量子力学讲义第八章

1、第8章自旋与全同粒子Stern-Gerlach实验中得到了直接证实。1、Stern-Gerlach （斯特恩-革拉赫）实验2、自旋的提出（1）、每个电子具有自旋角动量 （电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影 一，一 ，方只能取两个数值：s =飞； Z 2（2）、每个电子具有自旋磁矩气，它和自旋角动量s的关系是一 e 一，s，-e是电子的电荷，m是电子的质量mc自旋磁矩氏在空间任意方向上的投影只能取两个数值：e方e方HeHesz-，1.smc12mczz*z= 2mc=日8h B=mc为玻尔磁子（3）实验证明，除电子外，H _ e sz =s mcHez =l2mcz其

2、他微观粒子也都具有自旋。如原子、回转磁比率中子、H介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），兀介子、k介子的自旋角动量为0（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我电子s、1(1)无经典对应量有经典对应量(2),h s = 212 1 (1 + 1)h 2，1 mh们所讲的自旋都是指电子自旋。8.1电子自旋态与自旋算符一、自旋算符通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数M ML 人、F = F 顷,p）而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度 （第四个变量）。与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算符描写，记为s 它是角动量，满足同样的角

3、动量对易关系成x成=诡人、轨道角动量1自旋角动量E;.一？一 .八1 x 1 = ihls x s = ihs/, / = ihls , s = ihsx y zx y z1 , 1 = ihls , s = ihs TOC o 1-5 h z y zy z,x1 ,1 = ihl s , s = ihs HYPERLINK l bookmark42 o Current Document z xyz xy12,1 = 0r2,s = 0 HYPERLINK l bookmark48 o Current Document ii由于自旋角动量r在空间任意方向上的投影只能取土 /2两个值，所以(1)

4、 c, c, 三个算符的本征值都是有两个土 *;x y Z2h 2它们的平万就都是s2 = s2 = s2 =-；x y z 4_ ct3h2s 2 的本征值为：s 2 = s2 + s2 + s2 =、依照 l2 = l(l+1)h2, l = 0,1,2,一, 八 3s 2 = s (s + 1)h 2 =日 h 214、,只有一个数值1/2 (为恒量)，I为角量子数，可取各种各样的值nc = s称为自旋量子数1l = mh， m = 0,1,2,s = 2 力=m 力，1n ms = m自旋磁量子数1/2、含自旋的状态波函数电子的含自旋的波函数需写W =W (r, s )由于s只取土力/

5、2两个值，所以上式可写为两个分量W (r) =W(r,- 12hW (r) =W(r,-)、22写成列矩阵( h W 顷,2)W (r,-h)V 2 7规定列矩阵第一行对应于Sz = h /2,第二行对应于s_ =-力/2。若已知电子处于s =力/2或s =-力/2的自旋态( h W七017W (r, s=z则波函数可分别121、s的矩阵形式在s2-sz表象中，s的矩阵形式(1 0 、自旋算符的矩阵表示与Pauli矩阵h s =z 2 V 0 -1sz是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值土力/2。2、Pauli 算符(1). Pauli算符的引进令 s = a2分量形式对易关系：成x成=ihsnS

6、 xb = 2ib TOC o 1-5 h z 分量形式：b,b = 2ib,b,b = 2ib,b,b =2ibx yzyzxzxyn b , b = 2花 bb,b；, b：的本征值都是1。即:因为s :s , s的本征值都是土 /2,所以b , b , b的本征值都是1；x y Zx ynb 2 =b 2 =b 2 = 1(2).反对易关系 ybx,b + = 0 (证明) b ,气：=0 (证明) b；,bx+ = 0 (证明)基于b的对易关系，可以证明。各分量之间满足反对易关系:b b +b b = 0 反对易xy yxb b +b b = 0 反对易y z z yb b +b b

7、= 0 反对易 Z x x、b b b = i (证明)x y. Pauli算符的矩阵形式根据定义h八仑h(1 0、人(1 0)b = s =2 Z Z 2k 0 -1?Jn b =01uiy其他两个分量，令利用反对易关系bb =-b b1丫 a0 k cxb )J d)，得b )( 0d L11) 0 /b )J db )0 /(a b ) (-akc -d J = -cJ a = 0nd = 0(0bx简化为：b x = c由力学量算符厄密性(0b )+(0Ac*b + =b nkc0 J=k b*0 J得：b = c* 或 c = b*V c(0 c* Y 0 c*令：(I c|2V 0

8、c = eia(a为实)，则(0 e-a)Vc 0 7V2=1人(01、(0e-la)(0el(a兀)、b = l1=yV107V ela07V el(a兀)07z X这里有一个相位不定性，的矩阵形式。z X y求b Iy由 lb = b by写成矩阵形式，得b =lb b出发(01、-，b =(0-1-，b =(10)V10 7，yVl0 7，zV 017习惯上取以=0,于是得到Pauli算符的矩阵形式为:从自旋算符与Pauli矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵人bXs =x 2(0 1、力(0 -1、力(1 0，s ，s V 10 7y 2V l 0 7z 2V 0 1,四、含自旋波函数的归

9、一化和几率密度1、归一化电子波函数表示成w (r, s )=( 方w 顷，2)w (r, - ?)V 2 7矩阵形式后，波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分w (r,s )|2 d3r = j w*(r,1) w*(r, 1)，z=S2、几率密度=j w (r, I)2dx = 12 力力=P (r,:) + P (r,-:)1222表示电子位置在r处的几率密度(在r点附近单位体积内找到电子的几率)P(r, s ) =w + (r, s )w (r, s )=加(r,-，.力、 、w (r,5)表示电子自旋向上(s_= /2)，位置在r处的几率密度;2表示电子自旋向下(侦-力/2

10、)，位置在r处的几率密度;在全空间找到s 5/2的电子的几率：L (r,写d3r z2在全空间找到s=力/2的电子的几率：L (r,-2) d3r五、自旋波函数 波函数( 方 TOC o 1-5 h z 顷，2)(r,-胃) HYPERLINK l bookmark176 o Current Document 2 7在有些情况下，例如Hamilton量不含自旋变量，或可表示为空间坐标部分与自旋变量部分之和)，波函数 可以分离变量，即V(r,s ) = ”)x(s )zz其中x (s )是描述自旋态的波函数，其一般形式为式中|a|2与|b|2分别代表电子s_=+h/2的概率，所以归一化条件表示为

11、 HYPERLINK l bookmark186 o Current Document |a |2 + |b |2 = X + X = Ca* b*)=1Ib 7求：s的本征态x (s )s 力s的本征方程s x(s ) = x(s )2 z令x (s )和x (s )分别为本征值力/2和-力/2的自旋波函数， TOC o 1-5 h z 1 z122入方 HYPERLINK l bookmark202 o Current Document s x (s )=当 x (s ) z 1 z 21 z222(1 Y 0 7x (s ) =1 z2二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交IJx+

12、x =x+x = 0 正交性_1_1 122 2x 1(七)，x 1()构成正交归一完全性。 22a与p构成电子自旋态空间的一组正交完备基一般自旋态可以用它们来展开，即 任一单电子自旋波函数X (S )=z=a 以 + bP完全性其中X (七)为电子的任一自旋态波函数。例1.设氢原子的状态是W =、，求能量E、角动量平方12、角动量z分量七、自旋2 )11(0,甲)2 Rr)匕0(0，平)/角动量平方s2、自旋角动量z分量%这五个力学量的可能取值、相应几率及其平均值。4.5全同粒子体系与波函数的交换对换性一、全同粒子和全同性原理1、全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子为全同粒

13、子。如所有的电子、所有的质子。2、经典粒子的可区分性3、微观粒子的不可区分性4、全同性原理全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变。全同性原理是量子力学 的基本原理之一。二、波函数的对称性质q(r, s,)表示第i个粒子的坐标和自旋1、Hamilton算符的对称性N个全同粒子组成的体系，其Hamilton量为：H(q，,q，,q ,.,q )=尤V2 + y/，t) + 尤W(q ,q )1 i j N2p i ii ji=1i j其中V(qi,t)表示第i个粒子在外场中的能量(势能)，W(qi,qj)表示第i个粒子和第j个粒子之间的 相互作用能量， 调换第i和第j粒

14、子，体系Hamilton量不变。即：H(q ,.,q ,.,q ,.,q ) = H(q ,.,q ,.,q ,.,q )1 j i N1 i j N表明，N个全同粒子组成的体系的Hamilton量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标(q ., qj )后不变。2、对称和反对称波函数考虑全同粒子体系的含时Shrodinger方程合/、私、/、ih v(q，,q，,q，,q ) = H(q ,.,q ,.,q ,.,q )W(q ,.,q ,.,q ,.,q ) dt1 i j N1 i j N 1 i j N将方程中(qj )调换，得：.a z、私、/、ih V(q，q，q，q ) = H(q

15、，q，q ,.,q )v(q，q ,.,q ,.,q )dt1 j i N1 j i N 1 j i N=H（q，q，q，q M （q，q，q，q ）1 i j N 1 j i N由于Hamilton量对于（q, q.）调换不变，表明：（q, qj ）调换调换前后的波函数都是Shrodinger方程的解。根据全同性原理：w（q，q，q，q ）J 1ijN|w（q，,q，,q，,q ）1jiN描写同一状态。因此，二者相差一常数因子。w（q，q，,q，q ） = Cw（q，,q，,q，q ）1 j i N1 i j Np.表示第i粒子与第j粒子的全部坐标的交换，即pw（q，,q，,q，,q ） =

16、w（q，,q，,q，,q ）ij 1 i j N1 j i Np w = Cwij用p再运算一次，得P 2唯=CP w = C 即显然P2 = 1，所以C2=1ijn C = +1P有（而且只有）两个本征值，即C=1。即全同粒子的波函数必须满足下列关系之一P w =wijP w =-wij式中i打=1,2,3,.,N。凡满足Pw =w的，称为对称波函数，记为w$；满足Pw =-w的，称为反对称波函 ijij数，记为w。所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函数一个很强的限制，即要求它们对于任意两个粒 子交换，或者对称，或者反对称。三、波函数对称性的不随时间变化全同粒子体系波函数的这种对称性不随时

17、间变化，即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的；初 始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某 一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。一一波函数的特性。例子：下列波函数中，哪些上完全对称的？哪些是完全反对称的?1、f (r)g(r )X (S )X (S ) TOC o 1-5 h z 1211z1 2 z222、f(r)f(r)X 1(S)X、)-X(、)X、) 22223、 f (r)g(r)-g(r)f (r )x (S )x (S )-x (S )x (S )12

18、121 1z _1 2 z1 1z1 2 z22224、r2 exp-a (r + r )5、exp-a (r 一 r )四、Fermi (费密子)子和Bose (玻色)子 （1）Bose 子凡自旋为力整数倍(S = 0, 1, 2,)的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为Bose子。如光子(自旋为1)，处于基态的氦原子(自旋为零)，以粒子(自旋为0)；由玻色子组成的全同粒子体系的波函数是对称的。如：g光子(s =1)；兀介子 (s = 0)。(2)Fermi子凡自旋为力半奇数倍(s =1/2, 3/2,)的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子总是反对称的，

19、遵从Fermi统计，故称为Fermi子。如电子、质子、中子；由费密子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的。例如：电子、质子、中子(s =1/2)等粒子。(3)由“基本粒子”组成的复杂粒子五、两个全同粒子组成的体系两个全同粒子体系对称和反对称波函数的构成、两个全同粒子(忽略它们的相互作用)Hamilton量表示为:=收+依2)0(g)表示单粒子的Hamilton量。h)与h(q2)形式上完全相同，只不过q q2互换而已。显然七H = 0、单粒子波函数h(q)的本征方程为h(q)% (q)=七 (q)气为单粒子能量， (q)为相应的归一化单粒子波函数，k代表一组完备的量子数。、交换简并设两个粒子中

20、有一个处于态，另一个处于2态，则1(q1)%2(q2 )与1(q2)%2(q1 )对应的能量都是 sk1+sk2。这种与交换相联系的简并，称为交换简并。但这两个波函数还不一定具有交换对称性。、满足对称条件波函数的构成对于Bose子，要求波函数对于交换是对称的。这里要分两种情况： (袂k2，归一化的对称波函数可如下构成:w s (q , q ) = F 里(q 帅(q ) +里(q 帅(q ) kk 12：2 k 1 k 2 k 2 k 11 2p 匕 12121-=是归一化因子。0)%= k2= k，归一化波函数为:W s (q , q )=甲(q 帅(q )kk 12 k 1 k 2对于Fe

21、rmi子，要求波函数对于交换是反对称的。归一化的波函数可如下构成:w a(q,q ) = 土中(q帅(q)中(q帅(q)kk 122 k 1 k 2 k 2 k 11 2匕 1212由上式可以看出，中(q )中(q )ki1ki29 (q )中(q )k1k2若ki= k2，则W A三。，即这样的状态是不存在的。这就是著名的Pauli不相容原理。*注：两个函数的和差可以构成对称或反对称波函数。讨论:(1)、若两个Fermior所处状态相同匕=k2，则W a三0，即这样的状态是不存在的。说明两个全同费米子不 能处于同一状态，这就是著名的Pauli不相容原理在两个费米子组成的体系中的表述，可以证明

22、这一原理对 于由多个全同费米子组成的体系也是成立的。它可以表述为：不允许有两个全同的Fermi子处于同一个单粒 子态。在全同费米子组成的体系内，不可能有两个或两个以上的粒子处于同一状态。(2)、览(%)%2(q2)与 9k1(q2)9k2(q1)本来是属于二重简并能级sk1+sk2的两个态，但是，由于波函数的对称性的要求限制了只能用 W s (q ,q )或W A (q ,q )，因而消除了简并； kk 12 kk 121 21 2*注：由于对称性的要求，消除了交换简并。六、N个全同粒子组成的体系1、N个全同Bose子组成的体系Bose子不受Pauli原理限制，可以有任意数目的Bose子处于相

23、同的单粒子态。设有n.个Bose子处于k.态N n = Nii=1这些n.中，有些可以为0，有些可以大于1。此时，对称的多粒子波函数可以表示成(.叩(q，)甲(q ).叩(q )3 k2 气一1 v k2 气 +n2,Z尸甲一k 1 kp q1v_匀2l%个个注意：这里的P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换，因为只有这样，上式求和中的各项才彼此正交。这样的置换共有N!n !n !n !12 N个。因此，归一化的对称波函数可表为尸甲(q ).叩(q )k1 1kN NW sn1例：N=3玻色子体系，设三个单子态分别记为9，92，93。2、Fermi子体系和波函数反对称化两个

24、Fermi子体系，其反对称化波函数是:W A (q ,q ) = 9 (q )9 (q )一9 (q )9 (q )2122 k11_ 1 9k (q1)k 2J2 9 1(q ) 9 1(q )k21k22行列式的性质保证了波函数反对称化。推广到N个Fermi子体系:k11k21k22炊)k22k12k21% (%)平;)甲(q ) 甲(q )k12匕N甲(q )甲(q )k22k2N讨论:W A (q , q，q ).k1k2 kN12 N ：N !甲(q )甲(q )kN 2kNN（1）行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式，因而WA是本征方程W=NW的解。（2）交换任何两粒子，等

25、价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波 函数。（3）N个单粒子态甲，甲，甲中有两个单粒子态相同，则行列式中有两行相同，因而行列式等于零。这表k1 k2kN示不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。这就是泡利不相容原理。（4）无自旋一轨道相互作用情况W （彳,qN）中每个q都包含q ；W（q，,q ） W（r,0;r 搭）1 11 N11 N N在无自旋一一轨道相互作用情况，或该作用很弱，从而可略时，体系总波函数可写成空间波函数与自旋波 函数乘积形式:W（r ,0 ；r，r ） =8（r，r ）/（0，,0 ）11 NN1 N 1 N若是Fermi子体系，则W

26、应是反对称化的。对2粒子情况，反对称化可分别由WA的对称性保证。Jw a =8 A x Sw A =8 S X A8.4自旋单态与三重态（两个电子的自旋函数）下面我们来讨论两个电子的自旋函数，这种自旋函数在研究含有两个电子的体系（如氦原子、氢分子 等）的态时都要用到。一、总自旋算符S设两个电子的自旋记为1与E，令人-S = 5 + 512表示两个电子的自旋之和。由于土与52分别属于两个电子，即涉及不同的自由度，七,52 = 0，a,P = x,y,z c 由此不难证明，S的三个分量满足下列对易式S , S = ihS，S , S = ihS L yz y zxS 2 S 2 + S 2 + S

27、 2 x y zS2, S = 0，a = x, y, z、总自旋S2,S算符的本征函数 z两个电子组成体系的自旋自由度为2。既可以选(s1z，s2p为自旋力学量完全集，也可以选(S2,g)的共同本 征态。令s1z本征态记为a(1 )和p(1)，s2z本征态记为a(2)和p(2)，则(s1z，s2z)的共同本征态有4个，即 a(1)a(2)，p(1)p(2)，a(1)p(2)，p(1)a(2)显然它们也是Sz =s1z+s2z的本征态，本征值分别为力，-力，0，0。试问：它们是否为S2的本征态?利用品& + r )2 云 + 云 + 2(如成)3 方2 + 2(s - s + s - s +

28、s - s )1力力 o人o) 。)力o212122 2x1j 2y 1z 2 z方f 0L1210 ；I方 s p =-asz p=- 2 p方 -a2力f 0L1i方 s a = p 方s a a，式中没有标明第一个电子或第二个电子，它们对于每一个电子的算符作用在自己的自旋函数上时都成立。 人S 2a (1)a (2) = 2 力 2a (1)a (2)S 2 p (1)p (2) = 2 加 p (1)P 即a(1)a(2)和p(1)p(2)是S2的本征态，但a(1)p(2)，p(1)a(2)不是S2的本征态。a(1)p(2)，p(1)a(2)不满足对称性要求，a(1)p(2)，p(1)a(2)可构成2组具有一定对称性的二电子自旋波函数：q-a (1a X ?=p (1)p (2)X sa (1)。 + p (1)a (2) 侦2 与Z轴反方向，在X3态中两个电子自旋Z分量相互反平行，但垂直于Z轴的分量则相互平行。在反对称自 旋态XA中，2和的本征值都是零，这表明在这个态中两电子的自旋反平行，因而总自旋为零。a (1)p (2)-p (1)a (2)S2 xS = 2 力2XSS xS 力 XSI z (1)(1)S2 XS = 2力2 XS(2