理数导数压轴题：极值点偏移问题的不等式解法

1、极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：a,b Rab a2ba22b2等号成立的条件是a b我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：abln a lnb 那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式a b, a b ，ababln a ln bab2不妨设 a b，设 a bx，则原不等式变为：x12(x 1)x1ln xx1x题目1： ( 2015长春四模题)已知函数f (x) ex ax有两个零点x1 x2，则下列说法错误的是C. x1x2 1 D.有极小值点x0，且x1 x2 2x0A. a eB. x1 x2 2Cf (x)导函数：f (x) ex a有极值点x ln a，而

2、极值f (lna) a alna 0， a e， A 正确 .f (x) 有两个零点：ex1 ax1 0，ex2 ax2 0，即：x1ln a ln x1 -得：x2lna ln x2x1x2l n x1l nx2根据对数平均值不等式： TOC o 1-5 h z x1x2x1x212121 x1x22 ln x1ln x21 2x1 x22 ，而 1x1x2 ，x1x2 1 B 正确， C 错误而 +得：x1x22ln a ln x1x2 2ln a ，即 D 成立 .题目2： ( 2011 辽宁理)已知函数f x ln x ax2 (2 a)x.若函数 y f x 的图像与x轴交于 A,B

3、 两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f x003 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设A(x1, f (x1) ，B(x2,f (x2)，x1x2，则x0 x12x2，ln x1 ax12 (2 a)x1 0 ln x2 ax22 (2 a)x2 0 x1x20-得：lnx1ln x2a(x1x2)(x1x2)(2a)( x1x2)0，化简得：a(x1 x2 ) (2 a) ln x1 ln x2而根据对数平均值不等式：x1x2x1x2ln x1ln x22等式代换到上述不等式x1x2a(x1 x2 ) (2 a) 22ax0 (2 a)x0 根据

4、：2ax0 (2 a)x0 0(由得出)式变为：22ax0 (2 a)x0 1 0(2x0 1)(ax0 1) 01(2x0 1) 0，x0，x0在函数单减区间中，即：af (x0) 0题目3：(2010 天津理)已知函数f x xe x x R .如果x1x2，且fx1f x2 .证明：x1 x2 2.【解析】原题目有3 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设 f(x1 )f(x2)c，则x1c ，x2c，(x1x2) 两边取对数e1 e2ln x1 x1ln c ln x2 x2 ln c -得：x1 x2ln x1 ln x2根据对数平均值不等式 T

5、OC o 1-5 h z x1 x2x1 x21ln x1 ln x2x1 x22题目4： ( 2014 江苏南通市二模)设函数f xex ax a a R ，其图象与x 轴交于A x1,0 B x2,0 两点，且x1 x2 .证明： fx1x20(f x 为函数 f x 的导函数).【解析】根据题意：ex1 ax1 a 0， ex2 ax2 a 0移项取对数得：x1ln( x1 1) ln a x2 ln( x2 1) ln a -得：x1 x2 ln( x1 1) ln( x2 1)，即：(x1 1) (x2 1)1ln(x1 1) ln(x2 1)根据对数平均值不等式：(x1 1) (x

6、2 1)(x1 1)(x2 1)12112ln( x1 1) ln( x2 1)(x1 1)(x2 1) 1ln(x1 1)(x2 1) 0，+得：x1 x2 2ln a ln( x1 1)(x2 1) 2ln a根据均值不等式：x1x2x1x2ln a2f (x)在 ( ,ln a)单调递减f (x1x2 ) 0题目5： 已知函数f (x) xln x与直线y m交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.x1ln x1ln x2ln x1x1 x2m()ln x1 ln x2x1x2mln x1ln x2ln x1 ln x21求证： 0 x1 x22ex1 ln x1m ，x2 ln x

7、2m，可得：mx2ln x2 + 得：根据对数平均值不等式x1 x2m(ln x2 ln x1) ln x1 ln x2x1x22ln x1ln x2(x1 x2 )利用式可得：m(ln x1 ln x2 ) m2ln x1 ln x2ln x1ln x2y m 与 y xlnx 交于不同两点，易得出则m 02 ln(x1 x2 )2 lne0 x1x212e21.已知后数f （x） =xlnx-x2-x+a （a。）在其定义城内有两个不同的极值点.（I）求a的取值范围,C ）记两个极值点分别为xn石，且. 0.若不等式/6XX2恒【解答】解：（I1由熟意知，的蚊f （力的定义域为（0, +8

8、）,方程f （N）二0在（0. +8）有两个不同根，即方程lnz-H=0在（0. +8）有两个不同根，（坪法一）转化力由数y=ln工与的数y=ax的图象在（0, +8）上有两个不同交点，如右图.可见,若令过原点且切干的故y=】nx因零的直线斜率为k,只须0nk.令切点 A （xo Inxo）.故叱1寸又1 lnxf 故-二一- X。 X。解得.Me,故k,，（解法二）转化为函数g （x）二处与函数尸a的图象在（0, +8）上有两个不同交点. / /、 1 - Inx 又 g (x)=即 0Kx0, xe 时，g? (x) 0,故g （x）在（0, e）上单调增，在3, +8）上单调减.-8,在

9、在 X f +8 时,g (x) f 0 ,故 g(x)农产g (e) =j又g （x）有且只有一个零点是1,且在x-O时，g （x）故g（X）的草图如右图,可见，要想函数g（X）=处与函数y=a的图象在（0, +8）上有两个不同交点.RMiOW.（售法三）令 （s） =lnx-ax,从而转化为函豺S 0）,若人0,可见（ （x） 0在（0,）上但成立，所以6 （x）在（0,仲）单调堵,此时g （x）不可能有两个不冏本点.S a0.在0X0,在 X时 s （X）V。,吸大r，：7）所以g（x在（0.-）上单调艺.在（工，XQ）上单超碱.从而g（X）= lnr - La又因为在?r-0 时, 8

10、 (x) f-8,在在KO时， (x) -8于是只须2 g(X)g:0,即lrA-l0，所以0a1. ae综上所述.0a1. e(II )因为0八 x *2八等价于1 ln&+入Inx：.由(1 )可知x；, x；分别是方程In然- ax=0的两个根，即 Inx产a号, Inx卢ax：所以原式等价于 1+人 0, 0 x：x：.所以原式等价于a，1：.X十八x2X又由 lnx：=ax： Inx；二ax；作差得，In=( X- X-，即 2所以原式等价于X (+ 入)(X 一 X ) 因为0 x：x；,原式恒成立,即13J恒成立.X2X 1+ 人 X2令 t=一- t (0, 1),x2则不等式lnt1时,可见t(0. 1)时，hz (t) 0.所以h (t)在t (o,1)上单调增，又