2021-2022学年高二物理竞赛课件：流体力学平面势流

1、流体力学平面势流C2.1 引言(工程背景)1. 欧拉运动方程 （无粘）兰姆葛罗米柯方程（无粘)2. 欧拉积分（无粘、无旋 正压、重力 、定常）伯努利积分（无粘、无旋不可压、重力、定常）常数 (全流场）常数 （全流场） 斯托克斯定理（封闭曲线、涡束）开尔文定理（无粘、正压、有势力）（沿封闭流体线）C2.2 一般概念(2-2)例 有自由面的势涡：无旋流伯努利方程已知: 涡量处处为零的涡旋运动称为势涡（参见C2.4.3），速度分布为 v=v0=C/r，C为常数，r为径向坐标。求： 若势涡具有自由面（例如河中的水旋，见图）， 试确定自由面方程。 解： 势涡流场为无旋流场，伯努利方程在全流场成立，在任意

2、高度的两点上流体微元的总能量守恒。设自由面的水平边界渐近线为z=z 0，渐近线的无穷远点与自由面上的任意点有关系式 在水平边界上r0，v0=c/r00；且在自由面上，ps=p0，由上式可得 将v=C/r代入上式可得自由面方程为旋转双曲线方程 C2.3 速度势与流函数名称 : 势函数(x,y) 条件: 无旋流引入:定义:等值线: =C (等势线)性质: 等势线与速度垂直流函数(x,y)平面不可压缩=C (流线）,流线与等势线正交C2.3 速度势与流函数例 90角域流的速度势和流函数(2-1) 已知: 90角域流的速度分布式为：u=kx,v=ky（k为常数）。 求：（1）判断该流场是否存在速度势，

3、若存在请确定其形式并画等势线图； （2）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图； 解：（1）先计算速度旋度 上式中C为常数。速度势函数为 说明流场是无旋的，存在速度势(x, y)，由（C2.3.2）式 (a)等势线方程为x2y2=常数，在xy平面上是分别以第一、三象限角平分线和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如上图中的虚线所示。 （2）再计算速度散度 说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数(x,y)，由（C2.3.11）式 上式中C为常数，流函数为 流线方程为xy=常数，在 xy平面上是分别以 x, y轴为渐近线的双曲线族，如上图中的实线所示。x, y轴也是流线，称其

4、为零流线。流线族与等势线族正交。 (b)例 90角域流的速度势和流函数(2-2) 平面势流平面流存在速度势无旋流不可压缩存在流函数 平面势流与基本解 挑选一些基本解i(i)，叠加后若满足边界条件即是所求之解。 均流物理背景 全流场以等速( U )做平行直线流动速度分布势函数流函数 点源与点汇物理背景当源汇位于A点当源汇位于原点O点源（Q 0）：流体从一点均匀地流向各方向; 点汇（Q 0）：流体从各方向均匀地流入一点。C2 点涡物理背景 与平面垂直的直涡线（强度为）诱导的流场。当点涡位于A点当点涡位于原点O当偶极子位于原点等势线=C流线 =C物理背景 点源点汇无限接近(0)形成的流场。 （偶极矩

5、M = Q= 常数，源汇）例 兰金半体绕流：均流+点源(2-1)已知: 位于原点的强度为Q（Q0）的点源与沿x方向速度为U的均流叠 加成一平面流场。求： （1）流函数与速度势函数；（2）速度分布式；（3）流线方程； （4）画出零流线及部分流线图。解： （1）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为 （2）速度分布式为 （3）流线方程为 C 取不同值代表不同流线，零流线的一部分为该流场绕流物体的轮廓线。(a)(d)(c)(b)(e)通过驻点A（-b,0）的右半部分零流线由A点的流函数值决定 （4）零流线的左半支是负x轴的一部分（=），驻点A（-b,0）由 下式决定零流线方程为 零流线及部分流线如右上图所示，右半部分所围区