(完整版)高等数学答案第六章4曲面与曲线

1、 习 题 641、一动点移动时，与A(4,0,0)及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点M (x, y, z)，所求的轨迹为 ，则CuuurM (x, y, z)C MA z(x 4) y z z亦即222(x 4) y 0(x 4) y 0.22从而所求的轨迹方程为222、 求下列各球面的方程：（1）圆心(2,1,3) ，半径为R 6； （2）圆心在原点，且经过点(6,2,3) ；（3）一条直径的两端点是(2 3,5)与( 4,1,3) ；（4）通过原点与(4,0,0), (1,3,0), (0,0,4)(x 2) (y 1) (z 3) 36解：（1）所求的球

2、面方程为：222 6 (2) 3 7x y z 49（2）由已知，半径R222，所以球面方程为2222 4 3 15 3（3）由已知，球面的球心坐标a 3,b 1,c 1，2221(4 2) (1 3) (5 3) 21，所以球面方程为：球的半径R2222(x 3) (y 1) (z 1) 21222 y z 2gx 2hy 2kz l 0（4）设所求的球面方程为：x222l 0l 016 8g 0h 1因该球面经过点(0,0,0), (4,0,0), (1,3,0), (0,0,4) ，所以解之得10 2g 6h 016 8k 0g 2k 2 y z 4x 2y 4z 0. 所求的球面方程为

3、x2223、求下列旋转曲面的方程：（1）将yOz 坐标面上的抛物线y 2z 绕 旋转一周所生成的旋转曲面；z2解：x y 2z (旋转抛物面) .22 x22z2 1分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲（2）将坐标面上的双曲线zOxac2面x2y2 z2x2 y2z2x 轴旋转得 1 1.解： 绕绕 z 轴旋转得a2c2a2c24、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？x2y2z2y2（1） 1；（2） z21（3）x y z 1；（4）(z a) x yx22222224994x2y2x2z2解：（1）平面上椭圆1绕 轴旋转而成；或者 平面上椭圆xOz1xOyx4949绕 轴旋转而成xy

4、2y2（2）xOy 平面上的双曲线绕 y 轴旋转而成1绕 y 轴旋转而成；或者平面上的双曲线 1x2yOzz244（3）xOy平面上的双曲线 x y 1绕 轴旋转而成；或者平面上的双曲线 x z 1绕xOz22x22轴旋转而成x（4）yOz 平面上的直线 绕 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线 z x a 绕 轴旋转z y azz而成.5、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？ x 1 4 1；（4） 2 2 .（1） y；（2） x2y2；（3） x2y2xy x 1解：（1） y在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；在平面解析几何中表示圆周，在空间解析

5、几何中表示圆柱面；在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面. y 4（2） x（3） x（4） x2222 y 12 2 y6、指出下列曲面的名称，并作图：x2z2 1y 2z2x z 1x y z 2x 0（1）；（2）；（3）22；（4）222；4 9x2y24x 4y z 1 z 1；（5） y x z ；（6）；（7）222229 16 x2y2x2y2z2 z 1 12x 2y 1 3z；（10） 2 .（8）2；（9）224 9433解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆

6、锥面；（6）双曲抛物（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、 画出下列各曲面所围立体的图形：面；（1）3x 4y 2z 12 0 与三个坐标平面所围成；（2）z 4 x ,2x y 4及三坐2标平面所围成；（ 3 ） z = 0, z = a(a 0),y = x,x + y = 1 及 0 在 第 一 卦 限 所 围 成 ；（ 4 ）22xz x y , z 8 x y 所围.2 2 2 2解：（1）平面3x 4y 2z 12 0 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；（2）抛物柱面z 4 x2与平面2x y 4 及三坐标平面所围成；（3）坐标面

7、= 0 、 0 及平面z = a a 0) 、y= x 和圆柱面x + y = 1在第一卦限所围(zx22成；（4）开口向上的旋转抛物面z x y 与开口向下的抛物面z 8 x y 所围.作图略.22228、画出下列曲线在第一卦限内的图形x y a 1 222x 42 y2zx（1）；（2）；（3）y 2 0 x y x2 z2 a2解：（1）是平面 1与 2 相交所得的一条直线；xy1（2）上半球面 4 与平面x y 0 的交线为 圆弧；zx2 y24（3）圆柱面x y a 与x z a 的交线.图形略.222222216 的柱面方程. x2 y z 229、分别求母线平行于x 轴及y 轴而

8、且通过曲线 x2 z2 y2 03y z 16，为母线平行于x 轴的柱面；解：消去x 坐标得223x 2z 16，为母线平行于y 轴的柱面.消去y 坐标得：2210、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.11 x2 y2 z2 1y2 z2 x2 y2 z2解：；.x 0 x 0y2 z 12 x2y2z211、试求平面 2 0 与椭球面1 相交所得椭圆的半轴与顶点.x16 12 4y2x2y2z2z2 1 1 2上的椭圆，解：将椭圆方程化简为：，可知其为平面 x16 12 4x 2 0 93x 2半轴分别为3, 3 ，顶点分别为(2,3,0), (2,

9、3,0), (2,0, 3), (2,0, 3).12 、将下面曲线的一般方程化为参数方程 9(x 1)2 y2 z 1) 4(x2y2z2（1）；（2） x 0 yz3x y cost2 xy3cost (0 t 2 ) ；解：（1）原曲线方程即：2 1，化为x2z22 99 3 sinz tx 1 3 cos（2） 3 siny(0 2) .z 013、指出下列方程所表示的曲线 25x2 y2 z2 3049x2y2z2（1）（2）；x 31zy2z2425； （4）y z x 8 04x y z 222221.（3）； （5） 94x 3y 4x 2 0解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.x acos14、求螺旋线 y a sin 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.z bzz sin cosx2 y2 a2y ax a解：；.bbz 0 x 0y 0 1x2y2z215、 求曲线 1在坐标面上的投影.z 233 y 0 x22 y , xOy4,解：（1）消去变量 后得 x22在面上的投影为它是中心在原z4z3点，半径为的圆周.21123z2, 0 x| |;（2）因为曲线在平面 z上，所以在 xOz 面上的投影为线段. 2y1z 3| y |.（3）同理在 yOz 面上的投影也为线段. 2,