高等流体力学讲义

1、高等流体力学l=J授课提纲第一章概论1.1流体力学的研究对象1.2流体力学发展简史1.3流体力学的研究方法1.3.1 一般处理途径1.3.2应用数学过程1.3.3流体力学方法论：一般方法1.3.4流体力学方法论：特殊方法Lagrange描述和Euler描述无量纲化线性化分离变量法积分变换法保角映射法奇点法（孤立奇点法、分布奇点法、Green函数法）控制体积法微元法第一章概论1.1流体力学的研究对象（1）物质四态：四态：固态一液态一气态一等离子态；等离子体=电离气体 界限：彼此无明确界限（高温下的沥青；冰川），取决于时间尺度；流体力学的具体研究对象：液体、气体、等离子体（电磁流体力学、 等离子体

2、物理学）；液体与气体的差别：液体一有固定容积、有自由面、不易压缩、有表面张力；气体一无固定容积、无自由面、易压缩、无表面张力。（2）流体的基本性质：易流动性：静止流体无剪切抗力；压缩性（膨胀性）：压差、温差引起的体积改变，判据：马赫数；粘性：运动流体对剪切的抗力，判据：雷诺数；热传导性：温差引起的热量传递，普朗特数。（3）流体的分类：i）按有无粘性、热传导性分：真实流体（有粘性、有热传导、与固体有粘附性无温差）； 理想流体（无粘性、无热传导、与固体无粘附性有温差）；ii）按压缩性分：不可压缩流体，可压缩流体；iii）按本构关系分：牛顿流体（牛顿粘性定律成立），非牛顿流体（牛顿粘性定律不成立），

3、下分纯粘性流体（拟塑性流体，涨塑性流体）； 粘塑性流体（非宾汉流体、宾汉流体）； 时间依存性流体（触变流体、振凝流体）； 粘弹性流体拟塑性流体（剪切流动化流体）：剪切应力随剪切速度增加而减 小，如淀粉浆糊、玻璃溶液、 高分子流体、纤维树脂；涨塑性流体（剪切粘稠化流体）：剪切应力随剪切速度增加而减 小，如淀粉中加水、某些水- 砂混合物；粘塑性（非宾汉和宾汉流体）：存在屈服应力，小于该应力无流 动，如粘土泥浆、沥青、油漆、 润滑脂等，所有粘塑性流体为 非宾汉流体，宾汉流体为近似； 触变流体（摇溶流体）：粘性或剪切应力随时间减小，如加入高 分子物质的油、粘土悬浊液；振凝流体：粘性或剪切应力随时间增大

4、，如矿石浆料、膨润土溶 胶、五氧化钒溶液等；粘弹性流体：兼有粘性和弹性性质的流体，能量不像弹性体守恒， 也不像纯粘性体全部耗散。（4）流体力学学科的研究对象流体力学研究流体的机械运动以及它与其它运动形态相互作用的科 学。其它运动形态：固体运动一与界面的相互作用；热运动一传热、传质；电 磁一电磁流体力学。1.2流体力学发展简史流体力学大事年表公元前3世纪 阿基米德（287 212BC）发现浮力定律（阿基米德原理）；发明 阿基米德螺旋提水机；1644托里拆里（E.Torricelli,1608-1647）制成气压计；导出小孔出流公式；1650帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）提出液体中

5、压力传递的帕斯卡原理；16621668167817321738175217551763177718021809182218221834183918451845185118601878187818831887189118951901波义尔(R.Boyle,1627-1691)建立气体的波义尔定律；马略特(E.Mariotte, 16201684),出版专著论水和其它流 体的运动奠定流体静力学和流体运动学的基础；牛顿(I.Newton,1642-1727)研究在流体中运动物体所受的阻力， 并建立牛顿粘性定律；皮托(H.Pitot,1695-1771)发明测量流体压力的皮托管； 丹尼尔伯努利(D.B

6、ernoulli,1700-1782)出版流体动力学， 将力学中的活力(能量)守恒原理引入流体力学，建立伯努利定 理(伯努利方程)；达朗贝尔(J. le R. D Alembert,1717-1783)提出理想流体运 动的达朗贝尔佯谬；欧拉(L.Euler,1707-1783)导出流体平衡方程和流体运动方程 (欧拉方程)；玻尔达(J-C.Borda,1733-1799)进行流体阻力试验，给出阻力 公式，开粘性流体力学研究先河；玻素(C.Bossut,1730-1814)等完成第一个船池船模试验；盖吕萨克(J.L.Gay-Lussac,1778-1850)建立完全气体的状态方 程；凯利(G.Ca

7、yley,1773-1858)建立航空飞行器概念；纳维(C-L-M-H.Navier,1785-1836)导出粘性流体动力学的动量 方程；傅立叶(J-B-J Fourier,1768-1830 )建立傅立叶导热定律； 罗素(J,S.Russell)在苏格兰的联合运河上发现孤立波； 哈根(G.H.L.Hagen,1797-1884)和泊肃叶(J.L.M.Poiseuille, 1797-1969 )研究圆管内的粘性流动给出哈根一泊肃叶公式； 斯托克斯(G.G.Stokes,1819-1903 )更简洁严谨地导出粘性流体 动力学的动量方程(纳维一斯托克斯方程)；亥姆霍兹(H. von Helmho

8、ltz,1821-1894)建立涡旋的基本概念， 奠定涡动力学基础；斯托克斯研究小球在粘性流体中的运动，给出斯托克斯阻力公式;亥姆霍兹建立流体运动的速度分解定理；兰姆(H.Lamb,1849-1934)出版流体力学经典著作流体运动的 数学理论，1895年增订再版时改名流体动力学；瑞利(Lord Rayleigh,1842-1919)研究有环量的圆柱绕流问题， 发现升力，从理论上解释了马格努斯效应；雷诺(O.Reynolds,1842-1912)完成著名的雷诺转捩实验，提出 雷诺数(Sommerfeld于1908年命名)；马赫(E.Mach,1838-1916)提出马赫数的概念兰彻斯特(F.W.

9、Lanchester,1868-1946)提出速度环量概念，建 立升力理论，并发展了有限翼展理论；科特沃赫(D.J.Korteweg)和德弗里斯(G.de Vries)建立KdV方 程；贝纳尔(H.Benard)研究对流传热稳定性，发现贝纳尔腔；儒科夫斯基(N.E.Joukovsky,1847-1921)导出儒科夫斯基公式， 奠定机翼理论基础；库塔(M.W.Kutta,1867-1944)提出机翼流动的库塔条件；瑞利建立流体力学的量纲分析和相似理论；莱特兄弟(W.Wright,1867-1912;O.Wright,1871-1948)人类第一次飞行成功；齐奥尔可夫斯基(K.A.Tsiolkov

10、sky,1857-1835)导出火箭运动基 本公式和第一宇宙速度；普朗特(L.Prandtl,1875-1953)建立边界层理论；普朗特建成超音速风洞(马赫数为1.5)；冯卡门(Th.von Karman,1881-1963)建立卡门涡街理论；瑞利和索末费尔德(A.Sommerfeld,1868-1951 )研究平行流的稳定性，导出索末费尔德方程；泰勒(G.I.Taylor,1886-1975)提出湍流统计理论基本概念；泰勒研究同心圆筒间旋转流动稳定性，发现泰勒涡；周培源(1902-1993)创建湍流模式理论；普朗特提出湍流的混合长度理论；钱学森(1911 )和冯卡门导出机翼理论的卡门一钱公式

11、；190219021902190319031904190519101908192119231940192619411963洛伦兹(E.Lorenz)发现混沌和奇怪吸引子。1.3流体力学的研究方法1.3.1 一般处理途径（1）实验途径（2）分析途径（3）数值模拟途径1.3.2应用数学过程实验、实测结果一 数学、物理建模一 寻找工具、求解一 结果检验一 总 结规律。1.3.3流体力学方法论：一般方法实验观察实验目的：1）观察迄今未知或未加解释的新事实（例如雷诺实验、普 朗特的边界层实验、法拉第实验）；2）检验新的假说、理论和结果（例如儒科夫斯基升力实验）。 实验手段：实验室实验（缩尺实验）、现场实

12、验（原型实验）、现场观测。 实验步骤：1）制定详尽的实验方案；2）准备相应的设备和仪器；3）科学地记录数据；4）数据处理；5）制作图表；6）理论分析。实验要领：1）有目的性和限定性；2）有准确性和排他性；3）有简单性和可行性；4）有再现性和鲁棒性；5）注意结果的正常性和反常性。发现机遇机遇无处不在。机遇只垂青于有准备的头脑。抓住机遇的必要条件：1）扎实的知识基础（如卡门涡街的发现）；2）对反常现象的迅速反应能力（如孤立波的发现、内波的 发现）；3）充分的发散思维能力。提出假说假说是研究工作中最重要的智力活动手段，没有大胆的猜测就没有伟大 的发现。假说要领：1）发挥想象能力，大胆假设（例如各向同

13、性湍流理论）；2）尊重科学事实，求真务实（例如孤立波理论）；3）运用各种技巧，小心求证（例如奇怪吸引子假设）；4）随时摒弃谬误，服从真理（例如湍流拟序结构）；5）不断更新观念，修正设想（例如相对论流体力学）；6）及时总结经验，推陈出新。大胆想象想象=创造性思考创造力=知识量X发散型思维想象的来源：1）困难的刺激；2）好奇心的激励；3）锲而不舍的思考；4）讨论的启迪。细致推理推理的种类：1）演绎型推理（纯数学推理大多如此）：假设一公理一命题 一引理一定理一推论；2）归纳型推理（流体力学问题大多如此）：观察事实一归纳 一定理或定律一求证一验证一总结。3）类比型推理；4）言正谬型推理。推理要领：1）

14、有充分的事实基础；2）基于正确的假设；3）基于正确的逻辑；4）分清事实和对事实的解释。总结规律总结规律是掌握并推进流体力学学科的关键步骤。总结的要领：1）基于经过证明或验证的事实；2）提炼最基本的函数关系或因果关系或数值结果；3）论述准确、清晰、简练。1.3.4流体力学方法论：特殊方法 Lagrange描述和Euler描述Lagrange描述：基于流体质点运动轨迹的描述；Euler描述：基于场论的描述。无量纲化量纲分析：流体力学的基础；流体力学的基本量纲：时间、长度、质量、温度；无量纲化：解决一切已建模的流体力学问题的首要步骤。无量纲化的主要步骤：1）确定问题中的特征量；2）给出所有物理量（自

15、变量、因变量）的无量纲形式；3）将问题中的方程无量纲化；4）提炼无量纲方程和定解条件中的无量纲组合（无量纲 数）；5）对问题做简化或直接求解。实例：Navier-Stokes方程的无量纲化：V-v = 0dv+ vdt0v = - gk -1 Vp +vV 2vP1）引进特征量：特征时间儿特征长度乙，特征速度V，特 征压力P；2）给出无量纲量：tf=t/T， r = r ；L，v=v/V，p=p/P；3）基本方程无量纲化：V-v = 0dv11St + v -V v=-k - EV p + V2 vdtFrRe4）提炼无量纲数：Strouhal数：St = L/VT，表征问题的非定常性；Fro

16、ude数：Fr = V2 /gL，表征惯性力与重力之比;Euler数：E = P/p V2，表征压力与动能之比；Reynolds数：Re = VL/v，表征惯性力与粘性力之比。5）简化问题：低速情形：Strouhal数很小，流动可近似地视为定常流动；高速情形：Froude数很大，重力可忽略不计；小粘性情形:Reynolds数很大，粘性力可忽略不计（方程退化为Euler方程一无粘流动）；大粘性情形（或小尺度情形）：Reynolds数很小，惯 性力可忽略不计（Stokes流动）。流体力学中其它重要的无量纲数：Mach数：M=V/a，当地流速与当地音速之比，可压缩性的量度；超音速流动与亚音速流动的量

17、度；Nuselt数：Nu = hL/k，总传热与导热传热之比；Prandtl数：Pr= c /k，动量扩散率与热扩散率之比；Weber数：We=V2pL/b，惯性力与表面张力之比；Knudsen数：Kn=l/L，分子平均自由程与特征长度之比。注记：1）无量纲化过程中，特征量的取法有非唯一性，特别是，经 常取不同的长度尺度（例如，在边界层问题、浅水波问题 中），这种问题经常伴随着奇异摄动；2）量纲分析中的n定理有着重要的作用，特别在流体力学实 验研究中，兀定理指出，问题的无量纲数之间有函数关系， 亦即，它们不是彼此独立的；3）根据n定理可知，如果问题中不含特征长度，则一定存在 相似性解，例如，半

18、无限长平板的边界层问题、扩散问题。线性化流体力学的主要困难在于控制方程（对流项）和界面（如自由面）边界 条件的非线性，因此，线性化近似是常用的研究方法。例如，上述的Stokes 流动。注意：线性化必须在无量纲化的基础上进行，方可保证过程的万无一失， 且对产生的误差心中有数。实例：水波问题的线性化基本假设：1）流体不可压、无粘；2）流动无旋；3）水平方向无界；4）自由面无扰动；5）水波向一个方向传播；6）底部是水平的（静水深h=const.）。控制方程：8 29a 2+= 0, 一8 x 8, h z G8x 28z 2边界条件：aga甲aga甲+=, z = gatax axaza甲 1/a甲

19、、，a甲、】+ 元()2 + ()2 + gg=P /p, z = gat2axaza伽=0, z = - haz这是一个非线性问题，非线性出现在自由面边界条件中，而自由面方程 又是事先未知的，这是水波问题的困难所在：它本质上是非线性自由板结问 题。取特征量：特征长度1/k（k为波数），特征波高A，特征频率。特征速度Vo取无量纲量：x=kx, z=kz, t=3t, q!= q/A, ,=k/mA无量纲方程和边界条件：京 + S = 0, -858,一 灿 A kA ；k X卜 g伽1 伽, 伽 kgi+卢Q A+卜-也/pg,左咨伽,W = 0, z = khdZ考虑无穷小振幅波的情形，即令

20、波陡kA = 1忽略上述各式中含，的各项，边界条件得到线性化，问题变成有固定边 界的线性问题。回到原来的有量纲变量，问题化为8 2里a 2中+= 0, 一8 x 8, h z 08x 28z 2ag a甲-=0, Z = 0at azaF + gg =-P / p, z = 0ataa中-=0, z = - h az我们明确地知道，线性化带来的误差为，量级。分离变量法有规则边界（如矩形、圆、球等）的线性问题经常可用分离变量法求解。力学家与数学家应用分离变量法的差别：力学家更多地利用物理直观， 直捷地获得问题的解。实例：无限长直圆柱的无环量绕流问题问题提法：a 2w i aw 1 a 2W 八+ = 0ar 2 r ar r 2 a0 2w （a, 0） = 0W Ur sin 0, r 8因边界条件中只含sin 0因子，故令W = R（r）s i 0代入方程和边界条