高等代数第六章自测题x

1、第六章线性空间 自测题一.填空题（20分） 若1 , 2，n是线性空间V的一个基，则满足条件（1） i 2，n是（2）对V中任意向量 ，.数域P上的线性空间V的非空子集W是V的子空间的充要条件为 .已知Wi，W2为线性空间V的子空间，Wi W 为直和的充要条件为 .V到W的一个同构映设V和W是数域P上两个线性空间，射f满足如下三个条件：（1）f是V到W的；（2）对 ， V，有；（3）对 V , k P，有. TOC o 1-5 h z 向量空间V的基2，L， n到基 n，n 1，L , 1，的过渡矩阵为二ZZ.复数域C作为实数域R上的向量空间，则dime,它的一个基为 .复数域C作为复数域C上

2、的向量空间，则 dim C,它的一个基为 .二.选择题（10分） 若Wi W 均为线性空间V的子空间，则下列等式成立的是（）（A）W1（W1W2）W1W2；（B）W1（W1W2）W1W2 ；（C）W1（W1W2）W1；（D）W1（W1W2）W2按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P上线性空间的是：（）（A）W1A Pn n - A A ；（B）W A Pn ntr （ A） 0 ；12（C）W3APnnA I 0；（D）W4APn n|AA.数域P上线性空间V的维数为r , 1 , 2, n V，且任意V中向量可由1 , 2，n线性表出，则下列结论成立的是：（）（A）rn ；（ b）r

3、n ；（ c）r n ；（ d）r n设 W1 P3 x,W2 P4 x则 dim（ W W2 ）（）（A）2；（B）3；（C）4；（D）55.设线性空间W （a,2a,3a） a R，则W的基为：（）(A)(1,2,3) ；( B)(a, a, a) ；( C)(a,2a,3a) ；( D)(1,0,0) ( 0,2,0) (0,0,3)三.（10分）在线性空间P4中求由线性方程组:3x13x13x12x2 5x3 4x43x3 3x4 0 13x3x2 5x211x4所确定的P40的子空间W的基和维数.四.（15分）设R 3中的两个基分别为100,2110,3（1）求由基1 23 到基 1

4、, 2,（2）已知向量五.（15分）设1113的过渡矩阵.在基 1, 2, 3下的坐标为1 3在基1(1,2,1 ,0),2( 1,1,1 ,1),(2,1,0,1),7)2(1,1,3,dim ( W1W2).W1 L(12 ),W2 L(1 2dim( W1 W2 )及六.(15 分)设 A Pn n :1)证明：全体与A可交换的矩阵组成Pn n的一子空间，记作C ( A) ;2）当A=E时，求 C( A)；3）00 L20 LL L L00 L0时，求C （ A）的维数与一组基.L七.（15分）巳知Pnn的两个子空间V1A Pn n A A，V2 A Pn n A答案:3. WW2 o或

5、 dim( WW2 ) 04.线性映射，f ()f ( ) f ()1Nf (k )kf ()5.116. dim C2,它的一个基为1,i-dim C;2,它的一个基为1.一 .1.线性无关，可以由1, 2, n线性表示2.对V的加法和数乘封闭二. C C B C A54325432543 2三.解:由31 3303 870 183 73 ；3 51311038 70 0001 2f 35,34,3101 92/9018,373018,37 3 ,W的维数为2,00000000一组基为1198 310297 30 1.101四.解:；由123=120132 =123 A102111=011

6、=1 2 3B,23123001123121011111201111221120112120112311020011010011101过渡矩阵AB=0 1A1B311=(1,2,3)3 = 123B1A31110101111112坐标为B1 A 3 = 011012311032000110201020111211103五.解:由1212=2111101300121272011701151014100001170100004120010,00020001dim W12,dim W2 , dim( W1W2 )=4,dim( W1 I W2 )=0六.证明1)设与A可交换的矩阵的集合记为C ( A).显然O C(A),B,D C(A), A(B D) AB AD BA DA (B D)A, 故 B D C(A).若 k 是一数， B C ( A)，可得 A(kB) k( AB) k ( BA) (kB) A，故 kB C ( A).所以C(A)构成Pnn的子空间。当 A E 时，C(A) Pn n .设B (b )为可与A交换的矩阵，由第四章习题 5知，B只能是对角矩阵， 故维数为n ； E11, E22 ,L , Enn为一组基.七.证明：显然 V1+V2Pn n,又 A Pn n , A A A A A, TOC o 1-5 h z 22其中