高代数重难点归纳

1、高等代数重难点指导第一章多项式一、重难点归纳与分析（一）基本内容一元多项式的基本概念与基本性质：主要讨论数域的概念、一元多项式的定义与运 算规律。一元多项式的整除性理论：主要讨论带余除法与余数定理、整除的基本概念与基本 性质、最大公因式和互素的基本概念与基本性质。一元多项式的因式分解理论：主要讨论不可约多项式的基本概念与基本性质、因式 分解及其唯一性定理、三个特殊数域上的多项式分解。一元多项式的根与重根：主要讨论重因式的定义与性质、多项式的根、多项式根的 个数定理。多元多项式则主要讨论多元多项式的基本概念、字典排列法与对称多项式。（二）重难点归纳教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公

2、因式、互素、辗转相除法、不可 约多项式概念、性质，k重因式与k重根的关系。；教学难点：因式分解及唯一性定理，多项式根的理论，复（实）系数多项式分解定理， 本原多项式，Eisenstein判别法 二、题型归类与分析本章的基本题型主要有：关于一元多项式的基本概念，通常有一元多项式的比较次数法、比较系数法，用以 确定多项式的次数及证明有关命题。关于一元多项式整除性理论，通常有多项式整除性的检验、最大公因式的求法、互 素的判别、按幂展开等等，可采取综合除法、带余除法、辗转相除法、待定系数法、反证法 及利用多项式的整除、最大公因式、互素等定义与性质求证有关命题。关于一元多项式的因式分解理论，通常有多项式

3、的可约性判别、因式分解、重因式 的判别等等，可采取艾森斯坦判别法、克龙莱克尔分解法、求有理根的分解法、分离重因式 法、辗转相除法以及利用不可约多项式的定义与性质求证有关命题。关于一元多项式的根与重根，通常有根的检验及重根的判别、根与系数的关系以及 求多项式的根与重根等等，可利用辗转相除法、结式判别法、分离重因式法、艾森斯坦判别 法等进行讨论，以及利用某些基本定理求解。关于多元多项式，通常有对称多项式化初等对称多项式的化法与对称多项式的应用， 其中化对称多项式为初等对称多项式的方法主要有公式法、首项消去法及待定系数法；应用 对称多项式，可以对具有对称多项式形式的线性方程组求解、进行因式分解、进行

4、恒等式的 证明及求多元多项式的零点。第二章 行列式一、重难点归纳与分析（一）基本内容1、n阶排列。2、n级行列式及其性质。3、行列式按一行（列）展开。4、行列式的计算。5、Cramer 法则及 Laplace 定理。（二）重难点归纳教学重点：n级行列式的基本概念与计算。教学难点：n级行列式的定义、展开定理、计算技巧。、题型归类与分析本章的基本题型主要有：1、判定一个排列的奇偶性，能根据排列的奇偶性确定行列式的展开式的符号。2、能熟练运用行列式的定义，牢固掌握行列式的性质，并能达到正确、熟练计算 行列式的目的。3、能利用Cramer法则求解线性方程组。第三章线性方程组一、重难点归纳与分析（一）基

5、本内容1、消元法解线性方程组。2、向量组的线性表示、线性组合、线性相关性。3、线性方程组有解的判定方法。4、线性方程组解的结构。（二）重难点归纳教学重点：消元法解线性方程组，线性相关性，线性方程组有解的判定方法及其线 性方程组解的结构定理。教学难点：向量组线性相关性理论及线性方程组的基本理论。、题型归类与分析本章的基本题型主要有：1、消元法解线性方程组。2、能熟练运用向量组的相关性理论，证明向量组线性相关或者线性无关。3、求向量组的极大线性无关组和秩。4、能熟练掌握齐次和非齐次线性方程组的求解方法。第四章矩阵一 、重难点归纳与分析（一）基本内容1、矩阵的概念及其运算。2、矩阵乘积的行列式与秩。

6、3、矩阵的可逆条件及其逆矩阵的求法。4、矩阵分块的方法及其运算。5、初等矩阵的概念、性质，初等变换与初等矩阵的关系。（二）重难点归纳教学重点：矩阵的运算、矩阵的可逆条件及其逆矩阵的求法。教学难点：初等矩阵及其应用、分块矩阵的逆、题型归类与分析本章的基本题型主要有：1、熟练掌握矩阵的加、减、数乘、乘积、转置、求逆等运算。2、可交换矩阵的一些性质。3、矩阵运算与线性方程组之间的联系。4、有关矩阵的秩的计算。5、可逆矩阵的判别及其逆矩阵的求法。6、有关简单分块矩阵的运算及证明。第五章二次型一、重难点归纳与分析（一）基本内容1、二次型及矩阵表示：包括二次型的定义，矩阵表示。矩阵合同的定义，性质：反身

7、性，对称性，传递性。经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。2、标准型：主要结果是数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平 方和的形式，这是通过数学归纳法证明的，在证明的过程中，我们得到了怎样将一个二次型 化成标准二次型的方法（分三种情况），这个结论的另外一个表述是数域P上任何一个对称 矩阵都合同与一对角矩阵。3、唯一性：首先指出合同的矩阵都有相同的秩，即经过非退化的线性替换之后，二次 型矩阵的秩是不变的，因而，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一 确定的，与所做的非退化线性替换无关，但在一般数域内，二次型的标准型不是唯一的，与 所做的非退

8、化线性退化有关。4、在复数域上：任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以化成规 范型，且规范型是惟一的。从而有两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。5、实数域上：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规 范型，且规范形是唯一的。这个定律也称为惯性定理，其中正平方项的个数P为正惯性系数，负平方项的个数,-P称为负惯性系数，它们的差P - （r - p） = 2p - r称为符号差，惯 性定理也可以表述为实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正 惯性系数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性系数。6、正定二次型：实二次型f （气,x2

9、,L ,气）称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数（c ,c ,L ,c ），都有f （c ,c ,L ,c ） 0。同时有，非退化实线性替换保持正定性不变，12 n12 n由此得：n元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n。7、实对称矩阵A称为正定的，如果二次型XTAX正定。推论：正定矩阵的行列式大于零。实对称矩阵A正定的充分必要条件是它的顺序主子式全大于零。（二）重难点归纳教学重点：二次型的标准形及其规范形，正定矩阵的判定及证明 教学难点：正定矩阵的判别。二、题型归类与分析本章的基本题型主要有：1、熟练掌握化二次型为标准形或规范形的方法。2、会判别矩阵或二次型的正定性。3、

10、有关二次型或矩阵的正定性的证明。第六章线性空间一、重难点归纳与分析（一）基本内容1、线性空间的概念、性质。2、线性空间的基与维数，向量的坐标，过渡矩阵等概念。3、线性子空间、生成子空间、子空间的和与直和，余子空间的概念及性质。4、同构映射及线性空间同构的概念。（二）重难点归纳教学重点：线性空间的概念、子空间的和，基、维数。教学难点：线性空间定义，线性相关性和子空间的直和。二、题型归类与分析本章的基本题型主要有：1、线性空间和子空间的判定与证明。2、线性相关与线性无关的判定与证明。3、基与维数的确定。4、过渡矩阵与坐标的求法。5、直和与同构的判定与证明。第七章线性变换一、重难点归纳与分析（一）基

11、本内容1、线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵。2、特征值与特征向量。3、对角矩阵；线性变换的值域与核。4、不变子空间。5、若当标准形。6、最小多项式。（二）重难点归纳教学重点：线性变换的定义与运算，线性变换的矩阵、特征值与特征向量的概念、 矩阵的相似对角化方法。教学难点：线性变换的值域与核、若当标准形、最小多项式。二、题型归类与分析本章的基本题型主要有：1、线性变换的判定与证明。2、线性变换在某组基下矩阵的求法。3、线性变换的核与值域的求法。4、基变换与坐标变换公式的应用，过渡矩阵的求法。5、矩阵相似的证明。6、线性变换或矩阵的特征值与特征向量的求法。7、线性变换的不变子空间的有关

12、证明。8、矩阵可对角化的判定及相似对角阵的求法。第八章人一矩阵一、重难点归纳与分析（一）基本内容1、入-矩阵和入-矩阵的初等变换。2、入矩阵的标准形。3、行列式因子、不变因子组、初等因子组。（二）重难点归纳教学重点：矩阵的初等变换及标准形，行列式因子，不变因子。教学难点：初等因子；若尔当标准形，矩阵的有理标准形。二、题型归类与分析本章的基本题型主要有：1、化人一矩阵为标准形。2、求人一矩阵的不变因子；初等因子。3、证明两个矩阵相似、求矩阵的高次幂、求矩阵的若当标准形。4、求线性变换的最小多项式。第九章欧几里得空间一、重难点归纳与分析（一）基本内容1、欧几里得空间的定义与基本性质。2、标准正交基。3、同构。4、正交变换。5、子空间。6、对称矩阵的标准形。7、向量到子空间的距离、最小二乘法。（二）重难点归纳教学重点：标准正交基、同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。教学难点：同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形二、题型归类与分析本章的基本题型主要有：1、证明在某种内积定义下，线性空间为一欧氏空间。2、计算向量的长度、向量间的距离和夹角。3、证明一个向量组为标准正交组。4、有关度量矩阵的证明。5、矩阵正交分解的有关证明。6、用正交线性替换化二次型为