三角形中的边角关系和面积公式

1、三角形中的边角关系和面积公式1.常用的三角形面积公式（1）（分别是ABC中a、b、c边上的高）；（2）（三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半）.2.如图所示，在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，分别为a、b、c边上的高，R、r分别为ABC的外接圆、内切圆的半径，则ABC的面积公式如下：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.巩固练习1在ABC中，A120，AC2，ABC的面积为23，则BC边的长为（）A27B7C23D3【解答】解：在ABC中，A120，AC2，且ABC的面积为23，可得12ABACsinA=122AC32=23，解得AB4由余弦定理可得：B

2、C=AB2+AC2-2ABACcos120=4+16+8=27故选：A2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=23，b23，b2+c2a2=3bc若BAC的平分线与BC交于点E，则AE（）A6B7C22D3【解答】解：因为b2+c2a2=3bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，因为A（0，），所以A=6，因为B=23，b23，所以CAB=6，由正弦定理，可得asin6=csin6=23sin23，解得ac2，因为BAC的平分线与BC交于点E，所以BECE=ABAC=223，即CE=3BE，所以由BE+CEBE+3BE2，可得BE=23+1=3-1，在A

3、BE中，由余弦定理可得AE=AB2+BE2-2ABBEcosB=22+(3-1)2-22(3-1)cos23=6故选：A 3三角形ABC中，B=4，BC边上的高等于14BC，则tanBAC（）A12B-12C2D2【解答】解：如图所示，设ADx，则BDx，DC3x，所以AB=2x，AC=10 x，在ABC中，由余弦定理可得cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=2x2+10 x2-16x222x10 x=-55，则sinBAC=1-cos2BAC=1-(-55)2=255，所以tanBAC=sinBACcosBAC=255-55=-2故选：D4在ABC中，B=34，BC边上的高为BC长

4、度的一半，则cosA（）A255B55C23D53【解答】解：如图，BC边上的高AD恰为BC边长的一半，即ADBD=a2AB=22a，在ABC中，由余弦定理得AC2AB2+BC22ABBCcosABC=52a2在ABC中，由正弦定理得：BCsinA=ACsinB，可得：sinA=15，A（0，4），可得：cosA=255故选：A5在ABC中，若sinA（sinB+cosB）sinC0，sinB+cos2C0，a4，则ABC的面积为（）A2+43B4+3C6+23D8+43【解答】解：由sinA（sinB+cosB）sinC0，sinAsinB+sinAcosBsin（A+B）0sinAsinB

5、+sinAcosBsinAcosBcosAsinB0sinB（sinAcosA）0B（0，），sinB0，从而cosAsinA由A（0，），知A=4，从而B+C=34由sinB+cos2C0，得sinB+cos2（34-B）0即sinBsin2B0可得sinB2sinBcosB0由此得cosB=12，B=3，C=512，a4，由正弦定理可得422=b32，可得b26，SABC=12absinC=12426sin512=46sin（6+4）6+23故选：C62020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国，作为主要战场的武汉，仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院，再次体现了中国速度随着疫

6、情发展，某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院，其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m的等腰三角形组成的图形（如图所示），为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为（）A3B4C6D8【解答】解：设顶角为；由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：412400400sin320000sin由余弦定理可得正方形边长为：4002+4002-2400400cos=4002-2cos；故正方形面积为：160000（22cos）320000（1cos）所以所求占地的面积为：320000（sincos+1）320000（2sin（-4）+1；当-4=2=34时，占地面积最大，此时底角为：

7、-342=8故选：D7在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且BC边上的高为36a，若sinCksinB，则当k取最小值时，内角A的大小为（）A2B6C3D23【解答】解：因为sinCksinB，所以k=cb，不妨设cb，则k1，因为BC边上的高为36a，所以1236aa=12bcsinA，即a223bcsinA，由余弦定理a2b2+c22bccosA，所以b2+c223bcsinA+2bccosA，即bc+cb=23sinA+2cosA4sin（A+6），令t=bc+cb=k+1k，则t1-1k2，当k1时，t0，所以t在1，+）上是增函数，当k1时，t2，即4sin（A+6）2

8、，所以A+6=56，可得A=23故选：D8菱形ABCD的边长为6，A60，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=23，则线段AP的长为（）A23B22C22或42D23或43【解答】解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，ADAB，DPBP，APBD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角ABM中，BAM30，AMABcos3033，BMABsin303，PM=PB2-BM2=3，APAM+PM43；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点APAMPM23；当P与M重合时，PDPB3，与PBPD23矛盾，舍去AP的长为43或23故选：D9已知a，b，c分别为ABC内角

9、A，B，C的对边，bsinC22ccosB，b=3，则当ABC的周长最大时，ABC的面积为（）A324B334C934D32【分析】利用正弦定理将bsinC22ccosB中的边化角，可得tanB，sinB和cosB的值，再结合余弦定理和基本不等式求得ac=94，而S=12acsinB，进而得解【解答】解：由正弦定理，知bsinB=csinC，bsinC22ccosB，sinBsinC22sinCcosB，sinC0，sinB22cosB，即tanB22，sinB=223，cosB=13，由余弦定理知，b23a2+c22accosB（a+c）2-83ac（a+c）2-83(a+c2)2=13（a

10、+c）2，当且仅当ac=32时，等号成立，a+c3，此时ac=94，ABC的面积S=12acsinB=1294223=324故选：A10（多选）如图，ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若ab，且3（acosC+ccosA）2bsinB，D是ABC外一点，DC1，DA3，则下列说法正确的是（）AABC 是等边三角形B若AC23，则A，B，C，D四点共圆C四边形ABCD面积最大值为532+3D四边形ABCD面积最小值为532-3利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sinB，再利用ab，可知ABC为等边三角形，从而判断A；利用四点A，B，C，D共圆，四边形对角互补，从而判断B；设ACx，

11、x0，在ADC中，由余弦定理可得x2106cosD，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求S四边形ABCD，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD【解答】解：3（acosC+ccosA）2bsinB，3（sinAcosC+sinCcosA）2sinBsinB，即3sin（A+C）=3sinB2sinBsinB，由sinB0，可得sinB=32，B=3或23又abBCABACB=3，故A正确；若四点A，B，C，D共圆，则四边形对角互补，由A正确知D=23，在ADC中，DC1，DA3，AC=DC2+DA2-2DCDAcos23=1323，故B错；等边ABC中，设ACx，x0，在ADC中，由

12、余弦定理，得AC2AD2+CD22ADCDcosD，由于AD3，DC1，代入上式，得x2106cosD，S四边形ABCDSABC+SACD=12xxsin3+123sinD=34x2+32sinD3sin（D-3）+532，D（0，），-32sin(D-3)1，四边形ABCD面积的最大值为532+3，无最小值，故C正确，D错误，故选：AC11已知ABC的内角为A，B，C满足sin（B+CA）+sin（A+CB）+sin（A+BC）=12，且ABC的面积为2，则ABC外接圆面积等于（）A2B4C8D16【解答】解：sin（B+CA）+sin（A+CB）+sin（A+BC）=12，且A+B+C，s

13、in2A+sin2B+sin2C=12，2sinAcosA+2sin（B+C）cos（BC）=12，2sinA（cos（BC）cos（B+C）=12，化为2sinA2sinBsin（C）=12，sinAsinBsinC=18设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：asinA=bsinB=csinC=2R，由S=12absinC，及正弦定理得：sinAsinBsinC=S2R2=18，由于S2，可得：R24S8，可得R22，ABC外接圆面积SR28故选：C12（多选）已知ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c且a6，4sinB5sinC，有以下四个命题中正确命题有 （）AABC的面积的最大值

14、为40B满足条件的ABC不可能是直角三角形C当A2C时，ABC的周长为15D当A2C时，若O为ABC的内心，则AOB的面积为7对于A，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；对于B，考虑勾股定理的逆定理，即可判断；对于C，运用正弦定理可得4b5c，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；对于D，运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积【解答】解：以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，可得B（3，0），C（3，0），4sinB5sinC，可得4b5c，设A（m，n），可得4(m-3)2+n2=5(m+3)2+n2，平方可得16（m2+n26

15、m+9）25（m2+n2+6m+9），即有m2+n2+823m+90，化为（m+413）2+n2（403）2，则A的轨迹为以（-413，0），半径为403的圆，可得ABC的面积的最大值为126403=40，故A对；a6，4sinB5sinC即4b5c，设b5t，c4t，由36+16t225t2，可得t=43，满足条件的ABC可能是直角三角形，故B错误；a6，4sinB5sinC，A2C，可得B3C，由正弦定理可得4b5c，可得b=5c4，由bsinB=csinC，可得5c4sin(-3C)=csinC=5c4sinC(4cos2C-1)，由sinC0，可得：4cos2C1=54，解得：cosC

16、=34，或-34（舍去），sinC=1-cos2C=74，可得sinA2sinCcosC23474=378，6378=c74，可得：c4，b5，则a+b+c15，故C对；a6，4sinB5sinC，A2C，可得B3C，由正弦定理可得4b5c，可得b=5c4，由bsinB=csinC，可得5c4sin(-3C)=csinC=5c4sinC(4cos2C-1)，由sinC0，可得：4cos2C1=54，解得：cosC=34，或-34（舍去），sinC=1-cos2C=74，可得：sinA2sinCcosC23474=378，6378=c74，可得：c4，b5，SABC=12bcsinA=12543

17、78=1574设ABC的内切圆半径为R，则R=2Sa+b+c=215744+5+6=72，SABO=12cR=12472=7故D对故选：ACD13已知ABC，BAC120，BC=23，AD为BAC的角平分线，则（）ABC面积的取值范围为(0，3（）AB+4ACAD的最小值为9【解答】解：（）可设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，可得a2b2+c22bccosAb2+c22bc（-12）2bc+bc3bc，即有bc13a2=13124，当且仅当bc2取得等号，则SABC=12bcsinA=12bc32344=3，所以ABC面积的取值范围为（0，3；（）由SABCSABD+SDAC，

18、可得12bcsin120=12cADsin60+12bADsin60，化为32bc=32AD（b+c），即为AD=bcb+c，所以AB+4ACAD=c+4bAD=(b+c)(c+4b)bc=cb+4bc+52cb4bc+59，当且仅当c2b时，取得等号，则AB+4ACAD的最小值为9故答案为：（）（0，3，（）914伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要某景区的部分道路如图所示，AB30m，BC=402m，CD50m，ABCBCD45，要建设一条从点A到点D的空中长廊，则AD402m【解答】解

19、：由题可知ABCBCD45，所以ABCD由AD=AB+BC+CD，则AD2=AB2+BC2+CD2+2ABBC+2ABCD+2BCCD，ABBC=|AB|BC|cos135=-1200，ABCD=|AB|CD|cos0=1500，BCCD=|BC|CD|cos135=-2000，所以AD2=900+3200+2500-2400+3000-4000=3200，则|AD|=402m故答案为：40215如图所示，在平面四边形ABCD中，AB1，BC2，ACD是以D为顶点的等腰直角三角形，则BCD面积的最大值为1+22【解答】解：在ABC中，设ABC，ACB，AB1，BC2，余弦定理得AC212+22

20、212cos54cos，ACD为等腰直角三角形，设CDADt，AC=2t，2t254cos，由正弦定理得：1sin=ACsin=2tsin，2tsinsin，则2t2sin2t22t2cos2sin21cos2，可得2t2cos22t21+cos254cos1+cos2（2cos）2，可得2tcos2cos，SBCD=122tsin（4+）tsin（4+）=22tcos+22tsin=12（2cos）+12sin=22sin（-4）+1，当=34时，sin（-4）1，（SBCD）max1+22故答案为：1+2216四边形ABCD中，AB1，BC5，CD5，DA7，且DABBCD90，则对角线A

21、C长为42【解答】解：设|AC|=x，B=，由DABBCD90，则D180，ABC中，|AB|=1，|BC|=5，|AC|=x，则cos=12+52-x2215=26-x210；ACD中，|CD|=5，|DA|=7，|AC|=x，则cos(180-)=72+52-x2275=74-x270；cos（180）cos，74-x270=-26-x210 x=32=42故答案为：421717在2acosC+c2b，cos2B-C2-cosBcosC=34，（sinB+sinC）2sin2A+3sinBsinC，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，

22、b，c，且_（1）求角A的大小；（2）若a=3，ABC的面积为32，求ABC的周长【解答】解：（1）选，由正弦定理得2sinAcosC+sinC2sinB2sin（A+C）2（sinAcosC+cosAsinC），即sinC（2cosA1）0因为C（0，），所以sinC0，所以cosA=12又A（0，），从而得A=3选，因为cos2B-C2-cosBcosC=1+cos(B-C)2-cosBcosC=1-cosBcosC+sinBsinC2=1-cos(B+C)2=34，所以cos(B+C)=-12，cosA=-cos(B+C)=12又因为A(0，2)，可得A=3选，因为（sinB+sinC）

23、2sin2A+3sinBsinC，所以sin2B+sin2C+2sinBsinCsin2A+3sinBsinC，即sin2B+sin2Csin2AsinBsinC，所以b2+c2a2bc，cosA=b2+c2-a22bc=12因为A（0，），可得A=3，（2）由余弦定理a2b2+c22bccosA，得b2+c2bc3，由SABC=12bcsinA=12bc32=32，得bc2，所以b+c3，故a+b+c=3+318在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a1，m=(1，-3)，n=（sinA，cosA），且mn（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积为34，求b+c的值（3）求A

24、BC周长的取值范围【解答】解：（1）由m=(1，-3)，n=（sinA，cosA），且mn，得mn=sinA-3cosA0，tanA=3；又A（0，），A=3；（2）由余弦定理得a2b2+c22bccosA，即1b2+c22bccos3，b2+c2bc1；又ABC的面积为S=12bcsinA=12bcsin3=34，bc1，（b+c）2b2+c2+2bc2+214，b+c2（3）由（1）知A=3，a1，则bsinB=csinC=asinA=1sin3=23，b=23sinB，c=23sinC，CAB=23-B，B（0，23）；la+b+c1+23sinB+23sin（23-B）1+23（32s

25、inB+32cosB）1+2sin（B+6），又B（0，23），B+6（6，56），sin（B+6）（12，1，21+2sin（B+6）3，ABC周长的取值范围（2，319已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，且满足a(sinA-12sinB)=(sinC+sinB)(c-b)，c4（）求ABC的外接圆的半径；（）求ABC的面积的最大值【解答】解：（）由题意及正弦定理得到a(a-12b)=(c+b)(c-b)，即a2+b2-c2=ab2，由余弦定理可得cosC=14，所以sinC=154设ABC的外接圆的半径为R因为csinC=2R，即4154=2R，解得R=81515（）因为c

26、2a2+b22abcosC，且c4，所以16=a2+b2-ab22ab-ab2=3ab2，即ab323，所以SABC=12absinC12323154=4153，当且仅当ab时取等号故ABC的面积的最大值为415320在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3asinBbcosBcosCccos2B（1）求角B的值；（2）若A=6，且ABC的面积为73，求BC边上的中线AM的长【解答】解：（1）因为3asinBbcosBcosCccos2B，所以由正弦定理可得3sinAsinBsinBcosBcosCsinCcos2B，可得3sinAsinBcosB（sinBcosC+sinCcos

27、B）cosBsinA，因为sinA0，可得3sinBcosB，即tanB=33，由B（0，），可得B=6（2）由已知A=6，则ABC是等腰三角形，C=23，设ACBC2a，可得SABC=12ACBCsinACB=12（2a）2sin23=3a2，由已知ABC的面积为73，得a27，a=7，可得ACBC27，ACM中，由余弦定理，AM2CA2+CM22CACMcos23（27）2+（7）22277（-12）49，所以AM721在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量m=(3a-c，b)，n=(cosB，-cosC)，且mn（1）求cosB的值；（2）若b2，ABC的面积为64，求

28、ABC的周长【解答】解：（1）根据题意，向量m=(3a-c，b)，n=(cosB，-cosC)，且mn则mn=（3ac）cosBbcosC0，又由正弦定理可得（3sinAsinC）cosBsinBcosC0，即3sinAcosBsinCcosBsinBcosC3sinAcosBsin（B+C）0；又sin（B+C）sinA，所以3sinAcosBsinA0，又A（0，），所以sinA0，则cosB=13（2）由（1）的结论，cosB=13，则b2a2+c22accosB，即4a2+c2-23ac（a+c）2-83ac，又由ABC的面积为64，即S=12acsinB=64，sinB=1-cos2

29、B=223，则有64=12ac223，则ac=334，则（a+c）24+83ac4+23=（3+1）2，则a+c=3+1，则有a+b+c=3+1+2=3+3，故ABC的周长为3+322如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB2，CD5，ABC=23（1）若AC27，求梯形ABCD的面积；（2）若ACBD，求tanABD【解答】解：（1）设BCx，在ABC中，由余弦定理可得28x2+42x2（-12），整理可得：x2+2x240，解得x4，所以BC4，则SABC=122432=23，因为CD=5AB2，所以SACD=5SABC2=53，所以S梯形ABCDSABC+SACD73；（2）设ABD，则B

30、DC，BAC=2-，DBC=23-，BCA-6，在ABC中，由正弦定理可得2sin(-6)=BCsin(2-)，在BCD中，由正弦定理可得5sin(23-)=BCsin，两式相除可得2sin(23-)5sin(-6)=sinsin(2-)，展开可得2(32cos+12sin)5(32sin-12cos)=sincos，所以可得53sin27sincos23cos20，即53tan27tan23=0，解得tan=233或tan=-35，又因为（6，2），所以tan=233，即tanABD=23323小明在东方明珠广播电视塔底端的正东方向上的C处，沿着与电视塔（AB）垂直的水平马路CD驾驶机动车行

31、驶，以南偏西60的方向每小时60千米的速度开了15分钟以后，在点D处望见电视塔的底端B在东北方向上，设沿途E处观察电视塔的仰角AEB，的最大值为60（1）小明开车从C处出发到D处，几小时后其所在位置观察电视塔的仰角达到最大值60，约为多少分钟？（分钟保留两位小数）（2）求东方明珠塔AB的高度约为多少米（保留两位小数）【解答】解：（1）依题意知在DBC中BCD30，DBC18045135，CD600001601515000（m），D1801353015，由正弦定理得CDsinDBC=BCsinD，BC=CDsinDsinDBC=15000sin15sin135=150006-2422=7500（

32、3-1）（m），在RtABE中，tan=ABBE，AB为定长，可得当BE的长最小时，取最大值60，这时BECD，当BECD时，在RtBEC中，可得：ECBCcosBCE7500（3-1）32=3750（3-3）（m），设该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了t分钟，则t=EC6060000=3750(3-3)60600004.75（分钟），（2）由（1）知当取得最大值60时，BECD，在RtBEC中，BEBCsinBCD，ABBEtan60BCsinBCDtan607500（3-1）123=3750（3-3）4754.81米（m）即所求塔高为4754.81米m24ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2asinC=3csinB（1）若b=43，C120，求ABC的面积S；（2）若b：c2：3，求3sin2A-sinBsinC【解答】解：（1）由正弦定理知，csinBbsinC；由2asinC=3csinB，得2asinC=3bsinC，故2a=3b，b=43，a6