一次方程组的古今表示及解法

1、一次方程组的古今表示及解法教学目标：1、对同样一个实际问题，让学生经历古今几种表示法和解法，通过观察、比较、分析和归纳，让学生理解一次方程组在古今表示法和解法是一脉相承的 .2、让学生了解有关一次方程组数学史方面的知识，介绍中国传统数学成就及其蕴含在数学思想，感受数学文化在熏陶.学情分析：七年级的学生已经掌握二元一次方程组、 三元一次方程组的相关概念及其解法， 知道解方程组的基本思想是 消元.这对于这节课的理解和学习奠定了必要的基础但是学生们对于数学文化感受较少，中国古代数学的辉煌成就离他们很遥远，很难有与有荣 焉的感觉，所以需要在课堂中逐渐渗透中国传统数学文化 .重点：一次方程组古今表示法和

2、解法的相同性.难点：对算筹图的理解和运算.教学活动：活动一：导入1、趣题引入引言：同学们已经学过了二元一次方程组、三元一次方程组，随着实际问题的复杂化， 我们很可能还需要用上更多元的一次方程组.其实不光我们现代研究一次方程组，我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，古代数学著作九章算术中就收录了不少研究成果.其中“方程”章的第一个问题是这样的：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗； 上禾二秉，中禾三 秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六 斗。问上、中、下禾实一秉各几何.” 将其翻译为现代汉语是这样的：上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；上等

3、谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗.问上，中，下等谷每束各可得粮食几斗.师：大家可以用什么方法来解决这个问题？生：方程组.师：那么请同学们思考后来列方程组解答 .学生完成解答，并且通过问答可以归纳： TOC o 1-5 h z (1)、解决这个实际问题的工具是一一方程(2)、表示方式是一一包含字母及数字的三元一次方程组(3)、计算方程组的方法是一一代入法，加减法，但思想都是消元思想2、问题探究 师：这是古人提出的问题，古人又是怎么来解决的呢？古人的解法是先将这个题目用算筹图表示出来如下上等谷中等谷下等谷斗数(束)(束)(束)III

4、 II三 HITII III=11彳1II1-T算筹图(1)探究“算筹”和“算筹计数法”它是什么意思呢？不妨让我们先来认识一下“算筹”算筹是我国古代的一种计算工具，有很长的使用历史？中国春秋时代就出现了镯0第考古发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。另怖这些都是一根根不起眼的小棍子，在中国数学史上它们却是立有大功的。它们有专门的计数方法一一算筹计数法：在算筹计数法中，1以纵横两种排列方式来表示单位数目，如

5、下图 ，其中1-5均分别以纵或横的方式排列相 应数目的算筹来表纵式:横式：1 tl HI示，6-9则以上面的一个算筹表示数目5再加下面相应的算筹来表示。IlliIIUIT K W=w _L 土4567892、表示一位数时，用纵式表示；3、表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零 则用0来表示。这 种计数法遵循十进制。介绍历史：中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造？把它与世界其他古老民族的记数法作一比较，其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统只有七个基本符号，如要记稍大一点的数目就相当繁难？古美洲玛雅人用的是20进位；古巴比伦人用的是 6

6、0进位。20进位至少需要20个数码，60进位则需要60个数码，这就使记数和运算变得十 分繁复，远不如只用09这10个数码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便。中国古代数学之所以在计算方面取得许多卓越的成就，在一定程度上应该归功于这一符合十进位制的算筹记数法.当然，算筹计数法除了表示正整数和零，也可以表示分数和负数:2000多年前禹中 囚用祥琴表示分数.活动一请用算筹计数法表示下列各数：(1) 5(2)27(3) 30(4)195(2)探究算筹图解决问题的方法?古人用一张算筹图来表示这个问题，现在请一位同学师：现在我们仍然回到刚才的问题来来翻译一下这张算筹图？ TOC o 1-5 h z 生

7、：321392 313412326师：古人是怎么用这几组数来解决问题的呢？如果想不通的话，可以观察这些数与我们所列的方程组有何关系？ 生：这些数字与各未知数的系数及常数项相同生：可以猜想古人也是列方程组来解决实际问题师：所以，古人和我们是殊途同归？他们也列方程组来解决实际问题，只是这个方程组将未知数的系数及常数项写在规定位置上，然后省略了未知数、加号及等号师：随着阿拉伯数字和用字母表示数的推广和普及，我们现在在方程组形式上更为直观一些，可是如果未知数个数一多，这种表示方式反而会更加繁杂？而古人这种省略未知数、加号及等号，只在规定位置写系数及常数项在做法，却给了我们启发，我们的方程组如果这样表示

8、会不会更简洁呢？所以，在近代高等代数中，就用这种方式来表示一次方程组，并起名“矩阵”，用“矩阵” 可以更简洁直观的表示多元一次方程组那么，表示完算筹图以后，是如何计算的呢？古代是用“直除法”来计算的？请阅读以下材料并填空：材料二：阅读材料，完成下面求解过程过程：直除法：我国古代解方程组时，具体解法是：在一个方程两边同乘另一个方程中某个未知数的系数，然后再累减另一个方程，从而消去这个未知数。例如，解下面这个方程 组:3x 2y z= 39 2x 3y z = 34 2y + 3z= 26在式两边同乘以3,得再用 式连续两次减去式，同样 的，在式两边同乘以生：消去未知数x.再用式减去式，得 把组成

9、一个新的方 ; TOC o 1-5 h z 程组为;师：通过这四步计算，达到了什么目的？;这个方程组与原方程组相比，消去了未知数接下来，再用同样的方法，消去 y,A37再可以求得 x=所以，方程组的解为,y=17*37 x = 417匚11 z = 4师：观察下图，请根据你对材料二的理解，来说说算筹图的计算过程III II I 1UT TWlll |o| I II III -1hi ii i =mr II III I M| I II III -TIII II I b mu i -mi jii 丁丽.tf|师：所以算筹图计算的本质还是什么?生：消元？III II I Ro mu i -mi从而归

10、纳：(1)、解决这个实际问题的工具是一一方程？、表示方式是一一算筹图.、计算的方法是一一直除法，但思想都是消元思想III II I胃皿 O IIIII 1 =1111 一 I II III =T3、总结升华师：请同学们来说说，从古到今，有什么变了，什么没变？生：没变的有：解决实际问题问题的工具还是方从而求得z=11程和方程组； 计算方程组的基本思想还是消 元 .变了的有： 表示方式从算筹图变为了字母和数字组成的方程组及矩阵， 计算方法从直除法改进为代入法和加减法 .师：实际上，矩阵就是延续了算筹图的表示方法和计算方法， 只是随着现代科技的进步，我们可以用直除法编制计算机程序，利用计算机，再繁杂

11、的一次方程组都可以迅速解答. 师：回首历史，中国古代数学家们非常的了不起， 九章算术中用算筹图解多元一次方程组的方法大约出现在公元一世纪左右；印度最早出现于第七世纪 （ 约 628 年 ） ； 而在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是16 世纪中 （ 1559 年 ） 的法国数学家布丢 （Buteo ） 布丢提出的解法与算筹图相类似，比中国晚了 1500 多年。可见九章算术 中的方程术， 不但是中国古代数学中的伟大成就， 在世界数学史上， 也是一份值得我们自豪的宝贵遗产立足现在，同学们可以看到，从古到今，一次方程组的表示方法和解法是一脉相承的， 放眼未来，在大家学有所成时，你又会给数学带来什么样的变革和发