平面向量中的最值和范围问题

1、平面向量中的最值和范围问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合考点1、向量的模的范围例1、(1) 已知直角梯形中，/,是腰上的动点，则的最小值为_.(2)（2011辽宁卷理）若均为单位向量，且，则的最大值为( ) A.eq r(2)1 B1 C.eq r(2) D2(3)（2010浙江卷理）已知平面向量满足，且与的

2、夹角为120，则的取值范围是_ .变式：已知平面向量，满足，且与的夹角为，则的取值范围是 ；小结1、模的范围或最值常见方法：通过|eq o(a,sup7()|2=eq o(a,sup7()2转化为实数问题；数形结合；坐标法考点2、向量夹角的范围例2、已知eq o(OB,sup6()(2,0)，eq o(OC,sup6()(2,2)，eq o(CA,sup6()(eq r(2)cos，eq r(2)sin)，则eq o(OA,sup6()与eq o(OB,sup6()夹角的取值范围是( ) A.eq blcrc(avs4alco1(f(,12)，f(,3) B.eq blcrc(avs4alco

3、1(f(,4)，f(5,12) C.eq blcrc(avs4alco1(f(,12)，f(5,12) D.eq blcrc(avs4alco1(f(5,12)，f(,2)小结2、夹角范围问题的常见方法：公式法；数形结合法；坐标法考点3、向量数量积的范围例3、(1)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，则的最小值为( ) (A) (B) (C) (D) (2)如右图，在梯形ABCD中，DA=AB=BC=eq f(1,2)CD=1.点P在阴影区域（含边界）中运动，则eq o(AP,sup7()eq o(BD,sup7()的取值范围是 ；小结3、数量积问题涉及的方法较多，

4、常用的方法有：定义；模与投影之积；坐标法；eq o(a,sup7()eq o(b,sup7()=(eq f(eq o(a,sup7()+eq o(b,sup7(),2)2-(eq f(eq o(a,sup7()-eq o(b,sup7(),2)2考点4、向量的系数问题：例4、给定两个长度为1的平面向量eq o(OA,sup7()和eq o(OB,sup7()，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧eq o(AB,sup7()上变动.若eq o(OC,sup7()=xeq o(OA,sup7()+yeq o(OB,sup7()其中x，yR，则x+y的最大值是_.小结4、向量系数问题

5、的一般处理方法：点乘法；几何法；整体法变式：已知点G是的重心，点P是内一点，若的取值范围是（ ） A B C D（1，2）专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题1、（2011全国新课标理）已知a，b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 其中真命题是（ ） A. B. C. D. 2、（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与的夹角,且和都在集合中,则（）AB1CD3、(2012宁波市期末)在中，D为BC中点，若，则的最小值是 （ ） A. B. C. D.4、（2011福建卷）已知O是坐标原点，点A（1,1）若点M（x,y）为平面区域，上的一个动点，则的取值范

6、围是（ ）A1，0 B0，1 C0，2 D1，25、（2012浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中点，P, Q是正方体内部及面上的两个动点，则的最大值是（ ） A. B.1 C. D.6、（2011全国大纲理）设向量满足，则的最大值等于（ ） A2 B C D17、如图，在直角梯形ABCD中，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设，则的取值范围是( )A. B. C. D.8、（2012安徽卷）若平面向量满足:;则的最小值是；9、已知向量=,若，则的最小值为 ；10、（2012北京卷）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_，的最大值为_ _；11、如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为 ；12、如图，线段长度为，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，为坐标原点，则的