2022年三角恒等变换各种题型归纳分析

1、三角恒等变换 一、学问点：（一）公式回忆：coscoscossinsin. 简 记 ： C（）sinsincoscossin. 简 记 ： S（）tantantan,简 记 ：T1tantansin22sincos, 简 记S2k2）,简 记T2cos2cos2sin2,简 记C2tan212tan2k4且tan2cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2二倍角公式不仅限于2 是 的二倍的形式,其它如4 是 2 的两倍, /2 是 /4的两倍, 3 是 3 /2 的两倍, /3 是 /6 的两倍等,全部这些都可以应用二倍角公 式；因此,要懂得“ 二倍角 ” 的含义,即当 =2

2、时, 就是 的二倍角；凡是符合 二倍角关系的就可以应用二倍角公式；（二）公式的变式cos21cosa2cos21cos21sin2sin21cos 222 cos1cos22sin2sin21coscos21cos222tan2sin21cossin21cos221sincos1costan21cos21coscossin公式前的号,取决于合一公式：xa2b2所在的象限,留意争辩.ab2sinxa2bb2cosasinxbcosxa2b2sinx其中tanba二典例剖析：基础题型题型一：公式的简洁运用例 1: 课本例题 已知sin25 13,424,2,求sin4,cos4,tan4.y .同

3、型练习 已知cos212,22,求sin,cos,tan.213课本例题在tan2A2B.ABC中,cosAtanB2,求53,x1,求提高练习 已知sinx,tany tanx,52题型二：公式的逆向运用例 2: 1 . 求以下各式的值：; 2 12tan 15; 3 12sin275 1sin22 5.cos22 5.2 tan152 . 化简以下各式： 1sin424 cos2;2 1tan 2 32tan 32; 3 sin4cos43 . 求值：1cos 12cos5;2 cos 36cos7212题型三：升降幂功能与平方功能的应用例 3. 1. 化简以下各式：1sin;21sin2

4、cos 2x.1 1sin40;2 3 1cos 20;4 1cos;2 .化简： 1 1sin2cos 21sin2cos 21sin2cos 23 . 已知sinxcos x1 3, 0 x,求sin2x 和cos 2提高题型：题型一：合一变换例 1 1.sin1233cos12, 13sin2 13cos2有最大值？并求这个最大值.2 . 当锐角取何值时sinx103. 求y5sinx70 的最大值.方法：角不同的时候,能合一变换吗？.4 求函数y2sinx102cos x55 的最大值和最小值,以及取得最大值和最小值时的x 的值.5 .fxasinxbcosx ,当f31 且fx 的最

5、小值为k 时,求k 的取值范畴.6 求函数y32sinx的值域.22cosx方法：1.转化为与圆有关的最值2.合一变换 +有界性 3.万能公式换元为二次分式题型 2：角的变换（ 1）把要求的角用已知角表示 例 2 1. 已知,为锐角,sin8,cos2321,求cos的值.2的值.,求cos2.17294,tan1,求cos的值类似题,为锐角,cos532. 已知23,sin,cos12,求cos4513类似题 已知cos21,sin2,且2,0293方法： 1、想想常见的角的变换有哪些？2、求值时留意争辩争辩角的范畴；3.cos43,sin512,且0 ,4,34,3.,求sin,求.541

6、34类似题 已知4,3,0,4,cos42,sin3 45sin45134. 已知sin22sin,求证：tan3tan.5tan2类似题 已知7sin3sin,求证：2tan2证明的方法也是角的变换：把要求证的角转化为已知的角. （2）互余与互补1. 已知cosxm ,就sin2x4_.2. 化简：3tan6,27,求sin2x2sin2x13cot33. 已知sin4x3,求sin2x4. 已知cos4x3,且7x551241tanx方法：善于发觉补角和余角解题,关注4x,4xx三者关系题型 3：非特殊角求值例 3: 1.2cos 10sin20;类似题sin7cos15sin8cos20

7、cos7sin15sin82.1cos3;类似题sin13sin101050cos503 .tan81;类似题sin212cos 28tan124 .212sin70cot5tan 5sin1705 .tan 103cos 10sin506 . 12cos20sin10sin207 .1312 cos802 cos10cos203tan 102sin2808 .2sin50sin10 1方发： 1 削减非特殊角的数量；题型 4：式的变换1、tan 公式的变用2 留意“ 倍” 、“ 半” ；tantantantantan 1tantan141tantan41tan1tan例 4: 化简：1.ta

8、n12tan6tan12tan6;类似题tan111tan114,tan111tan114xtan6x2 .tan18tan423tan18tan42类似题tan6xtan6x3tan63.tan20tan60tan60tan10tan10tan204. 1tan11tan2 1tan44 1tan45x5.tan 18x tan 12x3tan 18xtan 126.tanx4tan4x224,就 1tan1tan2为什么？由5可推广：2、齐次式1 .sin12cos 12是方程6 x25x10 的两个实数根. 求: 1 tan 的值；sin12cos 122 . 已知tan,tancos2

9、 sin2sin32 cos 的值.3、“1”的运用（ 1 sin , 1 cos 凑完全平方）2x.1. 化简以下各式：11sin;21cos2. 化简： 11sin2cos2;21sin2cos1sin2cos21sin2cos23. 已知sinxcosx1,0 x,求sin2x 和cos234、两式相加减,平方相加减1. 已知sinsin3,coscos4,求cos.ABC的面积.55类似题1 已知cossin1,sincos1,求sin.23类似题2 已知sinsinsin0,coscoscos0 ,求cos.2. 已知cos1,cos3,求tantan的值.55类似题 已知sin1,

10、sin1,求tan的值.23tan3 .2022 全国 锐角ABC中 ,sinAB3,sin AB11, 求证：tanA2tanB552 如AB3 ,求AB边上的高.类似题ABC中 ,BAC45,BC 边上的高把BC 分成BD,2DC3 的两部分,求5、一串特殊的连锁反应（角成等差,连乘）求值：. cos 36cos 72sin70cos5类似题sin6sin42sin66sin782 .sin 10sin30sin503 . cos11cos2cos3cos4 11类似题cosx 2cosx 4cosx1111112n题型 5：函数名的变换要点： 1切化弦； 2正余互化2,32例 5:1 .

11、 1如fcosxcos 17x ,求证：fsinx sin17 x 2 xR ,nZ,且fsinx sin4 n1x,求fcosx2 . 化简22 cos113,且sin3 . 化简sin2 1tan2tan.242tan4sin5,求 1cos; 2 cos4 . 如锐角,中意tantan73题型 6：给值求角要点：先确定角的范畴（尽可能缩小）,再选择恰当的函数例 6:1 .,为锐角,cos25,sin10,求的值.的值.2,求的值.510类似题 已知,为钝角,且sin5,sin10,求的值5102 .,为锐角,tan1,tan1,tan1,求.2583 . 已知tan1,tan1,且0 ,

12、0,求227类似题 已知04, 04,且3 sinsin 2,4tan21tan 24 . 已知3sin22sin2,1 3sin22sin20 ,为锐角,求2.题型 7：化简与证明 方法：上述 7 类常见方法 思路：变同角,变同名,变同次 例 7:1. 已知7sin3sin,求证：2tan225tan2为 3,求a 的值.2. 化简：11sincos1sincossincos1sincos3. 化简1sincossin2cos2022cos4.sin2sin2cos2cos21cos2cos2.25. 化简：1sin223cos22tan42cot 2题型 8：综合应用tancos24例 8

13、:x sin2xcos 2 x. 1求fx 的最小正周期；2 求 fx 的值域.1 . 设ftanxcotx.2 已知函数fx 22 cosx23sinxcosxa ,如fx 在6,3上最大值与最小值之和3 . 已知函数fx 3sin2x62sin2x12,xR .1求函数fx 的最小正周期；2 求使函数fx 取得最大值的x 的集合.4 . 06 福建 如函数fx sin2x3sinxcos x22 cosx .1求函数fx 的最小正周期和单调增区间； 2 函数fx 的图象可以由函数ysin2x 的图象经过怎样的变换得到？总结：一、 S 、 C 公式的逆向运用（1）变角,以符合公式的形式（ 2

14、）合一变换 二、角的变换 1、变换角：要点： （ 1）把要求的角用已知角表示；（2）留意角的范畴 2、互余与互补 三、非特殊角求值方向：（1）削减非特殊角的个数（2）关注倍、半角关系（3）利用一些特殊的数值四、式的变换 1、tan 公式的变用 2、齐次式 3、 “1”的运用（ 1 sin , 1 cos 凑完全平方）4、两式相加减,平方相加减 5、一串特殊的连锁反应（角成等差,连乘）五、函数名的变换 要点：（1）切割化弦； （2）正余互化 六、倍、半角公式的功能（1）升降幂功能, （ 2）平方功能（七、给值求角问题1 sin , 1 cos ）要点：（1）先确定角的范畴（尽可能缩小）,（2）选择恰当的函数八、化简与证明问题思路：变同角,变同名,变同次补充公式（明白）sincos1sinsin12tan2.sinsin