2022年不定积分的典型例题

1、例 1計算x21 dx1x4解法 1 x41x22x1x22x1.所以dx 1而x22x1x22x12 x21x21 dx112 x1xdx 1x21x4222 x1x121dxx121dx 22222221dx1d2 x1 1d2 x1 22x12122x1211arctan2x1 arctan2x1 c .2解法 2 x21 dx1x2x22x2x1 2xx41 x22x2 xdxx1x42x dx121arctan2x11arctan x2c .22解法 3 当x0 ,2 x1 dx1211dxdx1x2x 14 x12 xx2x2x2lim x 0 xdx121arctan2 x1cx

2、122 x2x2122,lim x 01arctanx2x1arctanx22122,2x由拼接法可有x21 dx1x1arctanx22122c,x020 xx0 .x41arctanx22122cx02x例 2. 求3 x21dx .1 22 x解 将被积函数化为简洁的部分分式3x2 22 A B2 Cx2 D * x 1 x 1 x 1 x 1 x 1两边同乘以 x 1 2,约去 x 1 的因子后令 x 1 得3B 12 2 1 . 1 1 2两边同乘以 x 1 2,对 x 求导,再令 x 1,施以上运算后,右端得 A,而左端为3x lim 1 dx d x 1 x2 x 221 x 1

3、 23 2 2 3d x 2 3 x x 1 2 x x 2 x lim 1 dx x 21 x lim 1 x 21 26 2 2 . A .24在 分 解 式 （ * ） 中 令 x 0 , 得 2 A B D , 所 以D 1. 分解式（ * ）两边同乘以 x ,再令 x , 得21 A C , C 1 . 故有3x 2 A B Cx D2 2 dx 2 2 dx x 1 x 1 x 1 x 1 x 11 1 12 ln x 1 2 arctan x c .2 x 1 2 ln x 1 2例 3. 求 4 2 x4 2 dx . x 1 x x 2解 令 u x , 再用部分分式,則x

4、1 du4 4 2 dx 2 2 x 1 x x 2 u 1 u u 2 12 A B Cu2 D, 两 边 乘以 u 再 u 1 u u u u 1 u 1令 u 0 , 得 A 1 . 两 边 乘 以 u ,1 再 令 u ,1 得B 1. 两 边 乘 以 u , 再 令 u , 得21 10 A B C , C . 令 u ,1 D .2 2x 1 du4 4 2 dx 2 2 x 1 x x 2 u 1 u u 1 11 1 1 22 u2 du2 u 2 u 1 u 11 1 1 2 1ln u ln u 1 ln u 1 arctan u c2 4 8 41 2 1 2 1 4 1

5、 2ln x ln x 1 ln x 1 arctan x c2 4 8 481 x 1 2ln 2 2 4 arctan x c .8 x 1 x 1 415 8 8例 4 8 x2 dx 8 x2 x 7dx 1 x8 1 12 dx 8 x 1 x 1 8 x 11 8 18 12 d x 8 18 x 1 x 1 1 8 1ln x 1 8 c .8 8 x 1 例 5. 求 1 cos xdx .1 cos x sin x解 令 tan xt , 就 1 cos xdx2 1 cos x sin x111t222dx12tdtt1 2t21tt2 12 t11t21t2ct1t1dt

6、1 arctantc1t211lnt2lnt121ln1sinxx.22例 6 x2x21 dx4x2dx21 2x1x21212dx21u11u21 22du22222分部积分1 4u2 u1 221lnu212c1621 8x 2 x212 x11lnx2 xc .8例 7 x12dxx3352 x1x1 dxx222x分项x45c .22x 232例 8 114dxx11112x112dxx2xx1ln1arctanc .41x2例 91xxdx1x1 dxx2x1x41xc.11x dx1dx1x33例 10dxdxx d4x 2 x1sinx1cos2cos 242tan4xc.1a

7、rcsintcb .2例 11 dtdxx1txx211t2arcsin 1x1arcsinxc ,xdx,其中ac ,x1 .xabx例 12 求解 由配方得xabx R2xa2b2,其中Rb2a, 令xua2b,就有原式cos 2 t2dt2 Ru2duuR sint2 R2 costdt2 R12 Rt1sin2 tcR2t2 Rsintcos tc24221 ba 2arcsin2xb ab 4ax c .2 xab xa b4例 13求Icos3xxdx,Jsin3xxdx,cosxsincosxsin解IJ 11sin2xdxx1cos2xc .24IJcosxsinx 11sin

8、2 xdx2 xcosxsin2 cosxsin2x 11sin2x dx2 2 x cosxsin 11sin2xcos 2x dx1sin2x1lnsin2x1c .21sin2x44解上面的联立方程可得出I,J.例 14 运算I113dx .xx3dx. 可求出I11x3dx11xx3xdx11x2dx1x3dx,令Jxx1xIJ23arctan23x1c,332IJ1xdx1xx2x2dx1x31x3lnx31c,111dx1x23dxlnx1 xx3从而可解出I.略2xdx1 例 15arcsin2xdxarcsin1x1x分部积分（x1）arcsin2xx1 xdx1x 1x ar

9、csin2x2c .1x例 16 求Ixdxx1.x2解 令2 2x 2x 1 x t , x t 1 , dx 2 t t 12 dt ,1 2 t 1 2 t 2I 2 t t 12 dt 2 1 3 32 dtt 1 2 t t 2 2 t 1 2 2 t 1 2 3 22 ln x x x 1 ln 2 x 1 2 x x 122 3 c .2 2 x x 1 2 x 1例 17设 f x 有一个原函数 sin x 求 fx x dx .x解 用分部积分法有xfxdxxdfxxfxfx dxdx *fxdxsinxc 1fxfxxsinxsinx.c 1xcosxxx2代入（ * ）有

10、fx x dx cos x sin x sin xc 1,x x即 fx x dx cos x 2 sin xc .x例 18求 12 sin x cos x dx .5 sin x 2 cos x解 5 sin x 2 cos x 5 cos x 2 sin x . 被积函数的分子是 cos x , sin x 的线性组合,故有12 sin x cos x A 5 sin x 2 cos x B 5 sin x 2 cos x 5 A 2 B sin x 5 B 2 A cos x , A 2 , B 1 .于是12sinxcos x dx2 cos x2 5sinx2cosx 5sinx2

11、cosxdx5sinx5sinx2cosxc .2 xln5sinx2cosxc .例 19求sin xdx3 sin 2 x.4解sinxdxx3dcosxxcosxtt2dt3sin21cos21t12t12dt1ln2cosx442cosx例 201dxx1xdx2 cosx22 cos2 2 cosdtanxdtanx dt1x232 tanx3t22 cos1arctantc1arctantanxc .3333例 216x326xt3x186x18ln 16xc .dxxx3x26x932例 222x55xdx5xt2arctan5xc .x13x11xxln5xx1x1例 23xd

12、xx 2xtsint1arctanxlnx1x2c .122例 241x2dxxtant1xx21ln1x21c,x3t2222exx2 xextdx例 25c .22 ex3ex1例 26分部积分xarcsinxarcsinxdxee xxdxeex exdxe例 27c .例 28例 29.cos 2xdxd1sinxcosx1sinxcosx1sinxcosxln1sinxcosxc妙用“ 1” ）x2x exx3x1 exdx .2 xx e e2 x3x31 e原式x2xx edx2x ex2x2x x e3c .23例 30. arctan1dx1arctan1c .arctan1

13、x .112.x12 x2xxx例 31 a2sin2x2sin2xdxcos2xb21da22 cosxb2sin2x b2a2a2cos2xb2sin2xb22a2a22 cosxb2sin2xc .a2cos2xb2sin2xb2a2sin例 32. 1lnxdx2d1lnxdxx2 xlnx2x2xlnxxx1xxlnxlnxxc .x1cxlnxlnxx例 33. x21 dx111dxdx122 x1xx4x2x1 x2x21arctanx1cx220 1arctanx221c .x2x当 x0 ,利用原函数的连续性.例 34x2xdxx2xsint212ln21x2c .1 12

14、1x2例 351x33xtantsec121xx22c.c .x2dx1x2例 36x2x 4a2dxxat1x2a33 a2a0例 37 1dxx2xsint1cos tcos tdtcos t2 costdt1112 cost12 xarcsinxc .xx例 38dx2 x1 tt21dtx x71 t7t21 14ln27 x1 2lnxc .例 39x 11dxx232x3dx33c .12x222412t1tdt322x13 4tx21x2例 40 x2x e2dx2 xx ex12x2x edxx2exc .x2 x2x2例 41x2dx1010 xx9dx1lnx1lnx102

15、 c .x210 x220例 42 17 xdx17x7x6dxlnx2ln1x7c .x 17 xx 2x107例 432 n 1 n n 1x dx x x 1 1 nn n dx 1 n d x x 1 1 x n 1 x1 n n x ln x 1 c .n例 442 x 3100 1dx .（令 x 1 1, dx 12du ,） x 1 u u12 x 3100 1 dx x 1u 1 199 398 x 1 33 x 1 49 x 1 例 45dx3 x t 6（先约分,分子加一减一）x x例 46x x 1 dx . 分子分母同乘（x 1 x）x x 1例 471sinxdx2

16、 cosx2sinxcosxdxsin2x2222例 48dxxsin2x3cos2xdxcscxdxcot2xcscxdxsin3sinx分部积分cscxdxcotx dcscx 1cscxcotx2cot1cscxc .2x例 491sinxxdxsinx 12sinxdsincosxx 2例 501sin1cosxdxx1sinxcosxsinx 1cosx2sinxcosx2cos2x22 cosx 1tan22221sin1cosxdxln1tanxc.x2例 51xsinxdxx2 sin x cos22 cos 2x2x21cosx（分项分部积分）xtanxc .2例 52求xflnx dxfflnx dlnxf