大一大二大一数学复习3

1、工科数学分析基础西安交通大学理学院hqlee第三章一元函数积分学及其应用第一节定积分的概念微积分的基本公式第二节第三节两种基本积分法第节定积分的应用反常积分几类简单的微分方程第五节第六节两种基本积分法2010-11-72/58四第三节两种基本积分法3.13.23.3换元积分法分部积分法初等函数的积分问题习题3.31,3(单号)两种基本积分法2010-11-73/583.1 换元积分法cosQxd2xsinx) x2 Ccoxs,问题：事实上：(sin22d2xd2x 1 2 1 coscos2sin2.22令u 2 xxd2x 1 co 1 1cossdsinsin2.222.将复合函数求导法

2、则反过来用，就得到了所谓换它是计算积分的最重要的方法.两种基本积分法2010-11-74/58则则设F (u若 又若f ( f u u C ,fu),fu(F x) ) x) ( x)f 可微与x)均连续，则有x) C fd Fu x则） 设f是连续函数， 有连续的定理3.1（换导数，且的值域含于f的定义域，则x f u du f x)凑微分法用法：设法将 化为 f ( x) (的形式.g()d两种基本积分法2010-11-75/58 sin 2 xdx.sin 2 xdx 例1求12解（一）sin 2d (2)1 cos 2;2解（二） sin 2 xdx 2 sin x cos xdxsi

3、n2 2 sind (sin);解（三） sin 2 xdx 2 sin x cos xdxcos2 2 cos xd (cos x) .两种基本积分法2010-11-76/58d (cos x) sin xdxd (sin x) cos xdx1例2dx.求dx x1解1 1(3 2xd)3 2 xx212ln 3 x C典型凑法1两种基本积分法2010-11-77/58 f ax b dx 1 f)d au xdx 1 dx a1 b(1) (a a bxndxbx)nd a bx例3n1b 1bCn 111 x (2()dx)dxaax a211a1d (d)211(ln x lna C

4、Cln2a2a两种基本积分法2010-11-78/5811 1例4 (1) dxdxx2a2a22x1 a21d x 1 1 arctan x C . a 21 x aaa a 12()dx dx1 x2a2a2x a1 x d x a arcsin C1 2 a xa两种基本积分法2010-11-79/58例5 11 1 dx dx( x 4)2 932 x 4 2 13d x 4 11 13 x 4 2 x 4C .arctan3 1333两种基本积分法2010-11-710/58例622 1 2 12 3 2 x 3 2 x 1 2 x 3dx 1 2 x 1dx44x 1 ) 1 d

5、(2 x 1)23(x881 1 332 x 23Cx1212两种基本积分法2010-11-711/58典型凑法2例7 1 13 x 2x 3 dx 3x 33 d3 113 x32 122x)xxC2)2 1 cos11 sin 1 C cosdxx2x 2e3x 23x23xe(dx3xx33x两种基本积分法2010-11-712/58 fxnn 1 fdn其它典型凑法1 x e dx dexxln xxcos xdx d sin xsin xdx d ( cos x)sec2 xdx d tan xx csc2 x1cot xsec x tan xdx d sec xdx arctan1

6、 x21dx arcsin1 x 2两种基本积分法2010-11-713/58例8 计算secxxdx 1 ln x 1 C1d x2 1x 12解法1secxx1secxxd ddx解法2seccosx x(n 1cosx sin 2 x dxdsinxsect2cos x1(tadnsec)x 1sin1 lnCsecsectantanCx x 2 sin1ln2 1 1 (sin)Cln2sinx 21同理tanClnseclnd coCtcsccsc两种基本积分法2010-11-714/58sin xcos xd cos x(例19 lncos )taxndxdxcos x同理cosc

7、3oxsdx2c(oxsd1x x(2)sin2x )sinsin3 x sin x C3x 122cos1coscoxsdx 22x4(3)dx42sin 14() C4两种基本积分法2010-11-715/581 cot xdxlnsin 例10求sin2c5os xdxx.解sinc5osisxndx cos224xxx(sin)(sin) ( 21x sinsin(sinx)(sin)x22xn) 1 sin3 x.3说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.两种基本积分法2010-11-716/581例11 求dx.1cosxcosx11dx 解法11cos1cosx11

8、 cosx dx1 1cosx dx1co2s x1 sin2 x(sin1dx )cot x C .sin22xsinxsin x解法211cosx dx xx1 x2x dx sec2 tanCd2222cos2两种基本积分法2010-11-717/58 1 例12cos x3sinxdx(s2in5 x)2 1 (cos x cosx 5 C)25cos)sin sin sincoscossin(xxxsyincyoscyos(sinsinsincos两种基本积分法2010-11-718/58)x syinxcosy xcyos)x syinxcosy xcyos)x ysin(x y

9、)2 xsiny)x ycosxcoysxsyin)x ycosxcoysxsyin)x ycos(x y )2xsyin)x ycos(x y )2 xcoysxsisnin1 y) sxin( y (2 ln x dxl nd(ln)例13x11(ln)(1 2lndxln x)(1tan)tan 11 2(costanxarctan x dxarctandarctan1 x2x1 x 2d1 x 2 d (x2e1 x 2x 11xx 11 ( x )x1()xdx2两种基本积分法2010-11-719/58.例14求4 1d x 解224 1 2 arcsin21x x arcsin

10、C .xd (arcsinln )22arcsin2两种基本积分法2010-11-720/581ex 1 eex例15d ( ln(1 x) .(dxx1 ex1ex1x2()dxdxxx1 ex( (xx11 (ex )1 exx xx(x1 exe ln(1 x ) C .1eee x1 1 e xdx 1 dx或dx1 e x1 ex两种基本积分法2010-11-721/58x例163 dx.求( xxdx xdx解x( x133(1 3 (12(11 CC1 x11x222( C .1 2( 2两种基本积分法2010-11-722/58常用凑法小结1(1) fd ax badx nfa

11、a1(2) f ( xn ) 1dxnn万能凑幂法1(sfin(cos(tfan f e(3dxns)inxnnxn(sinddcos sin456)xd)cosxt)anx(cdosec x(tand ddexx )(7)d(8(l(lnl)x两种基本积分法2010-11-723/582. 不定积分的换则第一类换解决 f ( x)难求 fdu x易求若所求积分 难求， f ( x)fd易求,则得第二类换元积分法 .定理3.2 设f是连续函数， 有连续的导数，且定号，则 f ( x) (t )(t )d t 1)(其中1 是的反函数 .两种基本积分法2010-11-724/581( 0).例1

12、7x求x at , t dx x 1sec2 tdttan2 解令21 a sec2 tdtx aa sec t sec tdt ln(sec t tan t ) Cxa xx lna C .taa两种基本积分法2010-11-725/58 x例184sintn 求t , 解 令 x2dx22 costdt24t 3 t ( x3241tsi2n t cos cos2ttd2tt)dtcoscossint 32tcdostsinc4os d (cos1232t)C) 1x 352coscos35 4 4 x2 3 1 2 54 x24.35两种基本积分法2010-11-726/581a 例19

13、dx).求x a t ,0 x 令x a sec tsec t tan tdt2 解 a sec t tan tdt1dx x aa tan t sec tdt ln(sec t tan t ) Cxtx a22 x lna C .aa两种基本积分法2010-11-727/58以上几例所使用的均为三角代换,目的是化掉根式.一般的，当被积函数中含有可令x a sin t;(2(3(tan t;)可令可令x a sec t.积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.ch t sh t 1令 sht a chta a2( s)2t )x a例如两种基本积分法2010-11-728/58x 1

14、.当分母的阶较高时, 可采用倒代换t例20求(x 1 dx 1 dt,解令t 2tt 1 dt t 6 dt 172(tt 7 2 t 1 ln | 1| 1 ln| 7ln | 2 C7|14142两种基本积分法2010-11-729/581求不定积分dx例211 ex2tdx x ln( 1),2dt解令则t 2 111 2t2 t t 2dx dt dt于是 1t 2 11 ex11 ( ln(t 1) ln(t 1) C)dtt 1t 1ex lnCex 两种基本积分法2010-11-730/58sin x例22dx 11求 4(5 4cos)5 4cos x5 4cos xx令t t

15、an,则由半角公式得解22tan xx2x1 tan2 1 t22t2sin x cos x ,x21 t 21 t 221 tan21 tan22求解三角有理函数x (2arctan t ) dt.1 t 2普遍适用的方法tdt 1 (tt原积分 4dt dt )（ t ）9 t )221 t 29 t 221 t 2 11Cln49 t 2 ln(5 44cos) 万能代换法两种基本积分法2010-11-731/58当被积函数含有两种或两种以上的根式klL时，可采用令x t n（其中 n为各根指数的最小公倍数）1求 .例23( 3令 x t 6 dx1t56t 5解dt6t 2dt dt(

16、1 3)(1 2t2 t 1dt6dt1 t21 t 2 C 66x arctant 6.6arctant两种基本积分法2010-11-732/58x2 t 1)2例248 dxdtx )1t 8 1 16 1 t 7 (t t t 85Ctd53711 C)7(5x 11x2x2 ( x 1)7dx dx dx法2dx x )8x x )8)81dx 21dx ( x 1)7dx x )6x )8两种基本积分法2010-11-733/58xx例25 .求33xd () 2x() 21原式 dx 解3232322 x2 xln(1dt令 31113 t 2( ) t2x ( )dt 132 1

17、 1ln2lln t 1 C11C .ln3 t 221 )2(lnln3 2 )(lnln两种基本积分法2010-11-734/58习题3.3(A) 4(4)(6), 5(3), 6, 7, 9(3)(5)(6)(9) (12)(16) ,10（2）(B)3, 6两种基本积分法2010-11-735/583.定积分换定理 3 .3 设函数 f 在有限区间 I 上连续； x t在区间 （ 或 ） 上有连续的导数， 并且的值域R I ，则f其中 ( ),xtdt ().设 是 在I上的一个原函数,则b证 :f ( xx b) F (a)a)f t( ) tt ( ()F) ( )F(F( (ba

18、)两种基本积分法2010-11-736/58ba( dx f ( )t ( )1ax.)例1计算x xa0令x asin tx cos tdtt ,0,解t ,x a时x 0时cos2 2dt原式sin0cos t t atsin)2t 1 cossin 21 dtdts0inctos sinctos20 1 1 lnsint .t c2os04222两种基本积分法2010-11-737/58在 例2设 f当x上连续，试证明aa)(为偶函数时， f ( x dx f ( x dx f ( x)dx；a0a)为奇函数时， (当a.a0aaf ( x)dx x dx ffx dx,证a0 x t0

19、0af tdtf tdt,fdaa0a当 f当 fx 为偶函数时f (f (dd 0ax为奇函数时得证0两种基本积分法2010-11-738/582 x1例3dx.计算x2111dx dx原式解11奇函数偶函数x2x2 (1 x2110 4dx 4dx1 (1 1 x21 (x2011 4 x2dx 4 2 d00的面积 两种基本积分法2010-11-739/58圆x cos x1 1 x22 x21 1 x2例4fx在0,1上连续，证明若22（1）f (sin x)dxf (cos x)dx ;00（2） xf (sin x)dx sin02 0并计算0f (sin x)dx .dx .1

20、cos2x证(1)令x t即证2（2）设 x t dx dt ,x 0 t ,x t ,000 ( t )sin( xf (sin x)dx)dt 0 (sin)dx 0t )dt (sinxf (sin x)dx,02xf (sin x)dx f (sin x)dx.00两种基本积分法2010-11-740/582xf (sin x)dx (sin)dt00dx x sin xsin x02 0dx1 cos21 cos2xx21 (cos)1 cosx20 arctan(cos x)02 ( ) 2.2444两种基本积分法2010-11-741/583sinx.例5计算032sicnos解

21、(Q) fxsin3 cos sin3xx0033cos cosxx20233x2x2 sinsinsinsin2202 4 2255sin x2sin x2.55520两种基本积分法2010-11-742/583e 4dx.例6计算elnxln)3(ln)e 4 解原式1 lne(ln(ln3)3)lne4 e4 21 lne(ln) e1 2(n x3e 4eln . arcsin(2x)6两种基本积分法2010-11-743/583.2 xexdx ?分部积分法问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.x 和v vx具有连续导数,设函数v v uv,v uuv v,分部积分公式或 xexd

22、x xdex x xexxxe eC两种基本积分法2010-11-744/58 udv uv vdu. uvdx uv uvdx,求积分x cosxdx.例12xdx cos xd x解（一x）cos22 xcos2显然，u, v 选择不当，积分更难进行.解（二）x sicosxdxd sindxs C.xedx两种基本积分法2010-11-745/58sxinddx, x例2 （1）2dx xex2xd2 x eC .xx2arctan xd(2)xarctaxndx22(arctanx)2211 x2dx22 xarctan22 xarct(an x).2两种基本积分法2010-11-74

23、6/58x413 ln ln xdxxdx例3x ln x444 1 xC .d arctan44arctan xdx x arctan x 例4arctan xarctan1 2 两种基本积分法2010-11-747/58x n lnxdx xn arcsin xdx xn arctan xdx xn arccos xdxxsin求积分exdx.例5 sin xdex解e e xd(sinsienx sinx)nx )ecosxdx excosxe (sin循环形式 ex xdx(sincos Cxesin).2两种基本积分法2010-11-748/58 x sinxdx e x sin x

24、dx e x cos xdxs xd)sin(ln)xsin(ln xx)例6sin(ln xcx)os(lnsin(ln xx)xdcos(ln )x) x ) sin(ln sind(lncos(lnsin(lnsin(lncos(ln C)两种基本积分法2010-11-749/58din(lndxdx secsec3例7dtantantansecxxsxec tan xsexcdx)ta(nsec tansec3x(sec 1ec2 1(sectan xxtan)2lnsixndlnx 例8ss xan2cos xlxnxtandxtann 两种基本积分法2010-11-750/582e

25、 x,求 xf 例9 已知 fxd.的一个原函数是 xf (d xd fx x解Qfxfx dx,dx x2dx fxxf),x2) f (x两边同时对 x求导,得 . xf 2 xd x22e x fxfx dxx2两种基本积分法2010-11-751/58分部积分法小结 x 2 xd( xe xdx(2) xn sin xdx xn cos xdx(n 1,2)(3 xn lxdx(4) xn arctan xdxn 0,1(5) ex sin xdx两次利用分部积分法通过解方程求得积分(6) xn arcsin xdx(7) xn arccos xdx两种基本积分法2010-11-752

26、/58定积分的分部积分公式设函数)(b、() ,在间b上具有连续budvuvvdu.导数，则有aaa40 xdxxdxx244例1tancosco2s x1x200 1 tandx2 1 40nlncoxs .8284两种基本积分法2010-11-753/58区2sin t1x例设)(dt,xf(xdx求t101211解xfxdx2f ( x)00 1 x 2)( 1 1 f ( 1101x21x2f fd222 si200sin t21dt f (,0)(,t1112111 2 xfxdxxsind2000 1 cos x2 1110 (cos1).22两种基本积分法2010-11-754/58例证明定积分公式2In sinxdx nn2cosxdx00 L3 1 ,n n n为正偶数 n 2n4n n L4 2 ,n为大于1的正奇数n 2n5 3n122In nsinxdx)2证sind(cosn2sxi1snind)00 cons1 x( 1sincos200sin2