幻矩和多维第十期

1、两款精巧的素数幻立阵达州的先生才思过人，创作极多，现又送来两款精巧的素数幻立阵。所谓精是最小的奇阶幻立阵；巧是巧夺天工，把素数填写幻立阵，奇是难得的创新！幻海拾贝：3*5*7 阶 3 维幻矩的制作是十分的艰难的，的中村曾经通过编程搜索出 3*5*7 阶 3 维多处引述，奉为精品。老师率先引进国内，从而掀起了国内研究 3幻矩，被国际幻方维幻矩的。曾经许多人认为 3*5*7 阶 3 维幻矩不存在制作方法，上面这款 3 维幻矩是用3*7 阶雪花幻矩通过正成，大家赏析！清制作的四阶对称素数幻立方清先生寄来了探讨素数幻立方的信。他经过了艰苦的努力终于制作了一款 4 阶素数幻立方，很是感动！清老先生根据J

2、ohnson 制作的一款四阶素数幻立方变换成新的一款 4 阶素数幻最近这是立方。老先生非常的谦逊，80 岁高龄却思维非常的敏捷，且不耻下问，真是钦佩他勤奋好学的精神！福建南平清老先生是德高望重的中国幻方前辈，曾有幻方专著面世。现年值八旬，仍钻研学问，多有精巧创作，这一款四阶中心对称素数幻立方就是难能可贵的珍品。纯用素数构造幻立方本是一个艰难的研究课题，中心对称尤为巧妙！即关于中心对称的两素数之和恒为定值 9870，这正好是四阶立方幻和值的一半。素数幻立方是幻方前辈老先生最早撰文向国内介绍的，刊登幻方第三期 157 页上，并详细分析其结构及可能的制作方法。杨老先生在文章中先介绍的AkioSuzu

3、ki 在 1977 年先后构造的两个三阶素数幻立方；继而是的 Gakuho Abe 在 1978 年构造的一个四阶素数幻立方，最后展示的 AWjohuson 在 1985 年构造的一个中心对称四阶素数幻立方，引进知识可早开绚丽之花。幻海拾贝：第一款六阶双堆幻立方定义一：在 n*n*k 阶幻立阵中，如果它的每一层都是一个 n 阶（广义）幻方，则称这一幻立阵是一个 n 阶k 层幻方，其中 n、k 为自然数，一般有 nk。容易知道对于一个 n 阶k 层幻方：除了竖和（柱和）为 w*k/2，其中对称和 w=n*n*k+1；它的幻和 S= w*n/2。当 k=2 时，称之为 n 阶双层幻方，它的每一竖（

4、柱）均是一对互补数，即这两数之和恒为定值对称和 w=n*n*k+1；当 k2 时，称之为 n 阶多层幻方。其中 n 阶（广义）幻方能有更好的幻性，如完美，平方，超级，。定义二：在 n*n*n*r 阶幻阵中，如果它的每一堆都是一个 n 阶（广义）幻立方，则称这一幻阵是一个 n 阶 r 堆幻立方，其中 n、r 为自然数，一般有 nr。容易知道对于一个 n 阶 r 堆幻立方：除了拨和为 w*k/2，其中对称和 w=n*n*n*r+1；它的幻和 S= w*n/2。当 k=2 时，称之为 n 阶双堆幻立方，它的每一拨均是一对互补数，即这两数之和恒为定值对称和 w=n*n*n*r+1；当 k2 时，称之为

5、 n 阶多堆幻立方。其中 n 阶（广义）幻立方可能具有更好的幻性，如标准、完美、超级，。n 阶多堆幻立方是 n 阶幻立方在空间的延伸，其制作也有相当难度！达州先生送来第一款六阶双堆幻立方，其构造精妙，令人拍案叫绝！请诸位观赏；幸好 n 阶k 层幻方幻方第八期上已有刊载。先生的奇异的双层平方幻方老先生的64 个完美幻方组成在 140 页上，16 阶双层超级幻方在 151 页上；太原的 16 阶四层幻立阵在 159 页处。我用 n*k(nk)奇阶幻阵正交延拓成 n*n*k 奇阶幻立阵，其每一直剖面正好都是 n 阶完美幻方！举出一例13 阶三层完美幻方刊登在 156 页上。请读者注意：岳阳 强先生制

6、作八阶连元平方幻方对（六期封面上），及七期 191 页处的九阶八图连元平方幻方仨并非多层幻方，是两姐妹或兄弟仨，并排而坐！他们重迭起来不是幻立阵，因竖和不合。n 阶多层幻方是 n 阶幻方在三的延伸，其制作并不难？且趣味盎然，可惜国内同仁对此研究尚不多！期望诸位朋友关注其制作，尽快多出佳品。幻海拾贝：三款最小型的多层幻方多层幻方是幻立阵中具有更优良性质的一类，同样分为奇阶和偶阶两门派，制作方法各有不同！我用正交延拓作出素阶多层幻方，请先观赏其中最小型。例 1：n*m*r= 75即用自然数 1 到 75 制作 5 * 5 * 3阶幻立阵 D(i,j,k)如下：这是一个 3例 2：n*m*r=519

7、0 。5 * 5 * 7层175阶完美幻方！斜线和应是即用自然数 1 到 175 制作阶幻立阵 D(i,j,k)如下：例 3：福建先心制作如下的 6 阶孪生均匀幻方，小巧却得之不易！2010 年 9 月 7 日二三款次小型的多层幻方制作 3 层 7 阶幻方，先用一 3*7 阶幻阵方盘型正交延拓成 3 * 7 * 7 阶幻立阵，再将其前滚动得到 7 * 7 * 3 阶幻立阵；7 * 7 * 5 阶幻立阵及 9 * 9 * 3 阶幻立阵也是类似制作。例 4：n*m*r=147即用自然数 1 到147 制作7 * 7 * 3阶幻立阵 D(i,j,k)如下：这是一个3层7阶完美幻方！斜线和应是 518

8、例 5：n*m*r=245即用自然数 1 到 245 制作7 * 7 *5阶幻立阵 D(i,j,k)如下：这是一个例 6：n*m*r=5243层7阶完美幻方！斜线和应是 861即用自然数1到243制作9 * 9 * 3阶幻立阵D(i,j,k)如下：精巧的三层 15 阶活页性超级幻方达州先生年少敏捷、功底深厚，往往是我出可能的构想，让他去做。这次又不负重望，制作出一款三层 15 阶活页性超级幻方，每一层完美且有 3*5*1 基本均匀块，还具有中心对称。应该是含有 3*5*3 阶活页体，精巧极多！请幻方朋友自己细心赏析。三层九阶超级幻方先生年少敏捷、功底深厚，往往是我出可能的构想，让他去做。这次又

9、不负重望，州制作出一款三层九阶超级幻方，每一层完美且有 3*3均匀块，还具有中心对称。最小型两款多堆幻立方先生让我提出问题，即创作构思，他来付诸实践，屡屡做出佳品，然后我再整达州理补充、理论归纳。这就是俩的最好合作，在数成果迭出，极有效率！近期我所邀，再次送来最小型的两款多堆幻立方，精妙非常并开辟了一条新的创作。用这个双堆 4 阶幻立方的均匀解再结合双堆 6 阶幻立方的均匀解可以任意偶阶双堆幻立方的均匀解。诸位朋友要注意到多堆幻立方：它是一款幻阵，首先必须符合拨和！再请欣赏如下制造的第一款素数阶多堆幻立方。由完美幻立方拼合的多层幻方达州先生送来一款五层 15 阶幻方，它是由九个 5 阶幻立方拼

10、合而成，精巧令人赞叹！其中 5 阶活页体只是简单幻立方，有标准存在吗？P 阶标准活页体要求不仅四条（三维）对角和，且须其 6*P 条剖面（二维）对角线也符合！我依照线符合采用的子方代换法编写 VB 程序，再三寻找，终于如愿；得到一款 11 层 33 阶幻方，它是由九个 11 阶完美幻立方拼合而成。如果说所作是精雕细刻的工艺品，那么是依规则的大机器制作。其制作参数是如下 3*11*3 阶的幻立阵 E 及 11 码拉丁体 F（略）。3 * 11 * 3阶幻立阵 E(i,j,k)如下：每次取 E 的一行 11 码小飞 q 成顶层，逐层漂移成 11 阶拉丁体 A；类似取 F 的一行做拉丁体 B，仍是这

11、一行另法做拉丁体 C，三拉丁体 A、B 及 C 恰好正交成一个 11 阶活页体。本文中它正好是一个 11 阶完美幻立方，即此活页体中所有直线、二维斜线及三维斜线上 11 数之和和 S = 65890 。都符合P 阶活页体D = (A-1)*r*r+(B-1)*r+C,这里 P=11, r=3；依次九个拼幻立阵 D。n*m*r=11979即用自然数 1 到 11979 制作成 33 * 33 * 11四层 16 阶超级完美幻方阶幻立阵通过对先生的三层雪花幻方的欣赏、学习及，我依此制作了一款四层 16 阶超级完美幻方。雪花是完美加上中心对称，超级是高于完美的幻性！即内含等和的均匀块。我舍弃了一些小

12、的匠心精巧，而尽量采用简单且规则的动作，便于编写程序来大批量生产，也使读者朋友容易理解与掌握这一制作过程。先取一四阶幻立方 D，另取一四阶幻方漂移成 16 码四阶拉丁体 C 如下，C 与 D 是制作参数。D 的每一层都“列移横排”成四层 16 阶模 A；类似地，C 的每一层都“行移纵排”成四层 16 阶拉丁体 B，按以下公式 A 与 B 恰好正交成幻立阵 D：D = (A-1)*p*q + B，这里 p = q = 4。n*m*r= 1024即用自然数 1 到 1024制作 的 16 * 16 * 4阶幻立阵 D(i,j,k)如下：这个幻立阵内含有1 层 4 行 4列的均匀块，恭喜，它是一个超

13、级幻立阵！如果没有电脑程序的辅助，手工计算验证是相当艰难的！内含完美活页体的九层 27 阶超级幻方前些时候我仿制了一款 11 层 33 阶幻方，内含 11 阶完美活页体。先生闻讯更精心构思，老天不负有心人！旋而送来一款内含 9 阶完美活页体的九层 27 阶超级幻方，优异幻性皆完美俱备，又是奇合数阶、巧夺天工！欣喜非常，特向诸位隆重介绍。由于篇幅太大，读者欣赏！ 16 阶内含活页体的超级幻方仿照先生的分码代换方法，我稍做改动作出一款四层 16 阶内含活页体的超级幻方，特向广大幻方朋友讲述其制作过程。先取一个四阶简式幻方（拉丁方）为 E 的顶层，取它的列转、行转及连转拼一个 4 码四阶拉丁体 E；

14、又取四阶对称幻立方 F，E 与 F 是制与其分码制作拉丁体再正交，不如拿出正交的三个拉丁体保险省事？我取录老先生制作，在其著作 142 页的四阶幻立方 M 为三维模，分解成正交的三个拉丁体 A、B、C，以 F的某一行(k 层 i 行)代换A 的一层(t 层)，以 E 的这一行(k 层 i 行)代换 B、C 的一层(t 层)，A、B、C 正成 D 的一个活页体(k 层i 排第t 个)。录先生制作 , P142 的四阶幻立方Mn*m*r= 1024即用自然数 1 到 1024 制作的 16 * 16 * 4阶幻立阵 D(i,j,k)如下：这是一个四层 16 阶幻方，由 16 个 4 阶简单幻立方拼

15、合而成，一个具有 4*4*1 或 4*1*4基本均匀块的 16*16*4 阶超级幻立阵。可惜层面幻方不够完美！且非中心对称？抛砖引玉，作为成功的个例先行推出供同仁观赏与研究，还有努力精炼的余地。三款最小的乘积幻立方先生是难得的幻方奇才，其制作精妙，令人阅后赞叹不已、拍案叫绝！近期苏福州先生送来三款最小的乘积幻立方，观后都说不难，但总要有第一人做出面世？这第一人就是天才！他是先构造三个恰好正交的拉丁体 A、B、C，再正交相乘得到简单幻立方 D=A*B*C。这次送来三阶、四阶、五阶各一款，制作并不难，但要做到乘积最小却要费一番心思，展示如下请诸位朋友观赏，！当D=A*B*C 时4 阶最小的乘积幻立方福州先生是举世闻名的幻方奇才，可惜因耽误了正规科班教育培养，又逢开放来证明人生价值！此次送来三款贫困在民间。苏先生仍能刻苦研究纯学术，用成果最小的乘积幻立方。创新带来智慧，观赏触动灵感！3 阶乘积以外，还有第幻方分为三堆，每堆都是一个 3 阶立方体；直线