2010届高考数学模拟题

1、2010届高考数学模拟题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1设P、Q为两个非空实数集合，定义集合. 若P1，0，1，Q 2，2，则集合中元素的个数是( A )A3B4C5D66 5 87 3 3 8 78 8 3 62如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（ A ）A73 B77C80D883已知p：a4，q：使ax2 + ax + 10是真命题，则p是q的（ B ）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】讨论q：当a = 0时，不符合题意；当a0时，有或a0，解得a4n = 2009开

2、 始a80?？输出n结 束a = 16a = a + un = n + 1否是或a0故p是q的充分不必要条件4函数f (x) (x0)由确定，则导函数y = f(x)图象大致形状是（ B ）【解析】= ef (x)，f (x) = ln=5程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出的结果是 （ B ）A2012B2013C3D46设函数f (x) = x3 (xR)，若0时，f (m sin) + f (1 m)0恒成立，则实数m的取值范围是（ C ） A(0，+)B(1，+)C(，1)D0，1 【解析】 函数f (x) = x3(xR)是奇函数，且为增函数由f (m sin) + f (1 m

3、)0得m sinm 1，于是m (1 sin)1，当0时恒成立，则m17.一台仪器每启动一次都随机地出现一个10位的二进制数A = a1a2a3a10，其中A的各位数字中，a1 = 1,ak (k = 2,3,10)出现0的概率为出现1的概率为记S = a1 + a2 + a3 +a10当启动仪器一次S = 5时，有且仅有4个0连排在一起的概率为（ D ）ABCD8对于任意实数,x，y不等式max|x + y|，|x y|，|2010 y|Z恒成立，则实数Z的最大值是（ B ） A1004B1005C1006D1007 【解析】记max|x + y|，|x y|，|2010 x|= M，则M|

4、x + y|，M|x y|，M|2010 y|，4M|x + y| + |y x| + 2|2010 y|(x + y) + (y x) + 2 (2010 y)| = 4020二、填空题（本大题7个小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上）9设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该几何体体积为 4 m34223210.已知点M（3，0），N（3，0），B（1，0），圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为 【解析】11.据抽样统计,某省高考数学成绩服从正态分布平均分为80分,标准差为20,全省考生有10万人.若一考生的数学成绩为140

5、分,估计该生的数学成绩在全省的名次是第 名参考数据: 【解析】13012设an是(n = 1，2，3，)的二项展开式中x的系数则的值是 【解析】17因为，所以从而，13.已知数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若存在正整数m、n (mn)，使得Sm = Sn，则Sm + n = 0，类比上述结论，若正项数列bn为等比数列， 【解析】它的前n项积为Tn ,若Tn = Tm，则Tm+n=1.设 bn = b1qn1，则Tn =，由Tn = Tm，化简得：OABP由mn，bn为正项数列，所以，两边同m + n次方得到14如图，在OAB中，点P是线段OB及AB的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的

6、任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对(x，y)所表示的区域在直线y = 4的下侧部分的面积是 【解析】连结BP，则由题意知其中m0，n0，则，所以有x = n，y = m + n + 1，可以推出x0，y + x 10，则在直线y = 4的下侧部分可行域如图2，面积为15.用三个字母组成一个长度为个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同. 例如时，排出的字符串可能是或；时排出的字符串可能是，(如图).若记这种个字符串中，排在最后一个的字母仍是的所有字符串的种数为， 可知，；则 _ ；数列的前项之和 . 【解析】6 , 三、解答题（本大题6小题共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演

7、算步骤）16（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且bcosC = 3a cos B c cosB（1）求cosB的值；（2）若= 2，且b = 2，求a和c的值【解析】（1）由正弦定理得a = 2Rsin A，b = 2R sinB，c = 2R sinC，则2R sin BcosC = 6R sin A cosB 2RsinC cosB，故sinB cosC = 3sinA cosB sinC cosB，可得sinB cosC + sinC cosB = 3 sinA cosB，即sin (B + C) = 3sinA cosB，可得sinA = 3 sin

8、A cosB，又sinA0，因此cosB =（2）由= 2，可得accosB = 2，又cosB =，故ac = 6，由b2 = a2 + c2 2acosB，可得a2 + c2 = 12，所以(a c)2 = 0，即a = c，所以a = c =17（本小题满分12分）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行（I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”

9、卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；（）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值【解析】（I）设“世博会会徽”卡有张，由，得， 故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为（）的分布列为；01234 ，18（本小题满分12分）已知四棱台ABCDA1B1C1D1（如图）中，底面ABCD是正方形，且DD1底面ABCD，AB = 2A1B1 = 2DD1 = 2a （1）求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值； （2）试在平面ADD1A1中确定一点F，使得FB1平面BCC1B； （3）在(2)的条件下求二面角FCC1B的余弦值. 【解

10、析】以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2a，0，0)，B1(a，a，a)，D1 (0，0，a)，B (2a，2a，0)，C (0，2a，0)，C1 (0，a，a)（1）， 即直线AB1与DD1所成角的余弦值为（2）设F (x，0，z)，由FB1平面BCC1B1得F (a，0，0)，即F为DA的中点（3）由（2）知为平面BCC1B1的法向量设n = (x1，y1，z1)为平面FCC1的法向量，由令y1 = 1得x1 = 2，z1 = 1，n = (2，1，1)，即二面角FCC1B的余弦值为19. （本小题满分13分

11、）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为,设AB=2x,BC=y.（1）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；（2）求当x取何值时，凹槽的强度最大.图1图2ABCDm【解析】（1）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为.所以 ，得 依题意知： 得 所以，（）（2）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有 . 因为, 所以，当时，凹槽的强度最大. 答: 当时，凹槽的强度最大. 20.（本小题满分13分）椭圆C的中心在原点O

12、，它的短轴长为2，F1 (c，0) (c0)为右焦点，直线x =与x轴相交于点A，|OF1| = 2|F1A|（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆C的左焦点F2作一条与两坐标都不垂直的直线l，交椭圆于P、Q两点，若点M在x轴上，且使MF2为MPQ的一条角平分线，则称M为椭圆的“左特征点”，求椭圆C的左特征点（3）写出椭圆(ab0)的左特征点（不需证明）【解析】（1）由条件知2b =，可设椭圆方程为又 椭圆方程为（2）设左特征点为M (m，0)，左焦点为F2 (2，0)，可设直线PQ的方程为（k0）由又设P (x1，y1)、Q (x2，y2)，则 因为MF2为PMQ的角平分线，所以kPM + kQM

13、 = 0，即将代入化简，得再将代入，得，m = 3即左特征点为M (3，0) （3）21. 已知函数f (x) = x ln (x + a)在x = 1处取得极值 （1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f (x) + 2x = x2 + b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）证明：参考数据：ln20.6931分析：第（1）问由f(1) = 0，可求a的值；第（2）问实质上是根的分布问题；第（3）问是关于不等式的证明，观察结构特点，可考虑先放缩，再用裂项相消法求证【解析】（1）对f (x)求导，得f(x) = 1 由题意，得f(1) = 0，即，a = 0（2）由（1）得f (x) = x ln x，f (x) + 2x = x2 + b，即x2 3x + lnx + b = 0设g (x) = x2 3x + lnx + b (x0)，则令g(x) = 0，得x1