一般均衡模型

1、一般均衡模型第六章我们只讨论了一种或几种商品的市场局部均衡。在局部均衡分析中，某种商 品的供给和需求只取决于该商品的价格，该商品的供求曲线决定了它们的均衡价格，假 定其它商品的价格保持不变，而且不受其它市场的影响。本章中，我们放弃这一假定， 认为所有市场都是相互联系、彼此依存，所有商品的价格都是变量，在这种情况下我们 讨论市场均衡问题，即一般均衡。第一节一般均衡理论概述一、一般均衡的基本假定（1）假定整个经济中有r种产品和乃-,种生产要素，构成完全竞争条件下种商品 市场（，种产品市场和n - r种生产要素市场）。（2）假定整个经济中有H个家庭。每个家庭既是产品的需求者，又是要素的供给者。 家庭

2、的全部收入来自于要素供给，并全部用于消费（购买产品），在收入约束下购买各 种产品使效用最大化。（3）假定整个经济中有K个厂商，每个厂商即是要素需求者，又是产品的供给者。 厂商在生产函数的约束条件下生产各种产品使利润最大化。（4）只考虑最终产品的交换和生产，没有中间产品。二、家庭行为：产品的需求和要素的供给首先，考虑单个家庭对产品的需求和要素供给。用Q%（i=1，2，r）表示家庭h对第i种产品的需求量；用Qj = r +1,n）表 示家庭h对第j种要素的供给量。家庭h的效用取决于它消费的所有产品数量（Q， 乌）和提供的各种要素数量（Q（ +1 %，Qn?,家庭h的效用函数可写作Uh =UhQ1，

3、Qrh；Qg1 妒（7-1-1）用P（i=1，2，r）表示r种产品的价格,P （ j = r +1,.,n）表示n - r种要素的价 格。根据假定，家庭的全部收入来自于要素供给，并全部用于购买r种产品，因此家庭h的预算约束为PQ + + PQ = P Q + + PQ(7.1.2)1 1hr rhr+1 (r+1) hn nh家庭h在预算约束(7.1.2)下，选择最优产品需求量(功,Qh)和最优要素供给量(Qg,Qnh)使效用函数(7.1.1)达到最大。艮口max %=气(Q1h，Q; Q(,“ .，Q(7.1.3)S : P1QS + PrQ = Pr+Q(r+1)h + + PQnh求解极

4、值问题(7.1.3)可得家庭h对各种产品的需求函数为Q = Q (P,P;P ，,P )(7.1.4)ih ih 1 r r+1ni=1，2，r对n - r种要素的供给函数为Q = Q (P,P;P ，,P )(7.1.5)jh jh 1 r r+1nj = r +1,，n从(7.1.4)和(7.1.5)可以看出，家庭对产品的需求量和对要素的供给量依赖于n 种商品(包括r种产品和n - r种要素)的价格。其次，考察全部家庭对产品的需求和对要素的供给，即产品的市场需求和要素的 市场供给。将所有H个家庭对每一种产品的需求加总，即得每一种产品的市场需求，Qd = H Qi=1， 2，rh=1显然，每

5、一种产品的市场需求是n种商品价格的函数，记作Qd = Qd (P,P ;P ,P )(7.1.6)i i 1r r+1ni=1， 2，r将所有H个家庭对每一种要素供给加总，即得每一种要素的市场供给。Qd =歹Qj = r +1,.,nh=1显然每一种要素的市场供给是n种商品价格的函数，记作Qs = Qs (P,P;P ，,P )(7.1.7)j j 1 r r+1nj = r +1,n三、厂商的行为：产品供给和要素需求与前面一样，首先考察单个厂商对产品的供给和要素需求。用Q *(i=1，2，r)表示厂商k对第i种产品的供给量；用Q * (j = r +1,.,n) 表示厂商k对第j种要素的需求

6、量。用丸k表示厂商k的利润，厂商k的利润函数可写作：丸=PQ + . + PQ - (P Q + + PQ )(7.1.8)k 1 1hr rkr+1 (r+1) kn nk厂商k的生产依赖于n - r种要素的投入量，厂商k的生产函数可写作QijQik ( Q“+“k，Qni=1，2，r(7.1.9)厂商k的生产行为是选择最优产品供给量(Q1k,Q,.)和要素需求量(Q(r+1世，Qnk)，在生产函数(7.1.9)的约束下，使利润函数(7.1.8)取最大值。艮口max 丸=PQ + + PQ (P Q + + PQ )k 1 1hr rkr+1 (r+1) kn nks.t : Q沃=QQ心水

7、，Qnk)i=1，2，r求解上述极值问题，可得厂商k的产品供给函数Q 二 Qr ( P,P；P ，,P )(7.1.10)ik lk 1 r r+1ni=1， 2，r和厂商k对要素的需求函数Q = Q (P,P;P ，,P )(7.1.11)jk jk 1 r r+1nj = r +1,n其次，考察全部厂商对产品的供给和对要素的需求，即产品的市场供给和要素的市 场需求。将k个厂商对每一种产品的供给加总，即得每一种产品的市场供给，产品的市场供 给函数为Qs = Y Qi=1，2，rk=1显然，每一种产品的市场供给是n种商品价格的函数，记作Qs = Qs (P,P；P ，,P )i=1，2，r(7

8、.1.12)i i 1 r r+1n将k个厂商对每一种要素的需求加总，即得每一种要素的市场需求，要素的市场需求函数为Qs =五 Qj jkk =1j = r + 1,n显然，每一种要素的市场需求是n种商品价格的函数，记作Qs = Qs（ P,P；P ，,P ） j = r +1,，n j j 1 r r+1n四、产品市场和要素市场的一般均衡（7.1.13）上面我们分别给出了家庭从而市场的产品需求和要素供给，以及厂商从而市场的产品供给和要素需求。现在综合起来考查产品市场和要素市场的一般均衡。（一）产品市场均衡（7.1.6）式给出了产品市场需求函数，（7.1.12）式给出了产品的市场供给函数，对某

9、一特定市场而言，当市场需求等于市场供给时，产品市场处于均衡。即Qd = Qsi=1，2，r或写作Qd（P、，,P= Qsi=1，2，r（7.1.14）（二）市场要素均衡（7.1.7）式给出了要素的市场供给函数，（7.1.13）式给出了要素的市场需求函数，对某一特定市场而言，当市场需求等于市场供给时，要素市场处于均衡。即Qd = Qs j j或写作Qd（P,P）= Qs（ P,P） j = r +1,，n j 1 n j 1 n（三）经济体系的一般均衡模型（7.1.15）要使整个经济体系处于一般均衡，必须是全部产品市场和全部要素市场同时都达到均衡，即n个市场的需求和供给都相等，用模型表示QdQd

10、n（马,Pn）（7.1.16）（7.1.16）式是一般均衡模型。这一模型是否成立，关键在于是否存在一组均衡价格（牛，P* ）使模型等式全部成立。五、瓦尔拉斯定律一般均衡（7.1.16）共有n个方程，同时也有n个变量，即n个价格P1,P。从（7.1.16） 式能否得到n个价格，瓦尔拉斯认为，这主要取决于这n个方程是否独立。但就整个经 济系统而言，所有的收入之和一定等于所有的支出之和，而这一条件与价格的高低无关。由前面第三段和第四段分析，用产品价格P （i = 1,2,r）乘产品的供给量Qs，可得ii全部厂商的收入pQs ；用要素的价格P （j = r +1,n）乘要素的供给量Qs，可得全部 i

11、ijji=1家庭收入pQs，因此整个经济系统的全部收入为 j j j=r+12pqs = 2pqs + 1LPQSllllj jl=1i=1j=r+1同样可得全部家庭购买产品的支出为（7.1.17）pq，全部厂商购买要素的支出为 i=1pQd，因此整个经济系统的全部支出为 jjj=r+1（7.1.18）&Qd = ZpQd + ZpQdl=1 l li =1j=r+1 整个经济系统的全部收入等于全部支出，由（7.1.17）和（7.1.18）式得pQd = EpQs（7.1.19）l ll ll=1l=1（7.1.19）是一个恒等式，这个恒等式被称为瓦尔拉斯定律。由瓦尔拉斯定律可知，在一般均衡模

12、型（7.1.16）中的n个方程并非是相互独立的，其中有一个可由其余n -1个推出。例如，由其余n -1个方程通过瓦尔拉斯定律推出第一 个方程。将瓦尔拉斯定律（7.1.19）式展开如下： TOC o 1-5 h z P -Qd + ZpQd = P Qs + pQs11i i 11i ii=2i=2如果一般均衡模型（7.1.16）中的第2到n的n -1个等式均成立，则上式可简化为:P Qd = P Qs1111即Qd = Q s这就推导出了（7.1.16）中第一个等式成立。因此，在一般均衡模型中，独立方程的个数是n -1。对于（7.1.16）式中的n个变 量，即n个价格P, ,瓦尔拉斯认为，有一

13、个可以作为“一般等价物”来衡量其他 商品的价格。例如，可以让第一种商品的价格为“一般等价物”，令七=1；于是，所有 其他商品的价格就是他们各自同第一种商品交换的比率，或称作针对第一种商品的相对 价格。这样一来，均衡模型（7.1.16）需要确定的是n -1个未知价格。瓦尔拉斯认为， 在一般均衡模型中，由n -1个独立方程可以确定n -1个未知数，即n -1个价格。从而得 出结论：存在一组价格，使得所有市场的供给和需求恰好相等，即整个经济系统处于一 般均衡。瓦尔拉斯一般均衡理论是一般均衡分析的基本思想，但不能从数学上证明均衡价格 的存在性。这是因为方程的个数等于未知数的个数不是方程组有解的充分必要

14、条件，很 可能方程组无解，即使有解，也不可能断定这些解一定是正数值。针对上述问题，后来许多经济学家，如帕累托、希克斯、诺伊曼、萨缪尔森、阿罗、 德布鲁等人针对一般均衡理论给予了改进和发展。尤其是20世纪五、六十年代，阿罗 和德布鲁对一般均衡存在性的公理化证明，更奠定了现代西方经济学中一般均衡理论的 基础。第二节纯交换经济的一般均衡一、纯交换经济一般均衡的基本问题是确定整个经济系统中所有商品的价格。为了说明一般均衡理 论，我们假定经济系统是一个没有生产只有商品和消费的纯交换经济。显然在纯交换经 济中，经济当事人只有消费者，他们既是商品的需求者，又是商品的供给者。假定在纯交换经济中，有n个消费者，

15、k种可交换的商品。为简单起见，假定只有 两个消费者，有两种可交换商品，即n=k=2。记为第i个消费者对第j种商品的初始 拥有量，于是第一个消费者对两种商品的初始拥有量为（气厂修），第二个消费者对两 种商品的初始拥有量为（21，以）。通常消费者并不是按这一最初拥有量进行消费， 假定消费者消费的数量为a.，i=1,2； j=1,2。对整个经济系统而言，消费者消费第一种和第二种商品的数量分别为：Q1 = Q11 + Q21和Q2 = Q12 + Q22。而社会拥有两种商品的数量分别为：气=%+321和2 =气2 +22。因此，满足下列条件的两个消费者的组合(Q1,Q/, i=1，2,为一个可行配置。

16、所谓可行配置就是总消费量小于等于社会总拥有量，在一般情况下取等号Q =3，Q = ( 7.2.1)二、消费者的局部均衡假定消费者选择最优商品组合，使效用最大。这里以第一个消费者为例进行讨论。设效用函数为U 1，两种商品的价格分别为匕和P2，在纯交换经济中，消费者既是商品 的消费者，又是商品的供给者，其收入来源于他可能出售的商品，消费者的收入 TOC o 1-5 h z I = P + P 。假定消费者选择两种商品的数量为Q和Q，消费者在既定收入的 11112121112约束下使效用达到最大化，消费者处于均衡。即max U (Q1, Q12)s -1:PQ + P Q = P + P = I(7

17、.2.2)1 112 121 112 121根据第一章的讨论，解条件极值(7.2.2)，可得消费者对两种商品的需求函数为Q = Q (P, P , I)1111121Q = Q (P, P , I)(7.2.3)1212121该消费函数具有零次齐次性。定义Z 11 = Q11 - 11为消费者(第一个消费者)对第一种商品的超额需求，即消费 者需求商品的数量超过对该商品的拥有量。若Z 11 0，则表示消费者需求商品的数量超 过了该商品的拥有量，需要从市场上购买这种商品；若Z11 V 0，则消费者出售这种商品。 同样可定义Z 12 = Q12 - 12为消费者对第二种商品的超额需求。根据(7.2.

18、3)式，消费者的超额需求函数也是价格和收入的函数。由(7.2.3)式决 定的超额需求函数写作Z = Z (P, P , I )(7.2.4)11 1 2 1Z = Z (P, P , I )12 1 2 1以上分析是对第一个消费者而言的，用样可以对第二个消费者，得出第二个消费者 的一组超额需求函数z = Z (P, P , I )21 12 2z = z (P, P , I )(7.2.5)22 1 2 2三、纯交换经济的一般均衡现在考察市场的均衡状态，根据(7.2.4)式和(7.2.5)式可得第一种商品和第二种 商品的超额需求函数z = z + z = z (P, P , I , I )11

19、2111212z = z + z = z (P, P , I , I )(7.2.6)122221212如果市场上出现交易，并且第一个消费者是净购买者，那么第二个消费者就一定是 净销售者。因此，当某种商品的市场超额需求等于0时，该商品的市场出清，即市场处 于均衡彳=0 ，z2 = 0(7.2.7)当(7.2.7)式中的某一个等式成立时，意味着那种商品的市场处于局部均衡。如果 存在价格匕和，使(7.2.7)式中的两个等式同时成立，那么此时纯交换经济处于一 般均衡。称满足(7.2.7)式的价格和消费者消费商品的数量组合为一个瓦尔拉斯均衡。我们再看(7.2.2)式，第一个消费者效用最大化行为满足的约

20、束条件PQ + PQ = P + P (7.2.8) TOC o 1-5 h z 1 112 121 112 12同样，第二个消费者效用最大化行为满足的约束条件PQ + PQ = P + P (7.2.9)1 212 221 212 22(7.2.8)式和(7.2.9)式相加可得P (Q )+ P (Q )+ P (Q )+ P (Q )=011111121212121222222变换得P (z + z) + P (z + z ) = 0112121222即Pz + Pz = 0(7.2.10)22(7.2.10)式再次给出了瓦尔拉斯定律。由于瓦尔拉斯定律成立，因此(7.2.7)式的瓦尔拉斯均

21、衡条件中有一个可以用另一 个等式表示。这就是说，如果瓦尔拉斯定律成立，在二种商品经济中，当一种商品市场 处于均衡时，这时的价格也使得另一种商品处于均衡。对于k种商品经济同样成立，即 当k 1个市场处于均衡时，则此时的价格也一定使得第k个市场处于均衡。根据上面的分析，由每个市场的局部均衡给出一般均衡条件(7.2.7)，但从(7.2.7) 式不可能决定唯一的均衡价格。由于每个消费者的超额需求是价格的零次齐次函数，因 而市场超额需求z 1和Z2也是价格的零次齐次函数，从而所有的函数同除以一个非零的 价格(往往只用P去除)，不会影响一般均衡分析。对于这一点的直观解释是，在纯交 1换经济中，消费者关注的

22、是商品的比价，而不是商品的绝对价格。第三节一般均衡的存在性本节证明交换经济的一般均衡的存在性，并对均衡的唯一性作出说明。一、不动点定理瓦尔拉斯一般均衡的存在性是借助于布劳威尔不动点定理证明的。这里给出定理 的表述和证明。不动点定理：假定S是一个非空、闭的、有界凸集合，如果/(尤)是S到其自身S 上的连续映射，那么在S中至少存在一个元是自我映射。即x=f(x)。这个定理也称作布劳威尔(Brou.wer)不动点定理，其完整证明超出本书的范围。 下面仅就二维情况下借助于图形证明，帮助我们理解这一定理。如图7.2.1所示。假设S是0,1闭区间，即S=0,1，fx)是区间0,1上的连续函数， 并且其值域

23、也位于0,1之中。不动点定理是说，只要fx)连续，总能在0,1上找到一点x， 使fx)=x。定义一函数g(x)=f(x)-x，显然它是定义在0,1上的连续函数。如图7.2.1所示， g表示fx)与对角线之间纵坐标之差。由于0W f(x)W1，所以g(0)=(0)N0，g(1)项1) W0。根据g(x)的连续性，由中值定理可知，在0,1中一定存在一点x，使得g( x )=0， 即 f( x )=x。图7.2.1不动点定理二、一般均衡存在性证明下面利用不动点定理，证明一般均衡的存在性。这里仅就交换性经济、且两种商品的情况下进行证明。首先给出价格标准化（也叫正则化）的概念。设4、P2为两种商品的价格

24、，作变换显然 P+P2=1，P =-，1P1 + PP =P22P1 + P2这种变换称作将价格4和标准化（正则化），P2叫标准化价格。定义一个集设P，i=1,2,n为n种商品的标准化价格。利用标准化价格， iSn-1 =1 P：P =(P，,P ), U P = 1i=1&-1是价格向量集合，是有限的、非空闭凸集。为了能应用不动点定理，需要构造一个连续函数。根据上一节分析可知，对应于任 意的一系列价格，在每种商品的市场上都有一个超额需求量与之对应，如（7.2.6）式所 示。如果能证明，存在一个价格向量P，使得超额需求等于零，则瓦尔拉斯一般均衡存 在。现在利用这个超额需求函数乙比如Z1和z 2

25、,来构造不动点定理中的函数。如果超额需求大于零，价格倾向于提高；反之，超额需求小于零，价格降低。因此， 瓦尔拉斯一般均衡实现的过程无非是把一个使超额需求大于零的价格再“提高”一些， 以便使超额需求更小，逐渐趋向于零，并且，价格需要提高的数额与超额需求成同方向 变动。因此，按照价格“提高”的思路来构造下面的函数：P. r P. + max 0,Zi （P）。这 里Z（P）是根据价格而确定的超额需求。另一方面，为了使得到的函数值能继续位于Sn-1i之中，也需要对“提高”后的价格加以标准化。这样，定义集合Sn-1到Sn-1上的一系列函数g ,i = 1,2,n() P + max 0, Z (P)咒

26、P + max 0,Z (P)iii =1(7.3.1)P + max 0,Z (P)1 + max 0, Z (P)i=1由于每一个超额需求函数Z (P)都是连续的，最大值函数也是连续的，因而上述n I个函数是S-1上的连续函数，并且函数值也位于S-1之中。这样对所有函数应用不动点 定理,从而在&一1中一定有一个P = (% , Pn)，使得g, (p) = P，即对于任意的i=1,2, np = P + max0Z (P)(7.3.2)1 + n max0, Z (P)i=1下面说明这一不动点P为瓦尔拉斯均衡价格。为此，由(7.3.2)式可以得到P + max 0,Z (P) = P 1+

27、 Emax 0,Z.(P)i=1即max 0,Z (p) = P max 0,Z (P)i=1为了得到Z (P) = 0的均衡条件，在上式两边同乘以Z (P)得iiZ (P)max0,Z, (P) = Z (P) P max 0,Z.(P)(7.3.3)i = 1上式的左边要么为零，要么为z (P)的平方，总之上式左边为非负数值。将(7.3.3)式两边i从1到n加总，写出等式右边1Lpz (P) max 0,Z (P) TOC o 1-5 h z iii HYPERLINK l bookmark6 o Current Document i=1i=1根据瓦尔拉斯定律，叩(p)=0，因此可得i =

28、 1 HYPERLINK l bookmark72 o Current Document Z (P) max 0,Z (P) = 0 iii = 1由上式可知，上式和号下面的每一项都是非负值，上式成立必然有以下结果：对所有的iZ (P) max 0,Z.(P) =0(7.3.4)根据（7.3.4）式，对某一个i,如果Z （P） 0，那么根据瓦尔拉斯定律，p = 0。于是，由不动点定理决定的价格P = （P1，,P ）使（7.2.7）式成立。因此，存在一系列价 格，使得所有市场出清，即瓦尔拉斯一般均衡存在。第四节可计算一般均衡模型可计算一般均衡模型是根据瓦尔拉斯一般均衡理论建立的可用于实际经济计

29、算的 多部门模型。可计算一般均衡模型简称CGE模型，在CGE中主要有生产者、消费者、政 府和外国经济，总的结构包括三组方程；供给方程、需求方程和供求平衡方程。CGE模 型的基本框架如下生产函数Xs = f（K,L,V V，,V ）（7.4.1）i i i i 1i 2ini式中i表示第i部门，共有n个部门；X：表示第i部门产出；K表示第i部门资本存量， 在一个时期内为常数；L表示第i部门的劳动投入量；V ,V，,V表示第i部门投入的i1i 2ini各种中间产品的数量。中间产品需求j部门对.i部门的中间产品需求为匕.=aX：（7.4.2）式中表示第j部门单位产出对第i部门产品的消耗量，在一个时期内为常数，全社会 对i部门产品的中间需求为V =Z V（7.4.3）i j j单位产品净产值PN = P a P（7.4.4）j式中PN.表示i部门单位产品净产值；P, P.分别表示第i部门和第j部门产品价格。劳动需求各部门对劳动的需求由利润最大