2021-2022学年高一下宏志班数学暑假作业2

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页试卷第 =page 5 5页，共 =sectionpages 5 5页2021-2022学年高一下宏志班数学暑假作业学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1设，则（）ABC1D2已知等边的边长为，若，则（）ABCD3如图，等边三角形中，为边的中点，于将沿翻折至的位置，连结那么在翻折过程中：总有成立；存在某个位置，使；在线段上，存在异于两端点的点，使线段的长度始终保持不变其中所有正确结论的编号是（）ABCD以上选项都不对4记的内角的对边分别为，若，则（）ABCD5意大利数学家斐波那契在他的算盘全书中提出了一个关于兔子繁殖的

2、问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）ABCD6某小区从1000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50350kWh之间，进行适当的分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示则下列论述正确的是（）A直方图中x的值为0.0020B该小区用电量不小于25

3、0kWh的一定有180户C估计该小区居民月用电量的众数为225D估计该小区居民月用电量的85%分位数为262.57已知平行四边形ABCD中，.N为平面ABCD内一点，若，则（）A28B14C12D68在圆：的圆周上及内部所有的整点（横坐标，纵坐标均为整数的点）中任意取两个点，则这两个点在坐标轴上的概率为（）ABCD9中国古代数学专著算法统宗中有这样的记载：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本.意思为：现有毛诗、春秋、周易种书共册，若干人读这些书，要求每个人都要读到这种书，若人共读一本毛诗，人共读一本春秋，人共读一本周易，则刚好没有剩余.现要用分层抽样的

4、方法从中抽取册，则要从毛诗中抽取的册数为（）ABCD10在正三棱柱中，为的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（）ABCD11已知直线a，b，平面，则下列命题中正确的是（）A，则B，则C，则Da与b互为异面直线，则12张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，且，利用张衡的结论可得球的表面积为（）A30BCD二、填空题13若复数在复平面内对应的点为，则_14若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为_15化简：_.三、双空题16如图，A，B是C上两点，若弦AB的长度为2，则_，若向量在向量上的投影

5、向量为，则与的夹角为_四、解答题17已知，为不共线的单位向量，且与共线(1)求的值；(2)若，分别求和的坐标18如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效且甲、乙能否正常工作互不影响设事件A“甲元件正常”，B“乙元件正常”(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2)用集合的形式表示事件，并说明它们的含义及关系；(3)某同学求得，请判断该同学所得概率是否一定正确？并依据你的判断给出理由19在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知，(1)求ABC外接圆半径；(2)求ABC的面积的最大值20已知在正三棱柱中，E是棱的中点(1)设，求三棱锥的体积；(2)若把平面与

6、平面所成的锐二面角为60时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由21如图，三棱锥中，两两垂直，分别是，的中点，的面积为，四棱锥的体积为.（1）若平面平面，求证：；（2）求三棱锥的表面积.22某中学共有名学生，其中高一年级有名学生，为了解学生的睡眠情况，用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.(1)求样本中高一年级学生的人数及图中的值；(2)估计样本数据的中位数（保留两位小数）；(3)估计全校睡眠时间超过个小时的学生人数.答案第 = page 1 1页，共 = sectionpages

7、2 2页答案第 = page 14 14页，共 = sectionpages 14 14页参考答案：1B【解析】【分析】先由复数的运算求出，再求模长即可.【详解】，则.故选：B.2C【解析】【分析】由可知，根据，由向量数量积的定义和运算律可求得结果.【详解】，为线段上靠近点的四等分点，则，.故选：C.3B【解析】【分析】证明平面可判断；假设推出与题干矛盾可判断；取靠近的三等分点，则可证，从而判断【详解】解：，又平面，故正确；假设存在某个位置，使得，连接，则，.故平面，又由（1）知，平面，显然这是不可能的，故假设错误，故错误；存在点，满足，取的中点，连接，易得，设底面三角形的边长为，则，平面，故

8、平面，故是直角三角形，故正确故选：B. 【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定定理与性质定理，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理进行证明.4D【解析】【分析】利用正弦定理边化角可求得，进而得到，利用余弦定理可求得结果.【详解】由正弦定理可得：，则，由余弦定理得：，解得：.故选：D.5B【解析】【分析】由斐波那契数列中偶数出现的周期性求前2021项中偶数的个数，再由古典概型概率求法求概率即可.【详解】由题设，斐波那契数列从第一项开始，每三项的最后一项为偶数，而，前2021项中有个偶数，故从该数列的前

9、2021项中随机地抽取一个数为偶数的概率为.故选：B6D【解析】【分析】对A，根据频率分布直方图的面积为1计算即可；对B，根据抽样与总体之间的关系判断即可；对C，根据频率分布直方图估计众数判断即可；对D，根据85%分位数左边的面积为计算即可【详解】对A，故，解得，故A错误；对B，因为样本只能估计总体的情况，不能完全确定总体的情况，故B错误；对C，估计该小区居民月用电量的众数为，故C错误；对D，因为，故估计该小区居民月用电量的85%分位数在，设为，则，解得，故D正确；故选：D7B【解析】【分析】根据题意及向量的运算法则，以及平面向量的数量积的定义，得到，即可求解.【详解】如图所示，取的中点为，连

10、接，因为，所以，又因为，可得，所以.故选：B.8D【解析】【分析】依题意画出图象，即可得到整点的个数，其中有个点在坐标轴上，记为、，另外两个记为、，利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：依题意圆：如下图所示：可知整点有、共个，其中有个点在坐标轴上，记为、，另外两个记为、，从5个点中任取2个包括的基本事件为、共10个，两个点都在坐标轴上包含、共3个基本事件，所以两个点都在坐标轴上的概率；故选：D9D【解析】【分析】设毛诗有册，春秋有册，周易有册，学生人数为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这四个未知数的值，再利用分层抽样可求得结果.【详解】设毛诗有册，春

11、秋有册，周易有册，学生人数为，则，解得，因此，用分层抽样的方法从中抽取册，则要从毛诗中抽取的册数为.故选：D.10A【解析】【分析】延长至点，使，延长至，使，取的中点，连接，易证，再分别求出长度，利用余弦定理求解即可.【详解】如图，延长至点，使，延长至，使，取的中点，连接，根据题意得：，所以四边形为平行四边形，所以，则为异面直线和的夹角或其补角，易得，所以故选：A.11D【解析】【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可.【详解】A选项中，只有直线a与两平面的交线垂直的时候结论才成立；B选项中，还有可能；C选项中，两直线a，b平行或异面；D选项中，过直线a上一点做，

12、则相交直线a，确定一个平面，设为，易得且，所以；故选：D12D【解析】【分析】由，底面，将三棱锥放在长方体中，求出外接球的半径以及圆周率的值，再由球的表面积公式即可求解.【详解】如图所示：因为，底面，所以将三棱锥放在长、宽、高分别为的长方体中，三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，外接球的直径，利用张衡的结论可得，则，所以球的表面积为.故选：D.132【解析】【分析】利用复数的乘、除运算以及复数的几何意义即可求解.【详解】，由题意得，且，解得，所以故答案为：214#【解析】【分析】由侧面积是底面积的倍求母线长，进而可以得高，然后可得体积.【详解】因为侧面积是底面积的倍，所以，所以，因此高为，所以

13、圆锥的体积为.故答案为：15【解析】【分析】将原式切化弦，进而通分并结合倍角公式化简，然后再利用两角和与差的正弦公式化简，最后求得答案.【详解】原式.故答案为：.16 2 #【解析】【分析】（1）根据数量积的公式求解即可；（2）根据投影向量的公式求解即可【详解】（1）；（2）由题意，故，故，又，故，即，解得，故，所以17(1)(2)当时，；当时，【解析】【分析】（1）由向量共线定理和平面向量基本定理可得；（2）设坐标，利用向量坐标表示出坐标，再由，为单位向量列方程组可解.(1)设，则，得，解得(2)设，因为，所以，得，解得或当时，；当时，18(1)(2)答案见解析(3)不一定正确，理由见解析；

14、【解析】【分析】（1）用表示元件正常，表示元件失效，即可列出样本空间；（2）由（1）可得，即可判断其一一，再根据对立事件的概念判断即可；（3）举出合适的反例即可；(1)解：用表示元件正常，表示元件失效，则样本空间(2)解：，表示电路正常工作，表示电路工作不正常，所以和互为对立事件；(3)解：不一定正确，当时，则；19(1)3(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理可知，再根据余弦定理即可求出，再根据同角基本关系和正弦定理，即可求出结果；（2）由（1），对使用基本不等式，可得，再根据，即可求出结果.(1)解：由，得由正弦定理得，由余弦定理得，所以设ABC外接圆半径为R，则，所以ABC外接圆半径为3

15、(2)解：因为，当且仅当ac时，等号成立，所以，所以，所以ABC的面积的最大值20(1)(2)此三棱柱不是“黄金棱柱”，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先根据平面，再根据求解即可.（2）延长交的延长线于点，连接，根据题意得到为平面与平面所成二面角的平面角，且，即可得到答案.(1)取的中点，连接，如图所示：因为，为中点，所以.又因为平面，平面，所以.又因为，所以平面.又因为，平面，平面，所以平面，所以(2)延长交的延长线于点，连接，如图所示：因为，是棱的中点，所以是的中点.所以，即.因为平面，平面，所以.又因为，所以平面.又平面，所以，所以为平面与平面所成二面角的平面角，因为正三棱柱中，所以，即此三棱柱不是“黄金棱柱”.21（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由中位线性质得到，则可证得平面，由线面平行的性质可得结论；（2）根据线面垂直的判定可知是四棱锥的高，根据长度和垂直关系依次求得各个面的面积，加和即可得到结果.【详解】（1）证明：，分别是，的中点，平面，平面，平面.又平面平面，平面，.（2）解：，两两垂直，平面，平面，即是四棱锥的高.，.，分别是，的中点，即.，.的面积为.三棱锥的表面积.22(1)样本中高一年级学生的