《异面直线及其所成的角》教案及说明

1、异面直线及其夹角【学目标:知识目标：1、掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形, 会判断两直线是否为异面直线。2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能 求出一些较简单的异面直线所成的角.能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能 力象、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。教学重点、难点：重点;异面3线所成角的概念，能求出一些较简单的异面直线所成的角。难点：异面直线所成角的定义，如何作出异面直线所成的角。教学准备：多媒体课件教学课时：二课时教学过程：第一课时一、导入新课 1.引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？两条道路所在的直线不在同一平面内。它

2、们既不平行也不相交，这样的两条直线 有什么特点呢？2,请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？有3种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线以前我 们没有学习过，那么它们之间有什么特点和关系呢？ ）o （板书课题）二、新课讲解前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系,通过 前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相 交）。我们给它一个新的名称“异面直线”。.异面直线的定义：不同在住伸一个平面内的两条直线叫异面直线。.两条异面直线的性质：既木*行，也不相交。（如前面我们所说的两个例子，同学 们还能找出具有

3、这种性质的两条直线吗？）找两位学生说说他们所找的情况。.空间两条异面直线的画法。如何用图形来表示两条异面直线，通常怎么样画？（老师板演，同时让学生总结其b这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任 何一个平面的特征难以体现。（今后我们也可以不用平面来衬托） 同学们想一想如果这样表示两条异面直线行吗？为什么？.异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直 线是异面直线。（这一过程主要老师进行分析，让学生完成证明过程，并及时进行改 正，完善证明过程）证明：（反证法）假设直线AB与1共面，VBea,lca,Bl，点B和1确定的平面为a,.

4、二直线AB与1共面于a ,，Aw a ,与A任a矛盾，所以，AB与1是异面直线.归纳异面直线的三种判定方法：定义、定理、性质：（既不平行，也不相交）。.异面直线所成的角：由动画引导启发学生如何寻找异面直线所成的角的大小，同学们都知道两条相交直 线所成的角大小可以度量，那么两条异面直线的夹角我们如何求呢？（演示动画并让 同学们思考）用化归的思想，将两条异而直线平移成相交，找到所成的角（所成的角 共有4个，两对对顶角，这时根据平面内的两条直线所成角的范围让学生自己猜想应 该是那一个角）。已知两条异面直线a,b,经过空间任一点0作直线aa,bb, a,b所成的角的大小与点O的选择无关，把球卜所成的锐

5、角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）.为了简便，点。通常取在异面直线的一条线上. （蝇调：这不是唯一的方法） （这是根据平行线的性质定理；如果一个角的两条边和另一个角的两条边分别平行并 且方向相同，那么这两个角相等。）a.同学们想一想两条直线在什么条件下是垂直，进一步提出问题，两条异面直线能 不能垂直呢？如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直.两条异面 直线a,b垂直，记作a J.b.异面直线所成的角的范围：（0,2.2由动画演示得出异面直线所成的角的范围：及异面直线垂直的概念。（这一环节主要是先让学生观察动画，然后让他们讨论异面直线所成角的范围）三、例题讲解例1在正方

6、体ABCD-AECD中，E是AB的中点,（1）求BA，与CC7夹角的度数.（2）求BA，与CB，夹角的度数.（3）求Me与CB，夹角的度数.解： 由BBCC可知NBBA等于异面直线BA，与CC的夹角，所以异面直线BA，与CU的夹角为45。（2）连结CD7, B,则BA）/CM NB/Ciy等于异面直线BA，与CBZ的夹角，由CB，D/ 为等边三角形，NB/CD，=60BA，与CB，的夹角为60（3）连结Xd, de,则Mdcb/, nda/e等于异面直线Me与cb，的夹角。设 AA12, AE= 1, A住DE=G AzD=241,在三角形 DAE 中,NDA传包空了二叵,NDA/E二arcc

7、os典 2A/DWE 55AZE 与 CB，的夹角为 arccos总结出求异面直线所成的角的方法：（板书）（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线，这两条相交直 线所成的锐角（或直角）即为所求的角。（2）同时作两条异面直线的平行线，并使它们相交所成的锐角（或直角）即为所求 的角。（3）向量法：用向量的夹角公式求解。（这一部分主要通过前面我们所学的向量知识 求解，教师分析出用向量求角的过程）。（4）求异面直线的夹角的一般步骤是：“作一证一算一答”.注：无论用哪种方法都应注意到异而直线所成角的范围.以及利用二角形中位线平 移法、三角形相似、构造平行四边形等知识进行直线的平移。例

8、2、如图空间四边形ABCD中，四条棱AB, BC, CD, DA及对角线AC, BD均相等，E 为AD的中点，F为BC中，（1）求直线AB和CE所成的角。（初步应用）（2）求直线AF和CE所成的角。（深化提高）解：（1）取BD中点M,连结MC, ME,则MEAB, NCEM等于异面直线AB和CE的夹角，取 ME 中点 0,连结 CO, CM=CE, 0C1ME设 AB=2, CM=CE= y3 , OE=-ME=-AB=-, 242OEcosZCEM=CE 6，直线AB和CE所成的角二arccos J6（2）连结FD,取FD中N,连结EN,CN.则NEAF, NCEN等于异面直线AF和CE的夹

9、 角。设AB=2,在RtANFC中，CN二，十（手尸:与NE=-AF=, CE=5 在ANFC 中, 22cosNCEN 二ce2 + en3-cn22CE.ENNCEN= arccos 3AF和CE的夹角为arccos 3请同学们思考：如果上式中我们求出的esNCEN-：时我们所求的夹角应该等于多少呢？主要根据是什么？四、课堂练习：正方体ABCD - ABCD中.（1）正方体棱所在的直线中与直线BA，是异面直线有几条？ 答案6条（2）方体棱所在的直线中与直线CC7垂直的直线 几条？ 答案8条2.如图，正方体ABCD-AB，CD中.E为AB的中点，F为BC的中点，0为正方形 ABdl/的中心必

10、做题：（1）求直线A,E与BZF夹角的度数.4答案（arccos ）选做题：（2）求直线Me与do夹角的度数.答案（arccos ）五、小结这节课我们主要学习了两条异面直线的概念及它的判断方法，明确了空间两条直 线的位置关系有三种，“平行、相交、异面”。认真分析研究了异面直线夹角的概念， 夹角的范围，扩充空间两条直线垂直的定义。能用平移的方法求异面直线的夹角和 用向量法求夹角的主要过程和它们各自所具有的特点和要求，求异面直线的夹角的一 般步骤是：“作一证一算一答”.六、课后作业：课后作业:必做题:P课本15： 3, 4, 5, 7选做题：如图，4BC-ABC是直三棱柱,立，艮分别是AB，AC的

11、中点，若AB=BC=CA=2, CC产1,求BE与AF1所成的角的余弦值。板书设计922异面直线及其夹角异面直线的定义及画法：例1:例2课堂练习 1异面直线所成的角的定义：23求异面直线夹角的一般步骤： 课后反思:异面直线及其夹角教案说明“异面直线及其夹角”是人教版高中数学第二册（下B,必修）第九章 “空间的直线与平面”中的内容。整个课题按照新课程标准的要求与我校实际 情况来看，大概需要2个课时完成，我提交的是第一课时教案。现对教案的设 计做以下说明：一、授课内容的教学目标定位及它的数学本质1、教学目标定位我校地处西部偏避地区，是一所面向农村的高中学校，学生的基础比较薄 弱，发散性思维和抽象思

12、维还未能得到充分的开发。因此，一直以来，我的数 学课堂教学的侧重点是：运用探究性教学方式，积极调动学生学习的主动性， 大力培养学生的开放性思维，而“异面直线及其夹角”是立体几何教学的起始 阶段。因此本节课在教学中力图向学生展示尝试观察、归纳、类比、平行变化 等思想方法，为了降低学生的学习难度，我按照新课程标准的要求制定了适合 本地学生实际水平的教学目标：（1）知识目标：.掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形，会判断两直线是否为异面直线。.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较简单的异面直线所成的角（2）能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想象能

13、力、 逻辑思维能力等分析和解决问题的实际能力。经历异面直线所成角 的形成过程体验“转化”数学思想，进而“亲近”数学。（3）情感目标：培养学生的审美观，让学生体会客观世界事物普遍联系的辩证 唯物主义的观点，会用联系的观点，运动变化的思想去分析问题， 解决问题。形成刻苦钻研，实事求是，严肃认真的科学态度和品质。2、剖析本节内容的数学本质立体几何中的“异面直线及其夹角”是今后学习空间几何的基础内容，通 过掌握“异面直线”和“夹角”的概念，揭示各种空间图形中的线线、线面、 面面的位置关系的判断和推理的规律，还可以通过它来找一些距离问题。主要 是把一个空间图形进行变化（平移）转化为一个平面图，然后利用三

14、角函数的 知识求解。其实就是利用图形变化建立数学模型，把一个抽象的空间问题转化 成一个解三角函数式的问题，也就是把一个几何问题转化为一个代数问题。这 是我们学习立体几何的关键所在。二、授课内容的地位作用及应用立体几何初步是空间与图形领域的重要组成部分，主要发展学生的空间观 念，使人们更好地认识和描述生活空间并进行交流，在此之前，学生已经学习 了平面内的直线位置关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，线线关系是 线面关系、面面关系的基础，而异面直线是线线关系中的主要内容，占据重要 地位。本节内容也是立体几何中的基础，要引导学生去积极探索，逐步构建立 体几何的知识体系，异面直线所成角的大小是一种重

15、要的定量计算，它是立体 几何中承上启下的关键章节，一方面本节内容的学习巩固深化了前一节“空间 的平行直线”的内容，另一方面为以后的线面的垂直、空间向量等内容的学习 作准备。它在实际生活中的应用相当广泛，如对一些实物距离的测算、立交桥 的设计，等等。三、授课内容的诊断分析1、本节内容易了解的地方：在这节课的学习中我认为学生容易掌握的知识是利用平移法（三角形中位 线、三角形的相似以及构造平行四边形）添加辅助线找出两条异面直线的夹角 或用向量法等手段直接利用正余弦定理进行求解，这些内容是本节课的重点内 容，从学生的基础来看都能比较好地掌握。同样对异面直线的概念、异面直线 的夹角的概念，也是学生容易掌

16、握的知识，因为这些知识都是从以前学过的知 识的基础上引申而出的，学生理解起来不难.2、本节内容中最容易误解的地方在本节内容中最容易出错的地方，我认为是当利用余弦定理或利用向量法 求角度时，如果计算出的余弦值为负值时，学生不注意异面直线所成角的范围, 而导致表示错误，或者在求解一些实际问题时也注意不到这一知识而出现错误 （如一条直线和一个面成60度角时，它与这个面中的所有直线所成的角中最 大的角是多少？这个问题有许多同学可能出现120度的答案）。上面这两个问 题出错的原因在于同学们对异面直线所成角的范围没有考虑，而直接从图形当 中去回答的。这是这节课当中最为关键的一点，所以我在备课的过程中对这点

17、 知识进行了细化，要想让学生在今后的做题中不出现错误，我把异面直线的夹 角范围以及它的作用讲得比较详细，而且在讲题时特别提到了这种问题，就是 想让学生明白我们在求角度时必须在它的范围之内。它的表示与三角函数中的 表示不一样。特别强调的是不管在什么样的问题中，两条异面直线所成角的大 小必须在之内。U!1、授课（口于内容的教法特点及预期效果分析1、教法特点数学是一门培养和发展人思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学 生“知其然”而且要使学生“知其所以然:为了体现以学生发展为本，遵循 学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，改善学生的学习方式和 学习策略，学会学习，这是高中数学教育追求的

18、重要理念，倡导学生主动参与、 乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力， 分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力:数学作为基础教育的核心课 程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利 于促进学生整体学习方式的转变。我以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段, 采用着重于学生探索研究的启发式教学方法，结合师生共同讨论、归纳。在课 堂结构上，我根据学生的认知水平，我设计了创设情境一一引入概念 观察归纳一一形成概念讨论研究一一深化概念动画演示一突破难点 例题讲解一一突破重点归纳总结一一积累经验及时训练一巩固新知 总结反思一一提高认识 任务后延一一自主探究九个层次的学法，它们环 环相扣，层层