一阶惯性加纯滞后过程的分数阶PID的脆弱性

1、一阶惯性加纯滞后过程的分数阶PID的脆弱性摘要本文对在一阶惯性加纯滞后模型采用的分数阶PID控制器进行了分析。尤其是对控 制器参数对已获得控制系统的鲁棒性和性能的影响的研究。结果表明，这种控制器跟标准 PID控制器比起来更加脆弱，因此用户在整定的时候需要格外的慎重。关键词：分数阶控制器，PID控制，整定，脆弱性1引言众所周知，一个合理的控制系统必须同时兼顾性能和鲁棒性。然而，也应该认识到另外 很重要的一点那就是控制器参数变化对脆弱性的影响，也就是说，控制器参数改变会影响控 制系统的鲁棒性和性能的敏感程度。这个问题已经在其他文章中提及（见，例,1）,尤其在2强调基于三的最小化设计技术，H：:和规

2、范服从于高阶的健壮性（yield to high-order robust），最优的但极其脆弱的控制器， 换言之，控制器系数非常小的变化会导致不稳定的系统。然而，在3,4 中指出，这个问题可 以通过采用合适的控制器参数来解决。就如在工业界使用最广的整数阶PID，这类控制器的脆弱性已经被解决。其中，为了是 控制器参数向量弋在给定的范围内的稳定域最大化，作者建议调整整数阶PID控制器的参 数。然而典型的工业性能的测量（关系到对设定值的跟踪和对负载干扰的抑制任务）并不考 虑。并且，在图7 中显示，这种办法已经被应用到一阶惯性加纯滞后模型，产生了与采用 Ziegler-Nichols阶跃响应方法相似的

3、调谐，从各方面看都是有改善的。因此，在文献中已被公认，研究整数阶PID的一个主要原因就是让使用者明白怎样调整 好控制器10,11,12。换句话说，整数阶PID的参数有明确的物理含义，操作者可以通过修改 它们来改变控制系统的性能。在文中，当参数微调对评估鲁棒性和性能的敏感性很有用。为 此，引入了一个叫做脆弱性环的图形化工具，它可以对评估控制器的鲁棒性/脆弱性提供了 一种可视化帮助。近年来，一些学术和工业界团体对分数阶PID控制器很感兴趣，因为他们在控制系统设 计中能够更灵活（仅有5个参数需要整定）（见，例14-17）。许多不同的整定规则也在文 中提及，以方便使用他们（见，例。18-23）。本文中

4、，采用分数阶PID使一个（可能是分 数阶）动态系统稳定的问题已经在文献中解决（见，例，224,25,26）对这种控制器的，现 在才开始进行部分研究。尤其在27,28中，分数阶PID控制器的整定需要考虑在参数空间的 容许区域内，所以会得到一个不脆弱的控制器的结果。然而，评估控制器脆弱性的主要目的 之一就是评估鲁棒性/性能对参数调整到额敏感性。其实，为了促进分数阶PID控制器在工业设备上的使用，另外，也应当建立良好的整定 规则和调整控制器参数的明确指导准则，以使操作者对他们有信心。因此，本文的目的就是 提供一种分数阶PID控制器的脆弱性分析，和整数阶PID作比较，以明白他们的不同之处， 应当考虑从

5、给定的调整开始参数的调整。（should be taken into account in the adjustment of the parameters starting from a given tuning）。为此，在23,29中讲到的整定规则，就是为了使 综合绝对误差最小，取决于最大灵敏度，这适用于分数阶PID和整数阶PID。它们对设定值 的跟踪和负载干扰的抑制任务的整定规则都考虑到了。它们也有很重要的特性因为可以在时 间单元改变时控制动作不变。这些整定规则，适用于涉及鲁棒性和性能的脆弱性分析时。需 要强调的是，计算所得的脆弱性取决于控制系统的标称参数，同时为了获得客观的比较，我 们

6、选取了解决最优问题的整定规则，所以可能增加了调整分数阶PID控制器参数的难度，至 于整数阶PID，从一种给定的已明确解决的正定规则开始。通过同时更改所有参数或者只改变其中一个保持其他参数不变来估计脆弱性。后一种方 法是为了研究究竟哪个参数对控制器的脆弱性影响更大。本文组织如下。用来评估脆弱性的基本定义在第二部分中会有回顾，还有整数阶PID和 分数阶PID控制器的整定规则。与鲁棒性有关的脆弱性分析在第三部分中介绍，与性能有关 的脆弱性分析在第四部分中介绍，第五部分进行相关讨论，第六部分得出结论。2脆弱性指数脆弱性符号在10,11,12中介绍，为了阐明和介绍结果中用到的符号，这部分有简单回 顾。单

7、位反馈控制系统（见图1），过程（假定是自动控制的）用P表示，控制器用C表示。 本文中控制器是分数阶PID控制器，既可以串联形式描述|火）=*厂笋二TiSA TfS 1也可以用并联形式在两种表达方式中，二一是比例增益，:是积分时间常数，二是微分时间常数，入和p是 相互独立的积分和微分的非整数阶。注意两种形式都很重要，因为不太可能将二者进行相互转换，除非:云r二和舄=P29。为了执行分数阶PID控制器，著名的Oustaloup连续整数阶逼近，用到了分数 阶差分积分器的逼近中。本文中，为了在频域范围em.逼近分数阶差分积分器，使用了16个极点和零点。二和卷分别选取0.0001二和10000*：，*.

8、是穿越频率。值得注意的是，使用的极点和零点的数量将导致需要使用高性能的控制器，实际上分数阶控制器可以通过更 低阶的整数型的来逼近。尽管如此，考虑到本文的目的就是分析分数阶控制器的脆弱性，同 时为了取得更好的逼近效果，较高的计算成本是可以接受的。近似和开环传递函数的想法 用这种方法区别不大，这些频率对闭环系统的动态有明显的影响。同样需要强调的是，为了使串联和并联的控制器更合理，附加一个一阶滤波器，通过这种方式选择时间常数二，这样高频噪声会被滤除掉不至于对控制器的动态产生较大的影响。最后，考虑Oustaloup逼近， 唯一的分数部分就是微分动作p （如果p 1,则p -1）的逼近，整数阶的滤波器足

9、以保证控 制器的性能。然而，同样需要强调的是选择入=p =1，就得到一个整数阶PID控制器。本文中仅仅为了比较（分析主要集中在FOPID控制器上），认为整数阶PID是串联形式的。（注意与它下面的结果描述的采用整定规则导致：=.-，因此总可以认为是一个等效的理想的整数阶PIO控制器，最理想的整数阶PID控制器是唯一的）（note that with the employed tuning rules described below it results Ti 4Td and therefore anequivalent IOPID controller in ideal form can alw

10、ays be considered, i.e., the optimal IOPIDcontroller is unique）。典型的控制规范要求，预定义的性能实在对设定值的跟踪和负载 的干扰抑制下获得的。两种情况下，跟阶跃响应有关的典型的性能指标是综合绝对误差，通 常同时需要小的超调量和短的稳定时间，定义如下h= 倍（圳成=/IW） W）戏，（4）JoJo是设定值信号，y是过程变量。从另一个角度看，控制器动态过程的改变其稳健性也是很重要。一个常用的测量系统稳 健性的方法就是敏感性最大化（maximum sensitivity），它描述了环路传递函数在奈奎斯特 图临界点（-1,0）最小距离反转

11、，定义如下Ms max -，（5）3 丘0,十 8）1 + C（s）_P（s）因为这个原因，由于受到最大灵敏度的约束23,29，同时为了使、最小化，具体的正定 规则已针对（1）-（3）每个控制器进行设计。尤其，二者对设定值的跟踪和负载干扰的抑 制任务已经分开单独考虑，每一个任务选择1=1.4和=2.0，（与积分和不稳定过程有关 related to integral and unstable processes的整定规则在34中提及）通常，分数阶PID显示出 比整数阶PID更好的性能。通过使积分器的整数阶阶次来提升效果。至于鲁棒性和性能 的脆弱性是可以评估的。分数阶PID控制器的参数矢量用壬来

12、表示（也就是分数阶PID控制参D0数二=Kp,互,Td，A,如整数阶PID控制器=Kp, Ti，Td，）当控制参数收到扰动导致失去鲁棒性，可用EEm*来描述，其定义如下(6)| _ m州叫（1 土&戒） 1 R% = _ = W） 当一一二是极端最高灵敏度，控制器的所有参数相对于他们的标称值;的变化相同的:圣，这时系统的鲁棒性最可能失去。相反的，二，三是标称敏感性，也就是说敏感性是从标称的控制器上获得的(the nominal sensitivity, that is,the sensitivity obtained with the nominal controller)。这显示出，指标指控

13、制器绝对鲁棒性不脆弱(absolutely robustness-non-fragile)。然而，认识到参数的合理变化范围高达20%。因为这个原因， 如果它的三二二0.10，则控制器有稳健的韧性(robustness resilient)，如果插：-二0.50，鲁棒性不脆弱，如果XI二0.50，则鲁棒性脆弱。评估单独一个参数对鲁棒性脆弱性的影响也很重要。为此，Parametric-Delta-Epsilon-Robustness-Fragility Index定 义为叩畛 _1 _ maxAfs(l 土 辰)眇丹)R% =可 T =M) T跟前一个相似，当控制器参数收到扰动(再次强调，正定规则

14、使整体绝对误差最小) 控制系统性能的失去(the loss of performance)可用 D elta-Epsilon-Performance-Fragility Index来描述，定义如下jmPFI& = -1 =maxJe(lx(w) 这里的/心是极限性能(extreme performance)，二是标称性能，控制器参数；.变化L对控制系统性能脆弱性的影响可以用Parametric-Delta-Epsilon-Performance- FragilityIndex来表示d图1：控制方案PFi$ =玲 _ 1 = max(l 斗&)p展?) _JR飓)跟鲁棒性情况相似，假定一个20%

15、的合理的阈值范围，如果性能脆弱性指数低于FE二- -，认为控制器性能有韧性，如果次二-：，二则认为不脆弱，疽_二：芝：则 脆弱。备注1.值得强调的是脆弱性指数很明显依赖于整数阶PID或分数阶PID参数的调整，由于 这个原因并为了提供有意义的结果，对比分数阶PID和整数阶PID控制器和优化相同的性能指 标，选择参数很重要。3鲁棒性脆弱性已经对串联形式和并联形式的分数阶PID控制器的脆弱性进行评估，所得结果与整数阶 PID控制器作比较。尤其分数阶PID已经考虑。它们通过传递函数来描述P（s）=尸s + 丁 *（1。）然后，标准增益K=1，和不同的标准的滞后的不同值L/T在0.1,1区间，采用能够使

16、对设 定值和负载干扰抑制响应的整体绝对误差最小的整定规则。在两种情况下，目标最大灵敏度 的值设定为K1.4或=2.0。这样，为每个过程和三个控制器中的每一个，考虑了四种情况four （cases have been Considered），r-二指数被用于不同L值得计算，经过反复考虑 参数的所有可能变化的情况。为了简短，只有与正常（nirmalized）滞后L/T=0.5的结果。这种情况下，假定K=1， T=1，L=0.5，得到了对于不同的控制参数，控制参数在表1中。实际上，与其他过程相 关的结果与它们非常相似。结果在图2中，在这里需要指出，当数据丢失，也就意味着 整个控制系统不稳定。因此，很

17、容易注意到，分数阶3ID控制器（包括串联和并联形式） 相较于整数阶PID控制器，鲁棒性更脆弱（因此，好的整定规则很重要）。为了更好地 而评估单个参数对控制器的影响，Parametric-Delta-Epsilon-Robustness-Fragility Index -*-二也被用于计算不同的控制器参数，结果 在图3-7中（注意整数阶PID控制器不包括参数A and ），表明如果一个参数调整好后，其 他任何情况，分数阶PID控制器鲁棒性的脆弱性不太重要，微分项的分数阶数才是最危险的 （the most dangerous parameter），尤其当采用的为了获取更积极的控制器（aggress

18、ive controller）的整定规则。（也就是，选取目标二2，：），当采用并联形式分数阶PID的时 候。会在第五部分进行相关讨论。4性能脆弱性分析鲁棒性脆弱性的方法同样用到了性能的脆弱性分析上。为分数阶PID过程和三个控 制器分别采用四种不同的整定规则，不同的二计算三匚_【。跟正常的滞后L/T=0.5的过程相关 的结果在图8中显示。性能脆弱性的结论与鲁棒性脆弱性的结论相同。分数阶ID控制器（尤 其是并联形式），比整数阶PID控制器对参数的变化更加敏感，所以很好的整定至关重要。为 每个参数评估Parametric-Delta-Epsilon-Performance-Fragility Ind

19、ex-（见图9-13），可以推断出分数阶PID控制器的积分项对分数阶次的变化更敏感，导数项比其他参数更敏感（it can be deduced that the FOPID controllers are more sensitive for changes in the fractional order of the integral and, most of all, of derivative terms than in the other parameters.）%T.TdArOPIl) seriesSP 1.41.10600.98390.15541L2SP 2.01.66981.02

20、S10.197511.1LD L40.78180.46830.261711.1LD 2.01.11820.42360.310511.1FOP ID parallelSP 1.41.33071.17650.13841L1578SP 2.02.08501.25070.17571L1351LD L41.27860.88240.168611.1351LD 2.02.36110.90790.14401L1525OPID seriesSP 1.40.86760.81270.2074SP 2.01.47080.95680.2347LD 1A0.63691.00810.3031LD 2.01.0070.410

21、60.3304表1：例子中控制器在L/T=0.5时的参数，针对不同的控制任务，设定值跟踪（SP）。负 载干扰抑制（LD），最大灵敏度1.4和2.0。SP 1.4SP 2.0Se5sLD 1.4LD 2.0图2：（：）是串联形式分数阶PID控制器RF的结果，（口 ）是并联形式分数阶PID控制器顶二的结果，（）是整数阶PID控制器，顶部左侧：调整的设定点= 1-0顶部 右侧：调整的设定点= - 30底部左侧：调整的负载干扰- = 1-0底部右侧：调整的负载干扰=二。图3： （ ）是串联形式分数阶PID控制器的结果，（口 ）是并联形式分数阶PID控制器顶二的结果，（）是整数阶PID控制器，顶部左侧：

22、调整的设定点= 1-0顶 部右侧：调整的设定点乙=二。底部左侧：调整的负载干扰- = l-o底部右侧：调整的负载干扰二=二。图4： （ ）是串联形式分数阶PID控制器R.F：的结果，（口）是并联形式分数阶PID控制器顶二的结果，（）是整数阶PID控制器，顶部左侧：调整的设定点= 1-0顶部 右侧：调整的设定点= - 30底部左侧：调整的负载干扰- = 1-0底部右侧：调整的负载干扰图5： （ ）是串联形式分数阶PID控制器R.F：；：的结果，（口）是并联形式分数阶PID控制器顶二的结果，（）是整数阶PID控制器，顶部左侧：调整的设定点= 1-0顶部 右侧：调整的设定点= - 30底部左侧：调整

23、的负载干扰- = 1-0底部右侧：调整的负载干扰=二。图6： （O）是串联形式分数阶PID控制器R.F上的结果，（口）是并联形式分数阶PID控制器RF：二的结果，（）是整数阶PID控制器，顶部左侧：调整的设定点= 1-0顶部 右侧：调整的设定点二：=二。底部左侧：调整的负载干扰- = 1-0底部右侧：调整的负载干扰工=二图7： （O）是串联形式分数阶PID控制器R.F上的结果，（口）是并联形式分数阶PID控制器顶二的结果，（）是整数阶PID控制器，顶部左侧：调整的设定点= 1-0顶部 右侧：调整的设定点= - 30底部左侧：调整的负载干扰- = 1-0底部右侧：调整的负载干扰制器顶二的结果，（

24、）是整数阶PID控制器，顶部左侧：调整的设定点= 1-0顶部 右侧：调整的设定点= - 30底部左侧：调整的负载干扰- = 1-0底部右侧：调整的负载干扰=二。图9： （O）是串联形式分数阶PID控制器三的结果，。）是并联形式分数阶PID控制器RF：二的结果，（）是整数阶PID控制器，顶部左侧：调整的设定点= 1-0顶部右侧：调整的设定点乙=二。底部左侧：调整的负载干扰- = 1-0底部右侧：调整的负载干扰二-=二图10： （O）是串联形式分数阶PID控制器港三的结果，。）是并联形式分数阶PID控制器RF：二的结果，（）是整数阶PID控制器，顶部左侧：调整的设定点= 1-0顶部右侧：调整的设定

25、点乙=二。底部左侧：调整的负载干扰- = 1-0底部右侧：调整的负载干扰二：=二。图11： （O）是串联形式分数阶PID控制器的结果，。）是并联形式分数阶PID控制器RF：二的结果，（）是整数阶PID控制器，顶部左侧：调整的设定点= 1-0顶部右侧：调整的设定点乙=二。底部左侧：调整的负载干扰- = 1-0底部右侧：调整的负载干扰二=二。图12： （O）是串联形式分数阶PID控制器*上的结果，。）是并联形式分数阶PID控 制器RF：二的结果，（）是整数阶PID控制器，顶部左侧：调整的设定点= 1-0顶部 右侧：调整的设定点二=二。底部左侧：调整的负载干扰- = 1-0底部右侧：调整的负载干扰二

26、-=二图12： （O）是串联形式分数阶PID控制器三的结果，。）是并联形式分数阶PID控 制器RF：二的结果，（）是整数阶PID控制器，顶部左侧：调整的设定点= 1-0顶部 右侧：调整的设定点二：=二。底部左侧：调整的负载干扰- = 1-0底部右侧：调整 的负载干扰了：=二。5讨论前面部分已经指出，分数阶PID控制器的脆弱性主要是由微分项的分数阶次造成的。通 过例证来分析这部分原因，认为过程是业）=上！淤岛（11）采用的整定规则是为目标最大灵敏度为上的负载干扰抑制设计的。并联型分数阶PID控 制器（为了简洁，省略掉了串联型的，但是结果跟并联型的很相似）当参数L二】上二， =】。二，_ 二 ：,

27、：，A= 1, p = 1.153时，整数阶PID控制器取二二，二二， 一 二 ：,33二 从正常情况下的伯德图的分析，很明显分数阶PID控制器允许宽带的增加，在 见图14。至于整数阶PID （分数阶PID控制器的增益穿越频率是,飞.二-二,整数阶PID控制器的穿越频率是., ；.： 二】3）有相同的鲁棒性。这显示出，阶跃响应有更好的性能（见图14）,很明显不能再保证频率响应函数的单调性，因为增加的高频上翻（because of the increased high frequency roll-up），分数阶微分器可能更显著（the fractional differentiator may

28、 exhibits），这暗示控制器阶次的增加。这可以通过考虑环路传递函数的幅值导数来分析。结果D氾Eg即）1心 （1+成2）这里控制器用C（jw）用以下方式描述(18)(10)和Nr() = 1 + T g (|A)+十P cos (|(A + )= TiLcx sm (房人)+sin (券以 + 词)= T uos (*人)+ TjTf心“十 1 cos (A + 1)。(3)= T sin (p) + 霎十 1 sin (|(A+1)和诵罗=cos (A) + Ti7j(A +cos (A + 阳)山削件=幻用成sin 修人)+ T江+ 四sin I -y(A + /x)= Ti-1 CO

29、B A) + TfTf(A + 1 cos (J (A + 1)=局A”*-1 sin (A)+ TiTj(X + 1)lj sin (专(人 + 1)实际上，可以通过评估频率响应函数来进行更深入的分析，当分数阶PID控制器一次更 改一个参数。结果在图15-19中显示。期望的结果在图7和图13中显示，显示出（分数）微分 动作是最重要的一个。尤其，分数阶阶次|J的增加导致灵敏度函数的高频峰值（high-frequency peaks），环路增益的有多路增益穿越频率（to a loop gain with multiple gain crossover frequencies），最终导致不稳定。实际上|J是唯一的能使环路不稳定的参 数