2022年不等式专题-定理和技巧

1、引言：不等式专题 -定理和技巧不等式在全部数学领域都有用,本书阐述不等式定理的基本技巧；读者将看到一些经典定理,如舒尔不等式、缪尔海德定理、柯西- 苏瓦茨不等式、幂平 均不等式、 AM GM 不等式、霍尔德定理；对同学：本书的读者面对高年级的有想进一步提高数学水平的高中生和高校生,本书提到的技巧是不等式难题的窍门,同学们也可以发觉自己功课不同难题的方法；目录：1、几何不等式 1.1 拉维换元 1.2 三角方法 1.3 复数的应用 2、4 个基本技巧 2.1 三角换元 2.2 代数换元 2.3 增函数定理 2.4 建立新边界 3、齐次化和标准化 3.1 齐次化 3.2 舒尔不等式和缪尔海德定理

2、3.3 标准化 3.4 柯西 -苏瓦茨不等式和霍尔德定理；4、凸函数 4.1 琴生不等式第 1 页4.2 幂平均不等式 4.3 最优化不等式 4.4 帮助线不等式 5、例题 5.1 多变量不等式 5.2 帕特南研讨会 Ch1. 几何不等式 1.1 拉维换元 很多不等式因采纳合适的换元而简洁化,让我们从三角几何的经典不等式 开头；最重要的几何不等式是哪个？1746 年,察柏尔证明白一个定理：定理 1.1 ：设 R 和 r 分别代表ABC 的外接圆半径和内切圆半径,就R2r . 当且仅当等边三角形时取等号；证明 ：设ABC 的三边分别为 a b c , , ,半周长pa2bc,面积为 S ,2就：

3、S1absinC1abcabc11222R4R2a2b2c2 2 仍有：S1abc rpr122且：S21absinC2a b 221cos2C24a b 221a2b2c2 214a b 242ab16bc212aba2b2c22aba21612aba2b2c22aba2b2c2161ab2c2ab2c2ab161abcabccab c16第 2 页abc abc cab cab12S p2222abcabcccabbcaba2222p papbpc1313 式就是海伦公式；由 11 得：Rabc 4S,而由 12 式得：rS p,那么 R2r 相当于abc 4S即：abc8S28p pap

4、b pc8 papbpc14pp4定理 1.2 ：设a b c , , 为三角形的三个边长, 就有： abc8 papbpc等号当且仅当 abc时成立；A 证明 ：采纳拉维换元,设ayz, bzx , cxy ,其中 x y z0那么,pabcxyz,就： pax , pby , pcz214 式即：xyyz zx8xyz15而：xyyz zx8xyzx y 2x z 2xy2xz2y z 2yz 26xyz2 x y2 yz2xyz2 x z2 y z2xyzxy2xz22xyzy xz 2z xy 2x yz 20即：xyyz zx8xyz. 证毕；【练习 1】设 ABC 为直角三角形,试

5、证：R12 r . 如图,对直角三角形, 设a b , 为直角边, c 为斜边,B F 就c2a2b ,且 c 22R ,R 是三角形外接圆半径；D O 【试证】 三角形的面积：Sabc 4R,S1abc rC E 2就：abc 4R1 a 2bc r ,即：c2R abc rab将Rc 2代入得：Rcc abcrkr22ab第 3 页即令：kc abc ab cc 2 ab a2b 2a 2b2yz,2ab2ab2ab采纳均值不等式：ab2 ab ,a2b22ab 代入式得：k2 ab2ab2ab122ab代入式得：R12 r . 证毕. 定理 1.3 ：设 x y z0,就： xyzyzx

6、zxyxyz 16等号当且仅当xyz时成立；证明 ：既然不等式的变量是对称的,不适一般性,设xyz ,就： xzxy. 如 yzx ,就： x y z , 构成三角形的三边（ 两边之和大于第三边 ）；此时,由定理 2 可得到结果；现在,假设 yzx ,就： xyz0yzxzxyxyz定理 1.2 的不等式,在当x y z , , 中部分变量为零时依旧成立；定理 1.4 ：设 x y z0,就： xyzyzxzxyxyz 17za n,b n,c n,数列具有证明 ：既然 x y z0,我们发觉正数列lim xxnx,lim xyny,lim xz n由定理 2 得到：x y z n n ny

7、nz nxnz nxny nxny nzn两边争论极限,我们得到结果；很明显,当 xyz时等号成立；,不能保证得到xyz . 然而, xyzyzxzxyxyz 和 x y z0事实上,对 x y z0,等式 xyzyzxzxyxyz等效于xyz或 xy, z0或 yz, x0 或 zx , y0可以懂得为当变量为0 时的等式结果；可以直接证明等式：xyzyzxzxyxyz页第 4 x xyxzy yz yxz zxzy故：定理 4 是舒尔不等式的特例；（注：舒尔不等式：对于非负数x y z , , 和正数 t ,有xtxy xz0,仅当i xyz或 iix0 且 yz,或 y0 且 zx ,或

8、 z0且 xy 时等号成立；当 tc111.为偶数时,不等式对全部实数x y z , , 都成立；）【试题 1】设 a b c , , 是正数且 abc1,试证：a11b11bca【解析】 既然 abc1且 a b c0,主要是 a b c0,采纳换元ax y,by z,cz x,就不等式为：x1zy1xz1y1yyzzxx即：xyzyzxzxy1yzx即： xyzyzxzxyxyz. 为定理 4. 拉维换元对像三角形的三边长 去三角形的三边长的条件；a b c , , 的不等式很有用,拉维换元后,可以消【 试 题 2 】 设 a b c 是 一 个 三 角 形 的 三 边 长 , 试 证 ：

9、a b a 2 b b c b 2 c c a c 2 a 0 .【解析】采纳拉维换元,a x y, b y z, c z x ,且 x y z 0 .就 不 等 式 变 为：2 2 2 x y y z x z y z z x y x z x x y z y 0绽开化简为：x z 3 y x 3 z y 3 x yz 2 xy z 2 xyz 2两边同除以 xyz得：x 2 y 2 z 2x y z 1 8 y z x采纳柯西 - 苏瓦茨不等式 ： x 2 y 2 z 2 x y z x y z , 1 8 即证；y z x【练习 2】设 a b c , , 是一个三角形的三边长,试证：a b

10、 c2 .b c c a a b【试证】采纳拉维换元,令 a y z, b z x , c x y第 5 页就：a y z x y z x x y z xb c z x x y x y z x x y z 同理：b x y z y x y z y；c x y z z x y z z . c a x y z y x y z a b x y z z x y z 三式相加得：a b c 3 x y z x y z 2b c c a a b x y z 即：a b c2 . 证毕；b c c a a b【 练 习 3 】 设 a b c 是 一 个 三 角 形 的 三 边 长 , 试 证 ：a 3 b

11、 3 c 3 3abc 2b a 2 2c b 2 2a c 2 0 .和：3a b 2 3b c 2 3c a 2 3abc 2b a 2 2c b 2 2a c 2 0 . 【试证】先化简,再用拉维换元由于 a 3 b 3 c 3 3abc 2b a 2 2c b 2 2a c 2 0 共有 12 项,分成 3 份,每份 4 项. a 3 b 3 c 3 3abc 2b a 2 2c b 2 2a c 2 a 3 abc b a 2 a c 2 b 3 abc b a 2 c b 2 c 3 abc c b 2 a c 2 a a 2 bc b 2 ac b b 2 ac ba c 2 c

12、 c 2 ab cb a 2 a a 2 b 2 c a b b b 2 c 2 a b c c c 2 a 2 b c a a a b a b c b b c b c a c c a c a b 采纳拉维换元：令 a y z, b z x , c x y , x y z 0就：a a b a b c 2z y z y x 2 zy 2 z y 2 xyz xz 2 b b c b c a 2x z x z y 2 xz 2 x z 2 xyz yx 2 c c a c a b 2 y x y x z 2 yx 2 y x 2 xyz zy 2 三式相加并除以 2 得：zy 2 z y 2 x

13、yz xz 2 xz 2 x z 2 xyz yx 2 yx 2 y x 2 xyz zy 2z y 2 xyz x z 2 xyz y x 2 xyzzy z x zx x y xy y z xyz z x x y y z x y z第 6 页就式乘以 2就等于式；由：zxxxyyyzzzxy333zxy30 xyzxyz得式不小于 0 ,即式不小于 0 . 证毕；其次个式子证法与此类似,请读者自证；我们现在开头争论魏琴伯克不等式,也称外森比克不等式；【试题 3】设 a b c , , 是一个面积为 S 三角形的三边长,试证：a 2 b 2 c 2 4 3S 1 9 这个 1 9 式称为 外

14、森比克不等式 ；【解析】采纳 拉维换元 , a x y, b y z, c z x ,且 x y z 0 .不等式变 a 2 b 2 c 2 2 48S 2 为： y z 2 z x 2 x y 2 2 48 x y z xyz其中：S 2 p p a p b p c x y z xyz,（ p x y z 为半周长）推导如下： y z 2 z x 2 x y 2 2 4 yz 4zx 4xy 216 yz zx xy 2由于： a b c 2 a 2 b 2 c 2 2 ab bc ca 3 ab bc ca 所以： yz zx xy 2 3 yz zx zx xy xy yz 就： y z

15、 2 z x 2 x y 2 2 48 xy yz yz zx zx xy 1 10 定理 1.5 ：对任何面积为 S、边长为 a b c , , 的三角形,有不等式：2ab 2bc 2ca a 2b 2c 2 4 3S 1 11 这个不等式称为芬斯勒 - 哈德威格不等式；证明 ：采纳拉维换元,axy, byz, czx ,且 x y z20. 得证；3xyz xyz 112及： Sxyz xyzzx代入 111式得： xyyz0112 式可由恒等式：yz 2yzzx2zxxyzxyxyyzzx23xyz xy2也可采纳凸函数性质证明；第 7 页证法二 ：由很多方法证明：2ab2bc2caa2

16、b2c2tanAtanBtanC4S222对于凸函数,用琴生不等式可以证明：当 x ,2 时,tanA2tanBtanC3tanABC32222223故：2ab2bc2caab2c 24 3S（注：琴生不等式：对于向下凸出的函数,函数的均值不小于均值的函数；如函数 f tanx在 x ,2 区间是向下凸出的, 由函数的均值不小于均值的函数得：tan A tan B tan Ctan A B C）3 3定理 1.6 ：设 p q r , , 为正实数, a b c , , 表示面积为 S的三角形三边长,就有：pa 2 qb 2 rc 2 2 3S 1 13 q r r p p q这个不等式称为青

17、茨法斯不等式；证明 ：由定理 1.5 的芬斯勒 - 哈德威格不等式足以证明；qpra2rqpb2prqc21abc2a2b2c2,b 2,c2代表面2或：pqqrra2prqprb2ppqqrc21abc22或：qrrp pqa2rrb2pc2qabc2qp本式可由柯西 - 苏瓦茨不等式直接证明113 ；定理 1.7 ： 设a1,b 1,c1代表面积为S 的三角形 1A B C 的三边长,1 1 1a 2积为S 的三角形 2A B C 的三边长,就：2 2 2114a 1 2 b 22c 22a22b 12c 22a22b 22c 12 a22b 2 2c2216S S 1 2这个不等式称为伊

18、诺贝格- 佩多不等式；116引理 1：a 12a 22b 22c 22b 12b 22c 22a 22c 1 2c 22a 22b 220第 8 页证明 ：116 式等价于：2 p2c ,a 12b 12c 12a22b 22c 222 a 1 2a 22b 1 2b 22c 12 c22117由海伦公式得：16Si2 a i2b i2c i2 2 2 a i4b i4c i402b或：ai2b i2ci22 ai4b i4c i4（注：海伦公式：S2p papbpc ,即：16S22 p 2 p2a2p即：16S2abcbca cab abcbc 2a2a2cb 22b c 2 2即：16S

19、2a2 bc 2a4c2b2 2 a2cb 2a22b 22c2a4c4b4即：16S22a b 2 22b c 222c a 22 a4c4b4 a2b 2c2 2 2 a4c 4b4）由柯西 -苏瓦茨不等式得：a 12b 12c 12a22b 22c222a14b 1 4c4 1a 24b 24c4 202 a 12a22b 1 2b 22c 12c 22c 22先证明：由引理1 得：La 12b 22c22a 22b 12c 22a22b 22c 12a 22b 22所以,我们只需证明：L 216S2 116S22022b 12检验不等式：L216S1216S224 UVVWWU这里：U

20、b 1 2c 22b 22c 12,Vc 1 2a2 2c 22a 1 2,Wa 1 2b 22a采纳恒等式：a 12 Ub V 1 2c W 1 20 ,或Wa2 12 1Ub 12Vc2c 1进行放缩：UVVWWUa2 12 1Uc2 1a 1 22a 1 2b 1 2V24a2 1b 12 c 1 24a 1 2 ca2 1b 122V22 1cUVVWWUa12Uc2 1a12b 1 2V216S120c2 12a124a12c 12卡里茨发觉伊诺贝格 - 佩多不等式可以由奥采儿不等式放缩得到；定 理1.8 ： 设a1,a 2,.,an,b 1,b 2,.,b n为 正 实 数 , 且

21、 满 足a 1 2a22.an2和第 9 页b 12b 22.b n2a b 2 2.a b nna 12a22.an2b 12b 22.bn2118就：a b 1 1这就是奥采儿不等式；证明 ：由柯西 -苏瓦茨不等式得：a b 1 1a22.an2b 22.b n2a b 2 2.a b n n上面的不等式等价于： a b 1 1 a b 2 2 . a b n n 2 a 1 2 a 2 2 . a n 2 b 1 2 b 2 2 . b n 2 当 a 1 2 a 2 2 . a n 2 0 时,无关紧要；重点是当 a 1 2 a 2 2 . a n 2 0 时,关注二次多项式 P x nP x a x 1 b 1 2 a x i b i 2i 2n n n a 1 2 a i 2 x 2 2 a b 1 1 a b i i x b 1 2 b i 2 1 19 i 2 i 2 i 2既然 P ba 11 i n2 a i ba 11 b i 20,且 x 的系数为正,就 P 至少有一实根,所以 P 非负,故 1 19 的判别式：n n n 2 a b 1 1 a b i i 2 4 a 1