此公式对任意一阶零输入电路电压或电流均适应。能量关系电容不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕.设 uC(0+)=U0电容放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：下 页上 页uCR+C返 回例1图示电路中的电容原充有24V电压，求k闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：+uC45Fi1t

15、 0等效电路下 页上 页i3S3+uC265Fi2i1返 回如何求时间常数中的R?+uC45Fi1分流得：下 页上 页i3S3+uC265Fi2i1返 回问题:还有其它方法求解电流i1吗？下 页上 页例2求:图示电路k闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，解这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：u (0+)=u(0)=20V返 回u1（0-）=4VuSC1=5F-+-+iC2=20Fu2（0-）=24V250k-下 页上 页uk4F+-i20V250k返 回2. RL电路的零输入响应特征方程 Lp+R=0特征根 代入初始值A= iL(0+)= I0t 0下 页上 页iLS(t=0)USL

16、+uLRR1+-iL+uLR返 回方程的解为:tI0iL0连续函数跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；下 页上 页表明-RI0uLt0iL+uLR返 回响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关;下 页上 页令 称为一阶RL电路时间常数 = L/R时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短L大 W=LiL2/2 起始能量大R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小放电慢， 大 大过渡过程时间长 小过渡过程时间短物理含义电流初值iL(0)一定：返 回工程上认为, 经过 35 , 过渡过程结束。能量关系电感不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕。设 iL(0+)=I0电感放出能量

17、： 电阻吸收（消耗）能量：下 页上 页iL+uLR返 回R为从L二端看进去的戴维宁等效电阻。 = L/RRL电路零输入响应经典公式法:若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么此公式对任意一阶零输入电路电压或电流均适应。iL (0+) = iL(0) = 1 AuV (0+)= 10000V 造成V损坏。例1t=0时,打开开关S，求uv。电压表量程：50V解下 页上 页iLS(t=0)+uVL=4HR=10VRV10k10ViLLR10V+-返 回保护电路:并联一个二极管.例2t=0时,开关S由12，求电感电压和电流及开关两端电压u12。解下 页上 页i+uL66Ht 0iL

18、S(t=0)+24V6H3446+uL212返 回下 页上 页i+uL66Ht 0iLS(t=0)+24V6H3446+uL212返 回一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。iL(0+)= iL(0)uC (0+) = uC (0)RC电路RL电路下 页上 页返 回零输入响应小结:一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。衰减快慢取决于时间常数同一电路中所有响应具有相同的时间常数。下 页上 页 = R C = L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RC电路RL电路返 回零输入响应小结:零状态响应:本节应掌握的知识点:1、零状

19、态响应的定义。2、如何求解RC电路零状态响应。3、如何求解RL电路零状态响应。经典公式法动态元件初始能量为零，由t 0电路中外加激励作用所产生的响应。7.3 一阶电路的零状态响应 方程：7.3 一阶电路的零状态响应 解的形式为：1.RC电路的零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解下 页上 页iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=0+非齐次线性常微分方程返 回与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量）的特解下 页上 页返 回稳态解是电路换路后达到稳定状态时电压的大小。全解uC (0+)=A+US= 0 A= US由

20、初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A下 页上 页从以上式子可以得出：返 回RC电路零状态响应经典公式-USuCuC“USti0tuC0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）下 页上 页表明+返 回响应变化的快慢，由时间常数RC决定； 大，充电慢， 小充电就快。响应与外加激励成线性关系；能量关系电容储存能量：电源提供能量：电阻消耗能量： 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。下 页上 页表明RC+-US返 回例t=0时,开关S闭合，已知 uC(0)=0，求(1)电容电压和电流,(2)

21、 uC80V时的充电时间t 。解(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：(2)设经过t1秒，uC80V下 页上 页50010F+-100VS+uCi返 回2. RL电路的零状态响应已知iL(0)=0，电路方程为：tiL0下 页上 页iLS(t=0)US+uRL+uLR+返 回是电路换路后达到稳定状态时电流的大小。uLUSt0下 页上 页iLS(t=0)US+uRL+uLR+返 回采用经典公式法RL电路电感流过的电流零状态响应的解的形式为：例1t=0时,开关S打开，求t 0后iL、uL的变化规律。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：t 0下 页上 页返 回iL+uL2H10AReqi

22、LS+uL2HR8010A200300例2t=0开关k打开，求t 0后iL、uL及电流源的电压。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：下 页上 页iL+uL2HUoReq+t 0返 回iLK+uL2H102A105u+零状态响应小结RC电路，=RC; RL电路，=L/R。式中R为断开动态元件后的戴维宁等效电路的等效电阻。1、零状态响应解的表达式为：（电感流过电流或电容电压）3、如何求 ？2、如何求时间常数？换路后，电路达到稳定状态时对应的电感电流或电容电压值。附：正弦电压激励下的零状态响应教材P149152。略7.4 一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时产生的

23、响应。以RC电路为例，电路微分方程：1. 全响应全响应下 页上 页iS(t=0)US+uRC+uCR解答为： uC(t) = uC + uC特解 uC = US通解 = RC返 回uC (0)=U0uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US由初始值定A下 页上 页强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)返 回2. 全响应的两种分解方式uC-USU0暂态解uCUS稳态解U0uc全解tuc0全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰下 页上 页返 回全响应 = 零状态响应 + 零输入响应着眼于因果关系便于叠加计算下 页上 页零输入响应零状态响应S(t

24、=0)USC+RuC (0)=U0+S(t=0)USC+RuC (0)=U0S(t=0)USC+RuC (0)= 0返 回零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0下 页上 页返 回3. 三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：令 t = 0+其解答一般形式为：下 页上 页特解返 回 分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。用0+等效电路求解用t的稳态电路求解下 页上 页直流激励时：A注意返 回例t=0 时 ,开关k打开，求t 0后的iL、uL。解这是RL电路全响应问题，有：下 页上 页iLS(t=0)+24V0.6H4+uL8返 回例1已知：t=0

25、 时合开关，求换路后的uC(t)解tuc2(V)0.6670下 页上 页1A213F+-uC返 回例2t=0时 ,开关闭合，求t 0后的iL、i1、i2解三要素为：下 页上 页iL+20V0.5H55+10Vi2i1三要素公式返 回问题：i1、i2能否用三要素法求解？三要素为：下 页上 页0等效电路返 回+20V2A55+10Vi2i1二种方法计算结果一致.三要素公式例3已知：t=0时开关由12，求换路后的uC(t)解三要素为：下 页上 页2A410.1F+uC+4i12i18V+12返 回求等效电阻: (用加压法求解)4+4i12i1u+下 页上 页例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流

26、i(t) 。+1H0.25F52S10Vi解RC电路三要素为：返 回换路后,电路可分解为二个独立的电路,一是RC电路;二是RL电路下 页上 页+1H0.25F52S10Vi返 回RL电路三要素为：二电流叠加例：图示电路原来已经稳定，t=0时闭合开关，求t0的电感电流iL(t)和电容电流iC(t) 考题类型解：换路后,电路可分解为二个独立的电路,一是RC电路;二是RL电路例：电路原已稳定，i2(0)0。t0开关由a接至b，试求t 0的电感电流i1(t)和i2(t)。（15分）考研题类型解：i2(0+)0i1(0+)10Ai+u0.20.4H 初始值f(0+)：利用换路定则和0+等效电路求得。 稳

27、态响应f(): 在直流电源作用下，电路达到稳态时，电容看作开路，电感看作短路，此时电路成为电阻电路。 利用电阻电路的分析方法，求得稳态响应f()。 时间常数：RC电路，=RC; RL电路，=L/R。 式中R为断开动态元件后的戴维南等效电路的等效电阻。三要素法小结7.5 二阶电路的零输入响应本节应掌握的重要知识点：1.二阶电路的微分方程的建立。2.二阶电路的微分方程解题方法。下 页上 页返 回7.5 二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0 i(0+)=0已知：1. 二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：电路方程：以电感电流为变量：下 页上 页RLC+-iuc返 回特征方程：电路方程：以电容电压为

28、变量时的初始条件：uC(0+)=U0i(0+)=0以电感电流为变量时的初始条件：i(0+)=0uC(0+)=U0下 页上 页返 回方程的解为:2. 零输入响应的三种情况过阻尼临界阻尼欠阻尼特征根：下 页上 页返 回下 页上 页返 回U0tuc设 |P2|P1|下 页上 页0电容电压返 回t=0+ ic=0 , t= ic=0ic0 t = tm 时ic 最大tmic下 页上 页tU0uc0电容和电感电流返 回如何求? 从图中可知,uc,i始终不改变方向,而且有uc0,i0,表明电容在整个过程中一直释放储存的电能,因此称为非振荡放电,又称为过阻尼放电.RLC+-U0uctm2tmuLic0 t

29、0，t tm i 减小, uL 0t=2 tm时 uL 最大下 页上 页t0电感电压返 回如何求?RLC+-iC=i 为极值时，即 uL=0 时的 tm 计算如下:由 duL/dt 可确定 uL 为极小时的 t .下 页上 页返 回能量转换关系0 t tm uC减小 ，i 减小.下 页上 页RLC+-RLC+-tU0uCtm2tmuLiC0返 回uc 的解答形式：经常写为：下 页上 页共轭复根返 回0下 页上 页，的关系返 回t=0 时 uc=U0uC =0：t = -，2- . n- t-2-20U0uC下 页上 页返 回t-2-20U0uCiC uL=0：t = ，+，2+ . n+ic=0：t =0，2 . n ，为 uc极值