余弦函数的图像与性质教学设计

1、-. z.余弦函数的图像与性质【教学目标】1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.【知识梳理】问题1:余弦函数的图像的作法(1)平移法:余弦函数y=cos *的图像可以通过将正弦曲线y=sin *的图像向平移个单位长度得到(如图).(2)五点法:余弦曲线在0,2上起作用的五个关键点分别为.问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间(1)定义域为;(2)值域为;(3)单调增区间为,减区间为.问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和

2、对称中心(1)周期T=;(2)偶函数;(3)对称轴为(4)对称中心为.问题4:余弦函数的复合函数f(*)=Acos(*+)(A0,0)的对称轴、对称中心和单调区间(1)当*+= QUOTE +k时,即为对称中心;(2)当*+=k时,即为对称轴;(3)当*+-+2k,2k时,求得*属于的区间为区间;当*+2k,+2k时,求得*属于的区间为区间.(注:以上kZ)【典型例题】要点一余弦函数的图像及应用例1画出ycos *(*R)的简图，并根据图像写出：(1)yeq f(1,2)时*的集合；(2)eq f(1,2)yeq f(r(3),2)时*的集合解：用五点法作出ycos *的简图(1)过eq bl

3、c(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)点作*轴的平行线，从图像中看出：在，区间与余弦曲线交于eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(1,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(1,2)点，在，区间，yeq f(1,2)时，*的集合为eq blcrc(avs4alco1(*|f(,3)*f(,3).当*R时，假设yeq f(1,2)，则*的集合为eq blcrc (avs4alco1(*blc|rc(avs4alco1(f(,3)2k*f(,3)2k，kZ)(2)过eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，eq blc(rc)

4、(avs4alco1(0，f(r(3),2)点分别作*轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2k，f(1,2)，kZ，eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2k，f(1,2)，kZ点和eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)2k，f(r(3),2)，kZ，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)2k，f(r(3),2)，kZ点，则曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当eq f(1,2)yeq f(r(3),2)时*的集合为：eq blcrc (avs4alco1(*blc|r

5、c(avs4alco1(f(2,3)2k*f(,6)2k或f(,6)2k*f(2,3)2k，kZ).规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性跟踪演练1求函数f(*)lg cos *eq r(25*2)的定义域解由题意，*满足不等式组eq blcrc (avs4alco1(cos *0,25*20)，即eq blcrc (avs4alco1(5*5,cos *0)，作出ycos *的图像结合图像可得：*eq blcrc)(avs4alco1(5，f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)eq blc(rc(avs4a

6、lco1(f(3,2)，5).要点二：余弦函数单调性的应用例2求函数ylog (cos 2*)的增区间解：由题意得cos 2*0且ycos 2*递减*只须满足：2k2*2keq f(,2)，kZ.k*1391360，cos 139cos 221.(2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(23,5)coseq f(23,5)coseq blc(rc)(avs4alco1(4f(3,5)coseq f(3,5)，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(17,4)coseq f(17,4)coseq blc(rc)(avs4alco1(4f(,4)coseq f(,4).

7、0eq f(,4)eq f(3,5)，且ycos *在0，上递减，coseq f(3,5)coseq f(,4)，即coseq blc(rc)(avs4alco1(f(23,5)0，又因为1cos*1，显然3cos*0，所以*R.二、填空题7函数ycos*在区间，a上为增函数，则a的取值围是_答案(，0解析ycos*在，0上是增函数，在0，上是减函数，只有解析coseq blc(rc)(avs4alco1(f(47,10)coseq blc(rc)(avs4alco1(5f(3,10)coseq f(3,10)，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(44,9)coseq blc(

8、rc)(avs4alco1(5f(,9)coseq f(,9)，由ycos*在0，上是单调递减的，所以coseq f(3,10)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(44,9).三、解答题9假设函数f(*)absin*的最大值为eq f(3,2)，最小值为eq f(1,2)，求函数y1acosb*的最值和周期解析(1)当b0时，假设sin*1，f(*)ma*eq f(3,2)；假设sin*1，f(*)mineq f(1,2)，即eq blcrc (avs4alco1(abf(3,2)，,abf(1,2).)解得eq blcrc (avs4alco1(af(1,2)，,b1.)此时

9、b10符合题意，所以y1eq f(1,2)cos*.(2)当b0时，f(*)a，这与f(*)有最大值eq f(3,2)，最小值eq f(1,2)矛盾，故b0不成立(3)当b0时，显然有eq blcrc (avs4alco1(abf(3,2)，,abf(1,2).)解得eq blcrc (avs4alco1(af(1,2)，,b1，)符合题意所以y1eq f(1,2)cos(*)1eq f(1,2)cos*.综上可知，函数y1eq f(1,2)cos*的最大值为eq f(3,2)，最小值为eq f(1,2)，周期为2.一、选择题1将以下各式按大小顺序排列，其中正确的选项是()Acos0coseq

10、 f(1,2)cos1cos30cosBcos0coscoseq f(1,2)cos30coseq f(1,2)cos1cos30cosDcos0coseq f(1,2)cos30cos1cos答案D解析在0，eq f(,2)上，0eq f(1,2)eq f(,6)coseq f(1,2)coseq f(,6)cos10.又coscoseq f(1,2)coseq f(,6)cos1cos.2函数f(*)*cos*的局部图像是()答案D解析由f(*)*cos*是奇函数，可排除A，C.令*eq f(,4)，则f(eq f(,4)eq f(,4)coseq f(,4)eq f(r(2),8)0.故

11、答案选D.二、填空题3假设cos*eq f(2m1,3m2)，且*R，则m的取值围是_答案(，3eq blcrc)(avs4alco1(f(1,5)，)解析eq blc|rc|(avs4alco1(f(2m1,3m2)|cos*|1，|2m1|3m2|.(2m1)2(3m2)2.m3，或meq f(1,5).m(，3eq blcrc)(avs4alco1(f(1,5)，).4设f(*)的定义域为R，最小正周期为eq f(3,2).假设f(*)eq blcrc (avs4alco1(cos*blc(rc)(avs4alco1(f(,2)*0)，,sin*0*，)则feq blc(rc)(avs4

12、alco1(f(15,4)_.答案eq f(r(2),2)解析Teq f(3,2)，kTkeq f(3,2)(kZ)都是yf(*)的周期，feq blc(rc)(avs4alco1(f(15,4)feq blcrc(avs4alco1(3f(3,2)f(3,4)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)sineq f(3,4)sineq f(,4)eq f(r(2),2).三、解答题5利用余弦函数的单调性，比拟cos(eq f(23,5)与cos(eq f(17,4)的大小分析利用诱导公式化为0，上的余弦值，再比拟大小解析cos(eq f(23,5)coseq f(23,5)co

13、seq f(3,5)，cos(eq f(17,4)coseq f(17,4)coseq f(,4).因为0eq f(,4)eq f(3,5)coseq f(3,5)，即cos(eq f(23,5)0，*R.yeq r(cossin*)的定义域为R.(2)要使函数有意义，只要eq blcrc (avs4alco1(12cos*0，,2sin*10，)即eq blcrc (avs4alco1(cos*f(1,2)，,sin*f(1,2).)由以下图可得cos*eq f(1,2)的解集为*|eq f(,3)2k*eq f(5,3)2k，kZsin*eq f(1,2)的解集为*|eq f(,6)2k*eq f(5,6)2k，kZ它们的交集为*|eq f(,3)2k*eq f(5,6)2k，kZ，即为函数的定义域7函数f(*)eq f(1,2)eq f(a,4)acos*cos2*(0*eq f(,2)的最大值为2，数a的值解析令tcos*，由0*eq f(,2)，知0cos*1，即t0,1所以原函数可以转化为yt2ateq f(1,2)eq f(a,4)eq blc(rc)(avs4alco1(tf(a,2)2eq f(a2,4)eq f(1,2)eq f(a,4)，t0,1(1)假设