史上最全初中几何模型(建议收藏)

1、平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型角分线模型往幫韵边卄S?氓Et角分线模型往幫韵边卄S?氓Et曲劈收点作垂強说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。对称半角模型说明：上图依次是45、30、22.5、15及有一个角是30直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：

2、倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称pppp共旋转模型Ac说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两

3、组相邻等线段，分组组成三角形证全等。中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。几何最值模型对称最值（两点间线段最短）同侧.异侧两线段之和蔽短棋型同异段之蚤最小模型同侧.异侧两线段之和蔽短棋型同异段之蚤最小模型轴对称模型三线段之和过桥模型戢短挾型四边形周长三角形周三线段之和过桥模型戢短挾型四边形周长三

4、角形周长戢小棋型诫小检型对称最值（点到直线垂线段最短）说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。旋转最值（共线有最值）DD说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。三角形-四边形四边形T四边形S5田I)E正方形+等腰直角三角形-正方形说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状矩形-正方形B图M、X1尸mio旋转相似模型说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似。推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似

5、。第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。相似模型说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出现的居多。(2)内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理(可以推广到圆幕定理)之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线。A摸型一：手拉手模型-旋转型金等*舒m艮QQ均楠边三舜册AE16=AcQRDfL

6、AEB-6GfUEf1H1HO)融RMaMM曲勺肋等緩直角三硼agi&s山対e加曲1乙打启-9FjaE平分1皿儿任直等腰三角附*跻MM歎迓P均为务眶角形戸幷论：gCOJiD；UER-ZJ0&；Af朋平分1应儿模型二手拉手模型-旋转型相叙(1)-ftfiR琳条件心叭将加丿旌韩至右图位贵A碗A右图中3iQACtOUD、延民M交购于点,必程SEC-BOA蘇件CO/MH,山泗殖，将加胚力艇转至右團A*Sife=右團中(DHOCDsA0/qAQ4CAOBDj延长M交曲于克瓦必有4汇OATSDODOBry_V1=on.Zj(/jJCOCOA；D1XCj葩接必EG帰肋注胡加*8f佃角g迈相垂直的囚边问模型三

7、；对角直补模型甜他厶匱平分厶0B皓阶迫cmce；00*0忑皿wi+厢臨示：乍垂直，趣讦明gw曲、点匸作门7丄oc如上團右）.证明ODCMMTC:n当/（K的一边交A0的延长践于点D时!M上三个站论：CD=CEf不变）J厂九一九心-丄QE7D近0C$211冷论i珂方法与前f輯况一鞭可自行尝试o全等型-1俯a条件=zUi72EDCEINT,OCLAQBa拮论：m：E、OD+OE-(X$OC34A勰5示：（D百寥考全尊型-90曲证法一：如團：在阳上职一点Ft使OF=OC,证明ACKF为等迂二無形。O）全等型住育角mTOC o 1-5 h z-2a?LDCE-180-2ft.（）*.m结论=平分丄的打

8、啓DD*OE2（XH“w-当m的一边交舶葩延怏线于点d竝（如右.上两八原结论克成：?,1可沪上述笫边料万任戲亍证明请黒考初始条件惟化对模型的談飢a对珀至iK型登结：常见初始箕怕區边刑对角互补：连盲两点：叫虎共圜更直吊三角刑肃边中线;沏始条件寸角平分线”与”前边相等的区别；网种常见wm;s5醯意C平分d诙时LCDELCED-LCOA-艺QO相割q（可推导琴A模型四：角含半角模型驱（0角含半角模型90-1a条件二正方形F-45jA结论二EFDIBACEF的周长为正方形CD周长的半也A0正方形EFmBEa结论二丄4F45（2）角含半角模型90。-2a条件：正方形CD.LEAF-45；a结论二EFDJ

9、BEaWTSfiras：M-；L仍然成立.L仍然成立.心)角含半角視型or-3醐債爲a结论=W+CEP=DE若GM旋瘵01处外部时，结论*：*c7订叫：电坯jr(Jt.iT1*!.-)*/ZZWT-IF-,AZJtMH-ZC4T厶时厶C鼻好讥MDHs址料；k上人Wlii：i!HAtf-E”条件：正方形真。；LEAF-貸?a(*ifc=A打丛为等腰直再三用影.七汩模型五:倍氏中线类模型1(o味卬编備軒”荼井二(D矩形dMT打J?O-用匚DF-甲aSifi=Af1摸型提取:倔平行线厨斗平行线肆胃段育中点of岛口WI険字裁代4尸A/f；f口A采曲垃平行四边形ASCDfiC-2JJ?1/DSf；CE丄

10、TD.a拮论=atfGP.帝中(fc.ma-wJiltEW.hity曲g&JMFcsrHit#*4HWT.w(卜逋述构谜e即珥.门侶#足a亶*更”山呦上+A模型六：相似三角形360旋转模型相形（等JM相形（等JM角360。鶴翹畚紗蜒A条件:MDEx山PC均为等腰直角三角形；EFCFa结论：DF-BF；DF丄HFUMfK：HKDFilAG.2FG.DF44VH；.V#/X；K1U丈住.區：SAHIMMBGZAW-ZZJCG2）任翻观訥三角形2）任翻观訥三角形360濮转模3H陞法M助握：出罠BAHAG.（tJG足长相ft形等瀬角560。型用诠法谿：“处、W（i劝警腰直角三角矽防（竹A结论:：BF；

11、DFkBF辅助後：旳逢号濮直血44口7、MHC触劝线忠略：将/弓Hlc；与EllCDmgDH=(T)卜仝CDmgDH=(T)卜仝MXiBocir转比.4E4bEcg哥Mi/!/（.此血4轩维转亿巾谄明J.”A4O厶您朗冋边戌比JL兴角*A模型七：最短路程模型CD蠡路程逊一馆军饮驳）禺加：以上B田务*JL的心廿你吳最蚯”保问-眄廉之吗，伦及最牡”解4a：劝点4am上:4A.怜戍岀瓦朮线段加対（2）罠回辭歿3wijn：椅作?畏十ex叶件丸（?.轴亿找.-tA1作M丄at、叫paw找znt“邑摩量吳_Mfr：伙平分I叫刖为防上一定吊卩为（疋上T敲。为帥上一动点;A求=最小时2几0的位羞Q3融路程理二

12、隔言线类力A耕；*（A）风-20人尸（0）p叭4PAai礦：为何值叭5最小广f.sinOAC=A求解方法二T轴上取C（2.0）j吏5，过作弘丄交，轴于点匕目呀所求,lanLEHOlanOAC2,即总）(4)路程值灘tn：aaai-4.oB.m(czooir6oattAOW9H4：.3鲂，女aane：以殳o*=.4.片違尢，卜丁舄三itatu：:a*btt：w-ob*h：CDitna-4fw-2以巾a|u.o/r.rx*0ItnAf(tiill)-AH4x(l9.4IO.*|(X-6x-iK(a.tfli*05%22:3oi-|:i*AP9NC上上：VW丘点OOHHit：/UAfcAacJfJU

13、2VAAl*!11?4苗-I模型九：相1以三角形模型（2）余艸；”左曲円卜茁(/)-f师淮：li（2）余艸；”左曲円卜茁(/)-f师淮：liJ/?-If-l/J人字矍外型扣#聊+-r-frJ）/Vjryjrnr站旌：兰二竺二竺（住胃対建边乜H2：j/ijcnr.备”i打疝面吟。用忙z吒-z,yw*titifcT.t(J討EF.AHXrj卜比注舟O.LfiAt-2/1.1执“-Hi-HA,7J-M.l!hJAECACE-申l!hJAECACE-申IB*PA巾BG的旳料M论：左oa：fM/停壯“严tffi：P.V=尸宀PB击皿tAHi;UJC-jly-一fZJ-45九世：也|臂和环花旳hit1li

14、ft.V7t：2.川-/彳-fH亠也三平御杖T邑悅常川義址-河E以上悴论旳呼以逋it枷仇三血啊if甘谊即I中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交E【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，ZABC=60,G是DF的中点，连接GC、GE.如图1,当点如图1,当点E在BC边上时，若AB=10,BF=4，求GE的长；如图2,当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；如图3,当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想,二角平分线

15、模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分ZBAD交BC边于E,EF丄AE交CD边于F,交AD边于H,延长BA到点G,使AG=CF,连接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE，则GF的长为.三手拉手模型【条件】0A=0BfOC=ODfZAOB=ZCOD【结论】OAC三厶仞DZAEB=ZOAB=ZCt?D（即都就转角）；OE平分厶胁【例】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE,过点C作CF丄BE,垂足为F,连接OF,则OF的长为四邻边相等的对角互补模型tmn【条件】如團！四边形A3

16、CD中，卫ID,=ZABC-ZaDC=180【结论卡卫匚平分rm2i【条件】如團，四边形血仞中440ZS4Z=Z5C2?=90【结论】&ZACB=ZACD=4EC+CD二羽WC【例】如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=5,G为CD中点，DE=DG,FG丄BE于F,则DF为.【例】如图，正方形也CD的边长为3,延长CA至点使BAi连接占閥过点万作師丄,垂足为曲0是对甬线月D的交点，连接0V,则匸卯的长为【例1】如图，正方形ABCD的面积为64QCE是等边三角形尸是血的中点血酹交于点G,则DG的长为五半角模型【魁1】【条件】如團，四边形A8CD中AB=AD,BAL+ABCD=A4BC.十AADC

17、=LSO【邂2】【条件】在正方形曲仞中已知艮尸分别杲边仞上的為且満足ZE打=45笃拡、肿分别与对角线肋交于点WN.【结论】(1)BE-DF=EF5(2)S“近AH=AB(4)Cecf=2AB;BXDd卿;(6)HDNFsIXAEFsAH=AOABXx旋可得到&4JVM和MF尸的相似比为1:血)；Q)SSQAS的UgSHADF,MOWABE、2EV为等腰直角三甬形，ZJZM5；为等腰直角三角形厶1尺045。-(1.Z场尸=45；2/E；yLV=l；72)54诙F.D四点共圆，AB.&N四点共圆MMF.GE五点共圆.BE【删2翹】条件】在正方形ABCD中,已知E、F分别是边CB、DC延长线上的点；

18、且满足ZF=45结论BE-EEDF【理2理】【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是边CB、DC迤长莪上的点；且満足ZE肿=45。【结论DF-EF=BE1例】如團，山肚和ADEF是两个全等的等腰直角三角枚C=ZEDF=,DEF的顶点E与WC的斜边眈的中点.重合将ADEF绕点E旋轉，施轻过程中，线段DE与线段AB相交于点Pf射线忙尸与线段丄迟相交于点G,与射线CA相交于点Q.若AQ=12,BP=3?则PG=.【例】如副在菱形曲仞中AB=BD,点為尸分别在卫及AD?且遥DF连接时与D耳交于点&连接G与召D交于点乩若CG=1?则%咖理厉=六一线三角模型【条件】Z.LDF=ZS=ZC,且DE=DF【结论】DE=aCFD【例】如風正方形血仞中，点臥尺G分别为月罠ES仞边上的点盼3,GCW,连接酹；FG、宜恰好构成一个等边三角形则正方形的边长対-BCBC七弦图模型AA【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段【结论】新构成了同心的正方形HDBfHDBf匸【例】如圖点迟対正方形曲仞边的上一点点尸在磁的延长线上AF=AB,M与FD