10.2事件的相互独立性 课件（共26张PPT）

1、10.2 事件的相互独立性 我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A、B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢? 下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.复习引入事件的关系或运算含义符号表示概率表示包含并事件(和事件)交事件(积事件)互斥(互不相容)互为对立A发生导致B发生A与B至少一个发生A与B同时发生A与B不能同时发生A与B有且仅有一个发生ABAUB或A+BAB或ABAB=AB=,AUB=P(A)P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(A)P(B)P(A)+P(B)=1？ 前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率

2、性质,还研究过和事件的概率计算方法.对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗?P(A+B)=P(A)+P(B) 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗? 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”. 试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”. 对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否

3、不影响事件B发生的概率. 对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.探究新知 在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”， 则样本空间为 积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.由古典概型概率计算公式，得=(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)，包含4个等可能的样本点.思考1.试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”. 分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现?而A=(1,1),(1,0)，B=(1,0),

4、(0,0)，所以AB=(1,0).P(A)=P(B)=P(AB)= 于是有P(AB)=P(A)P(B). 在试验2中，样本空间=(m,n)|m,n1,2,3,4，包含16个等可能的样本点.而思考2：试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”. 分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现?A=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)，B=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1

5、),(3,2),(4,1),(4,2)，AB=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)，积事件AB的概率P(AB)也等于P(A)与P(B)的乘积.所以P(A)=P(B)=P(AB)= 于是也有P(AB)=P(A)P(B). 通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件 根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生 由于P(A)=P(A)=P(A)P()，P(A)=P()=P(A)P()成立因此，必然事件、不

6、可能事件与任意事件A相互独立 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)相互独立事件的定义：探究：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立吗？ 对任意两个事件A与B，如果 P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.性质1.必然事件、不可能事件与任意事件A相互独立探究：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立? 以有放回摸球试验为例,验证A与 , 与B, 与 是否独立,你有什么发现? 我们就先以试验2来验证：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式

7、从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”, B=“第二次摸到球的标号小于3”. 12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)n(B)=8，n( )=8，n( )=4，n( )=4，n( )=4，所以P(A )=P(A)P( )=P( )P( B)=P(B)=易得，n()=16，n(A)=8，n( )=8，P( )P( )=P( )=因此A与 ， 与B， 与 是独立的.第二次第一次对于A与 ，因为A=ABA ，而且AB与A 互斥，所以P(A)=P(

8、ABA )=P(AB)+P(A )=P(A)P(B)+P(A )P(A )=P(A)-P(A)P(B)=所以P(A)(1-P(B)=P(A)P( )由事件的独立性定义，A与 相互独立.注意：我们知道，如果三个事件A、B、C两两互斥， 那么概率加法公式 P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立； 但当三个事件A、B、C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.类似地，可以证明事件 与B， 与 也都相互独立.我们再用理论来验证：性质2.若事件A与B相互独立，则A与 , 与B, 与 也都相互独立.(1)不可能事件与任何一个事件相互独立.()(2)必然事件与任

9、何一个事件相互独立.()(3)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.()(4)一枚硬币掷两次,A=“有正面向上,也有反面向上”,B=“最多一次反面向下”,则A,B相互独立.()1.判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” .提示：一枚硬币掷两次的样本点为(正,正),(正,反),(反,正),(反,反), 这时A=(正,反),(反,正)，B=(正,正),(正,反),(反,正)，AB=(正,反),(反,正)，于是P(A)=, P(B)=, P(AB)=.由此可知P(AB)P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立.练习思考：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚

10、正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬币朝上的面相同”，A、B、C中哪两个相互独立？典例分析事件独立性的判断例1.判断下列各对事件A与B是不是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件A“从甲组中选出1名男生”与事件B“从乙组中选出1名女生”；(2)掷一枚骰子一次，事件A“出现偶数点”与事件B“出现3点或6点”(3)一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次. 事件A=“第一次摸出球的标号小于3”与事件B=“第二次摸出球的标号小于3”.典例分析解:(1)“从

11、甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件(2)A2,4,6，B3,6，AB6，所以P(A)3/61/2，P(B)2/61/3，P(AB)1/6，所以P(AB)P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立典例分析事件独立性的判断例1.判断下列各对事件A与B是不是相互独立事件：(3)一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次. 事件A=“第一次摸出球的标号小于3”与事件B=“第二次摸出球的标号小于3”.典例分析B=(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，

12、(4,2)，解：(3)因为样本空间=(m,n)|m,n1,2,3,4，且mn，A=(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，此时P(AB)P(A)P(B)AB=(1,2)，(2,1).所以P(A)=P(B)=P(AB)=因此，事件A与事件B不独立.归纳：事件独立性的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响(2)定义法：P(AB)=P(A)P(B) A与B相互独立(3)转化法:判断A与B是否相互独立, 转化为判断A与 ,与B,与 是否具有独立性.练习1.1.有以下三个问题:掷一枚骰子一次,事件M=“出现的点数为奇数”,事件N=“出现的点数为

13、偶数”;袋中有除颜色外都相同的3个白球和2个黑球,依次不放回地摸出两个球, 事件M=“第1次摸到白球”,事件N=“第2次摸到白球”;分别抛掷2枚相同的硬币,事件M=“第1枚为正面”,事件N=“两枚结果相同”.这三个问题中,M,N是相互独立事件的有()A.3个B.2个C.1个D.0个C2.【2021年新高考卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A.甲与丙相互独立B.甲与丁

14、相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立练习1.B典例分析求相互独立事件的概率归纳：求相互独立事件的概率1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤： (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生 1.变设问在本例条件不变下，求三人均未被选中的概率练习2.练习2.解：例3. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 .在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各

15、轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.设A1、A2分别表示甲两轮猜对1个、2个成语的事件，B1、B2分别表示乙两轮猜对1个、2个成语的事件.根据独立性假定,得P(A1)=P(A2)=P(B1)=P(B2)=P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=设A=“两轮活动星队猜对3个成语”，则A=A1B2A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2、A2与B1分别相互独立，所以因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是 .典例分析相互独立事件概率的实际应用归纳：求较为复杂事件的概率的方法 已知两个事件A,B,那么: (1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.2.对事件分解时

16、,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义. (2)A,B中至多有一个发生为事件 .(3)A,B恰好有一个发生为事件 . (5)A,B都不发生为事件. (4)A,B都发生为事件AB. (6)A,B不都发生为事件 .1.对事件进行分解,一方面分解为互斥的几类简单事件求概率;另一方面分解为独立的事件, 利用事件同时发生(乘法)求出概率.练习3.课堂小结P(AB)=P(A)P(B) A与B相互独立(3)两个事件独立与互斥的区别两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有

17、影响一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提课本P250习题10.2 第4题，第3题作业：2.甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和 ,求:(1)两个人都译不出密码的概率;(2)恰有1个人译出密码的概率;(3)至多1个人译出密码的概率.(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”,所以至多1个人译出密码的概率为解：记“甲独立地译出密码”为事件A,“乙独立地译出密码”为事件B, A与B为相互独立事件,且P(A)=, P(B)=.(1)两个人都译不出密码的概率为P( )=P()P()=1-P(A)1-P(B)= P(A B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=(2)恰有1个人译出密码包括甲译出乙未译出以及甲未