矩阵与线性变换

1、.矩阵的初步概念 与线性变换矩阵概念的引入线性变换与矩阵的关系矩阵的乘法1一、矩阵概念的引入几个引例（）考察三位同学上学期无机、高数两门课程的成绩：无机高数甲乙丙上面的数表完全刻画了三位同学的考试情况2系数常数项（）线性方程组解的情况完全取决于对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数和常数项按原相对位置可排为3（）四种食品(Food)在三家商店(Shop)中,单位量的售价(以某种货币单位计)可用以下数表给出在科学技术领域和生活实践中，许多对象都可以采用上边的数表形式表示，进而进行研究4矩阵的定义简记为横排称行，纵排称列；称为第行第列的元素5例如：是一个矩阵；是一个n(n+)矩

2、阵；是一个3矩阵；6一些特殊矩阵:实矩阵:元素都是实数.复矩阵:有些元素是复数.同型矩阵：行数相同，列数相同的几个矩阵例如：是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,为同型矩阵.7n阶（级）矩阵：行矩阵（向量）：n矩阵列矩阵（向量）：n矩阵nn矩阵，记作零矩阵：元素全为的矩阵，记作或是一个三阶方（矩）阵；注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.例如：8对角矩阵：除主对角线上有非零元素外，其余的非主对角线上的元素都是的方阵数量矩阵：主对角线上元素都相等的对角矩阵9单位矩阵：主对角线上元素全为的对角矩阵对称矩阵：的方阵反对称矩阵：的方阵记作或注意：反对称矩阵的对角线上的元素一定是10相等矩阵：两个同型矩阵的对应行

3、对应列的元素相等例 设解行列式与矩阵的区别:1. 一个是算式 ，一个是数表2. 一个行、列数相同 , 一个行、列数可不同.3. 对 n 阶方阵可求它的行列式.记为:11二、线性变换及其矩阵定义n个变量与m个变量之间的关系线性变换.一般来说,12对线性变换来说，与矩阵有密切的关系系数矩阵线性变换与矩阵之间是相互唯一确定的称之为线性变换的矩阵13这样对线性变换的讨论就可转化为对相应矩阵的讨论下面我们看几个简单的却是重要的线性变换（）表示平面上绕坐标原点的一个旋转变换Oxy是变换的矩阵表示关于x轴的反射（反映）表示关于原点的中心反射（反映）14（）xOyz表示空间一点绕z轴的一个旋转变换是关于xoy

4、面的(镜面)反射变换是关于ox轴的反映.自己写出这些变换的矩阵.15关于线性变换的进一步的话题:新变量与旧变量的个数相同时的线性变换是我们用的最多的,比如刚才的几个例子.一般n个变量的线性变换的形式为其矩阵为n阶方阵以这些元素为元素的行列式称为变换的行列式.16如果变换的行列式称相应的线性变换是非奇异的,或非退化的,或是一一变换.否则就是奇异的或退化的.如果线性变换的矩阵是单位矩阵,则称为恒等变换.你能写出n个变量的恒等变换的表达式吗?下面谈谈连续施行两个变换的问题假如对空间的任意点先绕z轴旋转角度变为点再作对xoy面的镜面反射(反映)，变为点则我们要求的是间的关系17绕z轴的旋转变换的表达式

5、的反映可表为把前一式代入后一式，得18其中可由下列方法得到：19一般地，的线性变换为到到的线性变换为把第一个式子中的变量y代入第二个式子，得到的是变量x与z的关系，具有形式20变换是连续施行变换和的结果，称为的乘积，记作其中（注意书写顺序！）即矩阵C的第k行第j列的元素等于矩阵B的第k行与矩阵A的第j列的对应元素的乘积之和对应于线性变换的乘积，我们把矩阵称为矩阵与矩阵的乘积，记作21例如例例求AB22解注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.一个pm矩阵与一个mn矩阵的乘积是一个pn矩阵23例如是不能相乘的而一阶矩阵此例说明矩阵的乘法不满足交换律，即一般地例24矩阵乘法满足的运算规律：()()();1BCACAB=结合律（其中 为数）;矩阵乘法不满足交换律特别注意：矩阵乘法不满足消去律，即25 若A是n 阶方阵， 则 为A的 次幂，即 方阵的幂：并且例如：有但是同时26思考：在什么条件下，有下列式子成立？27线性变换的矩阵表示对于线性变换如果令则线性变换可表为两个线性变换的乘积就可表示为多么简洁啊！28例求变换的乘积解变换的矩阵分别为29最