数学相关高等数学旧版课件7

1、第九节 多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、多元函数最值三、条件极值实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出二、多元函数的极值和最值播放1、二元函数极值的定义例1例例zxyoxyzoxyzo2、多元函数取得极值的条件证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意

2、：解求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值最值问题(1) 一般问题较复杂为有界闭区域在上连续求在上的最大值和最小值。假定内只有有限个驻点及不可导点在解法：求出在内的所有驻点及不可导点处的函数值：求出的边界上的最大值和最小值：通过比较，得到在在上的最大值和最小值。(2) 实际问题根据实际问题的性质，可知函数的最值(最大值或最小值)一定在D 的内部取到，而函数在D 内又只有一个驻点，那么，可以断定函数在该驻点处的值就是函

3、数在 D 上的最值(最大值或最小值).较简单解如图,解由无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果问题的实质：求 在条件 下的极值点三、条件极值拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题. 方法：从约束条件中求出隐函数，把求得的隐函数 代入目

4、标函数 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 拉格朗日乘数法 1、 要找函数zf(x, y)在附加条件j(x, y)0下的可能极值点,可以先作辅助函数： F(x, y)f(x, y)lj(x, y), (拉格朗日函数) 其中l为某一常数(拉格朗日乘子). 4、对于所求得的可能的极值点,用极值判别法判定， 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定. 2、对辅助函数分别关于 求偏导数，得到方程组： 3、解方程组，得驻点。 （方程组的解(x, y)就是所要求的可能的极值点,） 函数的最大值、最小值问题1、若最大值或最小值在D的内部取到，在最值点必为驻点， 也必为D的内点，所以，首先求 的驻点。 设二元函数 在区域D上连续，则一定可取到最大值M和最小值m. 极值点在D的内部或边界上。2、若最大值或最小值在D的边界上取到，则应把边界方程作为 约束条件，用拉格朗日乘子法，求出 的驻点。 3、计算所有驻点的函数值，加以比较，找出最大值或最小值解则解可得即多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、小结思考题思考题解答练 习 题练习题答案二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极