北京大学量子力学课件-第4讲

1、 第四讲 . 波函数的性质 A. 归一化条件 若波函数未归一化。则在区域 中，发现粒子的几率为1 若 则归一化的波函数为 例 由已归一化的波函数 计算 中的几率 2 B波函数的自然条件： 一般而言，波函数必须连续，有界，单值。 波函数必须连续； 有界：我们讲有界是指 有界， 即使是在某些孤立奇点（对于 ）也 可能不违背波函数这一性质； 单值：实际上仅需 单值，即 单值； 在位势有限大小的间断处，波函数导数 仍连续3 C多粒子体系波函数的形式 个粒子体系的波函数为 是描述不同的粒子 处于 粒子 处于 的几率。 所以，物质粒子波函数一般是在多维空 间（位形空间）中的几率波。4 . 位置和位能的平均

2、值 A位置平均值 设： 是归一化波函数，则 的平 均值为 B位能平均值（假设位能表示中不依赖 动量） 5 . 动量平均值 若描述粒子的波函数为 ，则有 可以证明，若 则 。 这表明 是 时刻，动量为 的几 率密度振幅） 6 若用 去求 ， 则 这表明，如果不用 去求动量平均值， 而用 去求 ，则需要引进算符 来代替 （ 变量）进行计算。我们称 为粒子的动量算符。 7 量子力学描述中，引入的算符， ， 对应于经典的位置和动量变量 。然而这些 算符不等于经典变量。 由上述推论： 求动能平均值（ ），可表为 8所以动量即球坐标 9柱坐标 角动量 （原则上为 ） 10 角动量平方算符 11 这看上去与

3、经典动能在形式上相同，但有实质的不同。因这是算符形式。另外，就 而言，经典为径向动量 ，但现在就不同了。 （这在后面将讨论）还有 12（4）态叠加原理 从上面讨论中，我们可以得出：若体系由 来描述，则 （已归一）描述了体系的几率分布或称几率密度。 若粒子处于态 中，则测量动量的取值仅为 ， ，而不在 之间取值。对于大量粒子，好像一部分电子处于 态，另一部分电子处于 态。 13但你不能指定某一个电子只处于 态或只处于 态。即对一个电子而言，它可能处于态（即动量为 ），也可能处于态 （即动量为 ），即有一定几率处于 态，有一定几率处于 态。 由这启发建立量子力学最基本原理之一： A.态叠加原理：

4、如果 是体系的一个可能态， 也是体系的一个可能态，则 是体系的可能态，并称 为 和 态的线性叠加态。14说明二点： 对体系测量力学量 时， 测得值为 ，认为在未测之前可能处于态 上，则称 是体系的一个可能态； 如测得值为 ，认为 也为体系的可能处的态。 因此，体系处的可能态为： 如体系处于 ，那测量力学量的测得值，可能为 或 ，而不可能为其他值。而测得 和 的几率分别为 。 15 态叠加原理是否正确，是以导出的结果是否正确为依据。 B讨论（经典波函数与量子波函数比较） 若 ，经典认为是一个新的振动态，即以来 描述物理量在空间的波动，不能说物理量可能作 波动，或者可能作 波动。但对量子力学来，1

5、6说体系可能处于 态，也可能处于 态。但不会处于 态 （ ）。因测量力学量 所得的测量值是不会为 的。 有时在处理物理问题时，常将函数 展开对经典物理学来说，这仅是一个数学处理，如富里叶分解。这仅表明有各种波相干。但并不能说，振荡发生在某一频率上。而量子力学中的态叠加 。 17原理则赋于这一展开以新的物理含意：测量力学量 ，可能测得值仅为 的 值，其几率 ，即系数 不仅仅是展开系数，而是正比于取值 的几率振幅。 它反映了一个非常重要的性质。而这在经典物理学中是很难被接受的。我们知道一个动量为 的自由粒子是以一个平面波 18描述；动量为 的自由粒子是以平面波 描述。但体系（一个自由粒子）也可能处

6、于这两个态的叠加态上，即体系所处的态为 。可是这个态没有确定的动量 （当你预言动量的测量值时）。事实上，自由粒子仅反映 ，而不是说，自由粒子的动量只能取某个确定值 19，即只能处于态 。它也能处于的态上。事实上，描述自由粒子状态的最普遍的形式为 而 所以，量子力学允许体系处于这样一个态中，在这个态中，某些物理量没有确定值（而从经典物理学看，这是不可思议的。）。 具有确定动量的自由粒子是以平面波来描述。20但你不能说具有确定动量的自由粒子就是处于平面波这个状态。这要看你所要观测的物理量。事实上，大家熟知的 而在 中测量角动量 和角动量 分量 的测得值为 ， 。 这表明，这一自由粒子有一定几率处于

7、 态上，其几率为 21另外，值得注意的是：在态叠加中重要的是系数 ， （如 ， 给定）。对于 它完全被 ， 所决定。 完全可替代 来描述该态。 22所以，重要的是 和 。 态叠加原理的直接后果是要求波函数满足的方程，必须是线性齐次方程。 例. 高斯波包（The Gaussian wave packet） 一个质量为 的自由粒子，其 为高斯分布 求：相应的粒子波包23 所以，由高斯分布的富氏变换，得到的仍是一个高斯分布。2425 这是一个描述 时刻的波函数： 位置在区域 动量在区域2.4 含时间的薛定谔方程（Austrian） 2526年间，将能量不连续和波动性联系起来，并将求粒子能量可能值的问

8、题归结为一定边26条件下的本征方程求解问题，随后给出了含时间的薛定谔方程。这方程给出了描述微观粒子运动的波函数是怎样演化的。（1） Schroedingers equation的建立 应该指出，薛定谔方程不是从基本原理导出来的，它的正确性是靠由它所推出的结果及预言的正确性来证实的。 有确定动量的自由粒子：根据de Broglie关系和Einstein关系27它应相应于一个de Broglies波 由这波函数可得 28但这不是普遍适用的方程（因含有一特殊参量） 因而而若则但从另一方面 29 在这方程中无特殊参量 。它不仅对有确定动量的自由粒子的波函数成立，对最普遍的自由粒子的波函数也成立。30

9、而 31 这一微分方程决定了描述自由粒子状态随时间的演化。 将上述情况推广，对于质量为 的粒子，在位势 中运动时，则 因此，描述这一粒子运动的波函数应满足 32 最为普遍的方程是：体系的Hamiltonian 则称为含时间的Schroedingers equation。 但应注意，同一力学量的经典表示，可得不同的量子力学算符表示 33 因此，经典的力学量，变为量子力学的力学量表示（即量子化），即算符时，应注意 和 对经典是一样的， 但对量子力学而言是不同的 。 34 所以规定： 在直角坐标中表示分量，再代入算符表示； 对于形式为与 线性函数的物理量， ，则取 （ 为实函数）； 如果是矢量，则

10、以 直角坐标下的分量表示，然后再作替换 ，再换为其它坐标。 如 35但如从 不对。（2）对Schroedinger equation的讨论 A量子力学的初值问题： 当体系在 时刻的状态为 时，以后任何时刻的波函数就完全由S.eq.所决定（因对 是一次偏微商）。这就是量子力学的因果律， 36即决定状态的演化。 量子力学的因果律是对波函数的确定，它不像经典力学那样是确定轨道或力学量的测得 值，而是决定状态的演化。 如 ，即与时间无关，那 时刻的解可表为（如 时为 ）37 如何从 波函数来确定 时刻波函数？例如 自由粒子 时刻，已知为 。由于是自由粒子，在 时，它必是 的叠加态 当 给定，则 38也

11、就是，当 给定，则 由 定出。 我们知 时刻自由粒子的态是由 叠加而成，叠加系数为 （已确定）。所以，得 t 时刻的波函数 而 下一节中再进一步讨论。 从另一角度讨论：对于自由粒子，直接用 39 自由粒子在 时处于态 可以证明 而粒子处于 的几率密度为 发现粒子的主要区域在 令 40 所以 可得41讨论： a. 波包的扩展 如果我们以这个高斯波包来描述（或模拟） 一个物体在 时，它位于， （有一宽度 ）, 而平均动量为 。 42 在 时刻，其包络线中心位于 。 所以，包络极大处的速度 称为群速度，即群速度等于粒子速度。 从相位看，如 相位为 相位为 相速度 43 即 也可以计算标准偏差，即发现

12、粒子的主要区域在 （ ） 所以，随时间演化，这一高斯波包越来越宽。 4445 设： 当 ，波包已扩散很大，似乎与经典 粒子无任何相似之处 。 46（以后讨论其物理意义） 所以，这样一个显示经典粒子的波包，动量的分布没有扩展，而空间的分布则扩展，使得你在 时，就认不得经典粒子运动的轨迹了。这一讨论和结论，对任何其它形状的波包都相同。 下图即为高斯波包的传播 4748 b. 波包扩展的时间量级 在实际生活中，对一宏观粒子，我们从来没有看见它的位置会不确定，这不确定还会扩展，以至好似消失。 人： ，所以，人活 秒长的时间，人的位置还能确定。（当 ，才扩散得很大）而 49 年 秒。所以，对于经 年仍还可以，即 亿年因此，量子现象你是看不到的。 尘粒： 克， 即经 秒 年 亿年，尘粒仍保持“经典粒子“轨道运动的图象。 50 电子（在原子中） 千克， 米 秒 而在波尔的氢原子中，电子绕质子一周所花的时间 秒。 由这看出，电子在原子中不可能是波包形式。 51 求波函数随时间的演化，也可这样来做。 时刻的波函数，可由 时刻的波函数完全确定。由于S. eq. 是线性的，因而解能够被叠加。因此，不同时刻的波函数关系也必须是线性的。这就意味着， 必须满足线性齐次的微分方程。即可表为 称为Green