2021-2022学年高二物理竞赛课件：流体力学的动量积分关系式

1、流体力学的动量积分关系式边界层的动量积分方程是对边界层内流动的再简化。其推导过程有两种方法：一种是沿边界层厚度方向积分边界层的方程组，一种是在边界层内直 接应用动量守恒原理。下面的推导采用第二种方法。在这一节里，将利用边界层流动的特点如流体的粘度大小、速度与温度梯度大和边界层的厚度与物体的特征长度相比为一小量等对N-S方程进行简化从而导出层流边界层微分方程。在简化过程中，假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量力，则流动的控制方程N-S方程为： （8-27）二维流动无量纲方程组为忽略第二方程最后一项、第三方程除压强项的其他项 。设 ,在边界层内式中111可得普朗特边界层方程组第三式表明边界层内y

2、方向压强梯度为零，表明外部压强可穿透边界层直接作用在平板上。外部压强由势流决定第二式得到简化（x方向二阶偏导数消失），有利于数值计算。利用该式可计算壁切应力和流动阻力。说明：将上述方程组无量纲化。为此考虑如图所示的一半无穷绕流平板，假定无穷远来流 的速度 ，流动绕过平板时在平板附近形成边界层，其厚度为 ，平板前缘至某点的距离为 。取 和 为特征量，可定义如下的无量纲量： / / / / /（ ）代入方程组（827），整理后得： （8-28）式中雷诺数 与 相比较是很小的 ，即 或 / 1，同时注意到， 与 、 与 、 与 具有同一数量级，于是 、 、 和 的量级均为1，并可以得到： 1 1 1

3、 为了估计其他各量的数量级，由连续性方程可得： 1因此 ，于是又得到： 1 通过分析方程组（828）各项的数量级，方程组（828）中第二式中各惯性项可以忽略掉 ，同时可以略 去 、 、 。于是在方程组（828）的粘性 项中只剩第一式中的一项 。 如果仅保留数量级为1的项，而将数量级比1小的各项全部略去，再恢复到有量纲的形式，便可以得到层流边界层的微分方程组为： （8-29） 沿边界层上缘由伯努利可知： 常数 上式对 求导，得： 这样，层流边界层的微分方程又可写为： （8-30） 方程组（830） 即为在物体壁面为平面的假设下得到的边界层微分方程 。 对平板边界层前部取控制体OABC, AB为一

4、条流线，压强梯度为零，壁面上粘性切应力合力为FD为动量厚度。对 FD求导可得由动量方程由连续性方程边界层动量积分方程或称为卡门动量积分方程，适用于无压强梯度的平板定常层流和湍流边界层流动。用壁面摩擦系数表示当有压强梯度存在时，方程形式为为位移厚度, U=U (x)为外流速度 动量积分方程的特点是建立了阻力与动量厚度（及位移厚度）的关系。由于动量厚度是速度的二次表达式 的积分，对速度廓线形状不很敏感，可用近似的速度廓线代替准确的速度廓线，使计算大为简化。边界层动量积分方程的推导如图所示为不可压缩流体的定常二维边界层流动 ，设物体表面型线的曲率很小。 取一个单位厚度的微小控制体，它的投影面ABDC

5、 。用动量定理来建立该控制体内的流体在单位时间内沿x方向的动量变化和外力之间的关系。 边界层动量积分方程的推导设壁面上的摩擦应力为 根据边界层的控制方程组，边界层内的压强仅近似地依赖于 而与 无关，设AB面上的压强为 ，DC上的压强为 控制面AC为边界层的外边界 其外部为理想流体的势流 ，只有与之垂直的压力 ，设AC上的压强为A，C两点压强的平均值 。作用在控制体上的表面力沿方向的合力为： 边界层动量积分方程的推导式中为边界层外边界AC与方向的夹角，由几何关系可知： ，上式经整理并略去高阶小量，得：单位时间内沿方向经过AB流入控制体的质量和动量分别为：经过CD面流出的质量和动量分别为：定常流动条件下，可知从控制面AC流入控制体中的流量为：由此引起流入的动量为： 边界层动量积分方程的推导式中V为边界层外边界上的速度。这样可得单位时间内该控制体内沿x方向的动量 变化为根据动量定理， ，则可得边界层的动量积分方程为： 上式也称为卡门动量积分关系式。该式是针对边界层流动在二维定常流动条件下导出的，并没有涉及边界层的流态，所以其对层流和紊流边界层都能适用。 积分方程的求解实际上可以把 、 和 看作已知数，而未知数只有 、 和 三个。 再补充两个关系式： 一、沿边界层厚度的速度分布 = (y) 二、切向应力与边界层厚度的关系式 一般在应用边界层的动量