华师版八下数学第19单元矩形、菱形与正方形同步练习2022年-01

1、专题19.2 矩形、菱形与正方形（提高篇）专项练习一、单选题1如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EFCB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A24B18C12D92下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A内角和为360B对角线互相平分C对角线相等D对角线互相垂直3如图，在平行四边形中，、是上两点，连接、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )ABCD4如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为()A(，1)B(1，)C(，1)D(，1)5如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4点E在边AB上，点F在

2、边CD上，点G、H在对角线AC上若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）A2B3C5D66 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A1B2C3D47关于ABCD的叙述，正确的是（）A若ABBC，则ABCD是菱形B若ACBD，则ABCD是正方形C若AC=BD，则ABCD是矩形D若AB=AD，则ABCD是正方形8如图，在正方形中，点，分别在边，上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）A1BCD29如图，在 ABCD中，CD=2AD，BEAD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：ABC=2ABF；EF=

3、BF；S四边形DEBC=2SEFB；CFE=3DEF,其中正确结论的个数共有（ ）.A1个B2个C3个D4个10如图，正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长是( )A2BCD二、填空题11如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，垂足为点E，若EAC=2CAD，则BAE=_度 12如图，在RtABC中，ACB=90，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点若AB=8，则EF=_13如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 .14如图，在正方

4、形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G,若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则BCG的周长为_15如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快_s后，四边形ABPQ成为矩形16对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点若，则_17如图，在平面直角坐标系中有一个长方形ABCO，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标(8，4)，将长方形沿EF折叠，使点B落到原点O处，点C落到点D

5、处，则OF的长度是_.18如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1， A2，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 _19如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，且连接AE，将沿AE折叠，若点B的对应点落在矩形ABCD的边上，则 a的值为_20如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足SPAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为_21如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处若OA8，CF4，则点E的坐标是_

6、22如图，四边形是矩形，延长到点，使，连接，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于2，则的面积为_（用含正整数的式子表示）三、解答题23如图，在四边形中，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的长24正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且EDF=45.将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长25已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC（1）求证：四边形A

7、BCD是菱形；（2）如果BE=BC，且CBE：BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形26如图，在四边形ABCD中，ABC=90，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN（1）求证：BM=MN；（2）BAD=60，AC平分BAD，AC=2，求BN的长27ABC中，BAC=90，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系为： BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论，

8、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长28（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，求证：EF=BE+FD;（2）如图2，四边形ABCD中，BAD90，AB=AD，B+D=180，点E、F分别在边BC、CD上，则当EAF与BAD满足什么关系时，仍有EF=BE+FD，说明理由（3）如图3，四边形ABCD中，BAD90，AB=AD，AC平分BCD，AEBC于E，AFCD交CD延长线于F，若BC=8，CD=3，则

9、CE= .（不需证明）参考答案1A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解【详解】E是AC中点，EFBC，交AB于点F，EF是ABC的中位线，BC=2EF=23=6，菱形ABCD的周长是46=24，故选A点拨本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.2C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360，故本选项错误；B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D、

10、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选C点拨本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.3A【分析】由平行四边形的性质可知：，再证明即可证明四边形是平行四边形【详解】四边形是平行四边形，对角线上的两点、满足，即，四边形是平行四边形，四边形是矩形故选A点拨本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题4A【解析】试题分析：作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点如图：过点A作ADx轴于D，过点C作CEx轴于E，根据同角的余角相等求出OAD=COE，再利用“角角边”证明AOD和OCE全等，根据全等三

11、角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可点C的坐标为（-，1）故选A考点：1、全等三角形的判定和性质；2、坐标和图形性质；3、正方形的性质5C【详解】试题分析：连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EFAC；利用”AAS或ASA”易证FMCEMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在RtABC中，由勾股定理求得AC=，且tanBAC=；在RtAME中，AM=AC= ，tanBAC=可得EM=；在RtAME中，由勾股定理求得AE=5故答案选C考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数6C【详解】试题分析：作F点关于BD的对称点

12、F，则PF=PF，连接EF交BD于点PEP+FP=EP+FP由两点之间线段最短可知：当E、P、F在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+FP=EF四边形ABCD为菱形，周长为12，AB=BC=CD=DA=3，ABCD，AF=2，AE=1，DF=AE=1，四边形AEFD是平行四边形，EF=AD=3EP+FP的最小值为3故选C考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题7C【详解】选项C中，满足矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，所以选C.8D【分析】由CDAB得到EFD=FEB=60，由折叠得到FEB=FEB=60，进而得到AEB=60，然后在RtAEB中由30所对直角边等

13、于斜边一半即可求解【详解】解：四边形ABCD是正方形，CDAB，EFD=FEB=60，由折叠前后对应角相等可知：FEB=FEB=60，AEB=180-FEB-FEB=60，ABE=30，设AE=x,则BE=BE=2x，AB=AE+BE=3x=3，x=1，BE=2x=2，故选：D点拨本题借助正方形考查了折叠问题，30角所对直角边等于斜边的一半等知识点，折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题9D【解析】分析：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH证明DFEFCG 得EF=FG，BEBG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；详解：如图延长EF交

14、BC的延长线于G，取AB的中点H连接FHCD=2AD，DF=FC，CF=CB，CFB=CBF，CDAB，CFB=FBH，CBF=FBH，ABC=2ABF故正确，DECG，D=FCG，DF=FC，DFE=CFG，DFEFCG，FE=FG，BEAD，AEB=90，ADBC，AEB=EBG=90，BF=EF=FG，故正确，SDFE=SCFG，S四边形DEBC=SEBG=2SBEF，故正确，AH=HB，DF=CF，AB=CD，CF=BH，CFBH，四边形BCFH是平行四边形，CF=BC，四边形BCFH是菱形，BFC=BFH，FE=FB，FHAD，BEAD，FHBE，BFH=EFH=DEF，EFC=3D

15、EF，故正确，故选D点睛：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题10D【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，ACD=GCF=45，再求出ACF=90，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【详解】如图，连接AC、CF，正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，AC=，CF=，ACD=GCF=45，ACF=90，由勾股定理得，H是AF的中点，CH=AF=.故选D点拨本题考查了直角三

16、角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键1122.5【详解】四边形ABCD是矩形，AC=BD，OA=OC，OB=OD，OA=OBOC，OAD=ODA，OAB=OBA，AOE=OAD+ODA=2OAD，EAC=2CAD，EAO=AOE，AEBD，AEO=90，AOE=45，OAB=OBA=67.5，即BAE=OABOAE=22.5考点：矩形的性质；等腰三角形的性质122【详解】解：在RtABC中，AD=BD=4，CD=AB=4，AF=DF，AE=EC，EF=CD=2，故答案为2.13（10，3）【分析】根据折叠的性质得到AF=

17、AD，所以在直角AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标【详解】四边形AOCD为矩形,D的坐标为(10,8),AD=BC=10，DC=AB=8，矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，AD=AF=10，DE=EF，在RtAOF中,OF= =6，FC=106=4，设EC=x，则DE=EF=8x，在RtCEF中,EF2=EC2+FC2，即(8x)2=x2+42，解得x=3，即EC的长为3.点E的坐标为(10,3).14+3【解析】分析：根据面积之比得出BGC的面积等于正方形面积的，进而依据BCG的面积以及

18、勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长详解：阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，阴影部分的面积为9=6，空白部分的面积为9-6=3，由CE=DF，BC=CD，BCE=CDF=90，可得BCECDF，BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为3=，设BG=a，CG=b，则ab=，又a2+b2=32，a2+2ab+b2=9+6=15，即（a+b）2=15，a+b=，即BG+CG=，BCG的周长=+3，故答案为+3点睛：此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题解题时注意数形结合思想与方程思想的应用154【分析】设最快x秒，当BP=AQ时，四边形ABPQ成

19、为矩形，设最快x秒，则4x=202x解方程可得.【详解】设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得3x=202x解得x=4故答案为4点拨本题考核知识点：平行四边形性质,矩形判定.解题关键点：熟记平行四边形性质,矩形判定.1620【分析】由垂美四边形的定义可得ACBD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.【详解】四边形ABCD是垂美四边形，ACBD，AOD=AOB=BOC=COD=90，由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2=AB2+CD2，AD=2，BC=4，AD2+BC2=2

20、2+42=20，故答案为：20.点拨本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.175【分析】连接，设，根据翻折原理可得，然后根据勾股定理即可求解.【详解】连接，如图所示：设根据翻折原理可得：B点坐标(8，4)长方形ABCO解得：，即OF的长度是故填：5.点拨本题主要考查勾股定理、矩形的性质、翻折问题，根据勾股定理列出式子是关键.18【解析】试题分析：根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和试题解析：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）

21、的面积和为4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（n-1）=cm2考点：正方形的性质19或【分析】分两种情况：点落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得，即可求出a的值；点落在CD边上，证明，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值【详解】解：分两种情况：当点落在AD边上时，如图1四边形ABCD是矩形，将沿AE折叠，点B的对应点落在AD边上，；当点落在CD边上时，如图2四边形ABCD是矩形，将沿AE折叠，点B的对应点落在CD边上，在与中，即，解得，（舍去）综上，所求a的值为或故答案为或点拨本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，

22、对应边和对应角相等也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质进行分类讨论与数形结合是解题的关键204【解析】分析：首先由SPAB=S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值详解：设ABP中AB边上的高是hSPAB=S矩形ABCD，ABh=ABAD，h=AD=2，动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离在RtABE中，AB=4，AE

23、=2+2=4，BE=，即PA+PB的最小值为4故答案为4点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质得出动点P所在的位置是解题的关键21(-10，3)【详解】试题分析：根据题意可知CEFOFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）.故答案为：（-10，3）22【分析】先计算出、的面积，然后再根据其面积的表达式找出其一般规律进而求解【详解】解：，面积是矩形ABCD面积的

24、一半，梯形BCDE的面积为，点是的中点，点是的中点，由中线平分所在三角形的面积可知，且，同理可以计算出：，且，故、的面积分别为：，观察规律，其分母分别为2,4,8，符合，分子规律为，的面积为故答案为：点拨本题考查了三角形的中线的性质，三角形面积公式，矩形的性质等，本题的关键是能求出前面三个三角形的面积表达式，进而找出规律求解23（1）证明见解析；（2）2.【解析】分析：（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可.（2）根据菱形的性质和勾股定理求出根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.详解：（1）证明：，平分，又又，四边形是平行四边形又是菱形（2）解：四边形是菱形，对角线、交

25、于点，在中，在中，为中点点睛：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.24(1)见解析；（2） .【分析】（1）由折叠可得DE=DM，EDM为直角，可得出EDF+MDF=90，由EDF=45，得到MDF为45，可得出EDF=MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM

26、-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长【详解】(1)DAE逆时针旋转90得到DCMDE=DM EDM=90EDF + FDM=90EDF=45FDM =EDM=45 DF= DFDEFDMF EF=MF （2） 设EF=x AE=CM=1 BF=BM-MF=BM-EF=4-x EB=2在RtEBF中，由勾股定理得即解之，得25（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）首先证得ADECDE，由全等三角形的性质可得ADE=CDE，由ADBC可得ADE=CBD，易得CDB=CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利

27、用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；（2）由BE=BC可得BEC为等腰三角形，可得BCE=BEC，利用三角形的内角和定理可得CBE=180 =45，易得ABE=45，可得ABC=90，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形【详解】（1）在ADE与CDE中，ADECDE，ADE=CDE，ADBC，ADE=CBD，CDE=CBD，BC=CD，AD=CD，BC=AD，四边形ABCD为平行四边形，AD=CD，四边形ABCD是菱形；（2）BE=BC，BCE=BEC，CBE：BCE=2：3，CBE=180 =45，四边形ABCD是菱形，ABE=45

28、，ABC=90，四边形ABCD是正方形26（1）证明见解析；（2）【分析】（1）在CAD中，由中位线定理得到MNAD，且MN=AD，在RtABC中，因为M是AC的中点，故BM=AC，即可得到结论；（2）由BAD=60且AC平分BAD，得到BAC=DAC=30，由（1）知，BM=AC=AM=MC，得到BMC =60由平行线性质得到NMC=DAC=30，故BMN=90，得到，再由MN=BM=1，得到BN的长【详解】（1）在CAD中，M、N分别是AC、CD的中点，MNAD，且MN=AD，在RtABC中，M是AC的中点，BM=AC，又AC=AD，MN=BM；（2）BAD=60且AC平分BAD，BAC=

29、DAC=30，由（1）知，BM=AC=AM=MC，BMC=BAM+ABM=2BAM=60MNAD，NMC=DAC=30，BMN=BMC+NMC=90，而由（1）知，MN=BM=AC=2=1，BN=考点：三角形的中位线定理，勾股定理27（1）CFBD，BC=CF+CD；（2）成立，证明详见解析；（3）.【详解】试题分析：（1）根据正方形的性质得到BAC=DAF=90，推出DABFAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；由正方形ADEF的性质可推出DABFAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，ACF=ABD，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到BAC=DAF=90，推出DAB

30、FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，ADE=90，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到ADH=DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论试题解析：解：（1）正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，在DAB与FAC中，DABFAC，B=ACF，ACB+ACF=90，即CFBD；DABFAC，CF=BD，BC=BD+CD，BC=CF+CD；（2）成立，正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，在DAB与FAC中，DABFAC，B=ACF，CF=BDACB+ACF=90，即CFBD；BC=BD+CD，BC=CF+CD；（3）解：过A作