研究案例介绍-实证研究二数学解题迁移研究概要

1、 研究案例介绍 实证研究二:数学解题迁移研究 关于迁移的思想，可追溯到古希腊的柏拉图、亚里士多德时代。柏拉图学园重视几何的学习并非因为几何的实用价值，而是因为几何学可以训练学生的思考力，这事实上就是后来迁移学说中著名的理论形式训练说的雏形。而第一次提出迁移概念，是英国学者John Locke(1632一1704)。他认为要使一个人有良好的推理能力，一定要让他及早习惯于推理方法，藉以训练他的心智，以后一旦有机会，他们就可以把推理的方法迁移到其他知识中去。1 迁移的一般理论 经过漫长的研究，历史上形成了几种经典的迁移学说。 (l)形式训练说。形式训练说主张迁移要经历一个“形式训练”过程才能产生。形

2、式训练说的心理基础是官能心理学。官能心理学认为，人的心是由意志、记忆、思维等官能组成，各种官能可以像肌肉一样，通过练习增强力量(能力)，这些能力在各种活动中都能发挥效用，迁移正是通过对组成心的各种官能的训练，以提高各种能力而实现的。 (2)相同要素说。20世纪初，美国心理学家詹姆士(James)和桑代克等通过实验否定了形式训练说，提出迁移的相同要素说理论。该学说认为只有当学习情境与迁移测验情境存在相同要素时，才能产生迁移。桑代克认为学习即形成一种情境与反应的联结，学习的迁移就是相同联结的转移。1 迁移的一般理论 (3)概括说。贾德(Judd)通过“水下击靶”实验，在批判相同要素说的基础上提出了

3、迁移的概括化理论。贾德认为，在先期学习A中所获得的东西之所以能迁移到后期的学习B中，是因为在学习A时获得了一般原理，这种一般原理可以部分或全部运用于A、B之中。根据这一理论，两个学习活动之间存在的共同成分，只是迁移产生的必要条件，而产生迁移的关键是，学习者在两种活动中概括出它们之间的共同原理。 (4)关系转换说。这种理论认为，迁移的关键不在于掌握原理和经验的概括化，而在于对情境中各种关系的顿悟，特别是对手段目的之间关系的觉察，所以顿悟情境中的一切关系是获得迁移的根本。迁移是由于学习者突然发现两个学习经验之间存在的关系的结果，人所迁移的是顿悟一一两个情境突然被联系起来的意识。1 迁移的一般理论

4、(5)认知结构迁移理论。奥苏伯尔根据他的有意义学习理论，对迁移作了新的解释。其一，迁移不是在孤立的两个课题A、B之间产生，先前学习的不只是A，还包括过去的经验，即累积获得的，按一定层次组织的，适合当前学习任务的知识体系。其二，在有意义的学习与迁移中，过去经验的特征，不是指前后两个学习课题在刺激和反应方面的相似程度，而是指学生在一定知识领域内的认知结构的组织特征，诸如清晰性、稳定性、概括性、包容性等。在学习课题A时所得到的最新经验，并不是直接同课题B的刺激反应成分发生相互作用，而只是由于它影响原有的认知结构的有关特征，从而间接影响新的学习或迁移。其三，迁移的效果主要不是派生类学习情境，而是指提高

5、了相关类属学习、总括学习和并列学习的能力。因此，无论在接受学习或解决问题中，凡是己形成的认知结构影响新的认知功能的地方都存在着迁移。1 迁移的一般理论 (6)产生式迁移理论。这一理论主要用于解释基本技能的迁移。其基本思想是: 先后两项技能学习产生迁移的原因是两项技能之间产生式的重叠，重叠越多，迁移量越大。安德森1989提出这一学说，并认为这一迁移理论是“相同要素说”的现代化，因为这一理论对相同要素说提出的迁移产生的原因作了修正，即导致先后两项技能学习时产生迁移的原因，不应用它们共有S一R联结的数量来解释，而应该用它们之间共有的产生式数量来解释。 此外，迁移理论还有学习定势说(哈洛，Harfow

6、，1949)，三维迁移模式(奥斯古德，Osgood，1949)以及新近发展起来的认知策略迁移理论(Ghatala，1958)等等。1 迁移的一般理论 上述各种迁移理论，从迁移过程的不同侧面去揭示迁移的规律，去探索学习者、最初的学习任务和要迁移的任务三者之间的复杂关系和相互作用，因而都有其合理的一面，都有重要的理论价值。1 迁移的一般理论 近年来，问题解决中的迁移成为关注的热点，在数学问题解决中的迁移研究己有了诸多成果。 我们提出的问题是:解答数学问题，其产生迁移的现象是否具有特殊性?如果存在特殊性，能否揭示它? 2 数学解题中的迁移 首先，数学问题的结构和系统存在特殊性。解答数学问题是一个化归

7、过程，化归前后的问题之间必存在某种关系，这些关系可以用数学关系去刻画，包括强抽象、弱抽象、等置抽象和广义抽象等几种情形。这几个抽象关系，与奥苏伯尔提出的命题学习形式有如下关系:强抽象对应下位学习(包括派生类属过程与相关类属过程);弱抽象对应上位学习;广义抽象对应并列学习。等置抽象对应同位学习。我们设想，数学问题系统中数学问题之间的这些关系，是数学解题迁移产生的一个重要因素。从理论上说，具有强抽象、弱抽象及等置抽象的两个问题之间不仅具有诸多“相同要素”，而且还存在统摄两者的“共同原理”，这是产生迁移的必要条件。对于具有广义抽象的两个问题，同样有“相同要素”和“共同原理”作为联系两者的纽带，只是“

8、相同要素”较少或“共同原理”表现得更隐蔽。2 数学解题中的迁移 其次，从解答数学问题的知识基础来看，个体形成的CPFS结构是数学认知结构的特殊表现，心理学家的研究表明，合理、完善的认知结构有利于知识的迁移，因而，个体形成的CPFS结构必将会影响解题的迁移。于是，数学解题中迁移的特殊性也就显露出来，个体形成的CPFS结构影响解题迁移的程度如何?优良的CPFS结构是否更有利解题迁移? 综上所述，我们提出假设:如果两个(或多个)数学问题之间存在数学抽象关系，那么一个问题的结构、解决方法、解题策略会影响到别的问题中去。个体形成的CPFS结构是影响迁移产生和实现的重要因素，优良的CPFS结构和具有较高自

9、我监控能力的学生有较强的迁移能力。2 数学解题中的迁移 我们将对如下问题进行实证研究： (1)在具有强抽象或弱抽象或广义抽象的两问题之间，哪一种抽象关系更容易产生迁移。 (2)个体形成的CPFS结构与解题迁移的相关性。 (3)个体的数学自我监控能力、CPFS结构与数学解题的相关性。3 问题的提出（1） 研究目的： 验证具有抽象关系的数学问题之间能够产生迁移，在此基础上，探讨两问题之间的两种抽象关系(强抽象、弱抽象)哪一种更容易产生迁移。（2）被试选取： 山东省临沂市一中高二年级两个平行班(7班、17班)，其中7班63人，男生40人，女生23人。17班62人，男生35人，女生27人。临沂市六中初

10、二年级两个平行班(11班，12班)，其中11班54人，男生27人，女生27人。12班81人，男生37人，女生44人。4 具有强抽象、弱抽象关系的数学问题迁移研究 (3)测试材料：将高中数学中的“乘法原理”及其乘法原理的特例作为学习样例(被试均未学过这一内容)，然后让被试做迁移练习题。迁移题由10道填空题组成，其中有用原理或原理的特例去接解答的近移题4题，远迁移题3题，另有3题为千扰题，即不能用乘法原理而只能用加法原理解答。 具有强、弱抽象关系的数学问题迁移研究测试材料练习题: 1.A地到B地要过3条河，第1条河上有2座桥，第2条河上有3座桥，第3条河上有6座桥。现有一人要从B地到A地，则他一共

11、有 种走法。 2.在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有 种不同的选法。具有强、弱抽象关系的数学问题迁移研究测试材料 3.多项式(x+y+z)(a+b)(m-n)(q-p) 展开式中，一共有 项。 4.一名儿童做加法游戏，在一个红口袋中装着20张分别标有数1，2，19，20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数;在另一个黄口袋中装有10张分别标有数1，2，9，10的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数。这名儿童一共可以列出 个加法式子。5.组装一台机器，需要n道工序才能完成，其中第1道工序只有1个技术工人能做，第2道工序只有2个技术工人能做，第3

12、道工序只有3个技术工人能做，以此类推，第n道工序只有n个技术工人能做。现要组装一台这样的机器，安排工人的方法共有 种。具有强、弱抽象关系的数学问题迁移研究测试材料 6.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同。(l)从两个口袋内任取一个小球，有 种不同的取法。(2)从两个口袋内各取一个小球，有 种不同的取法。7.A地到B地有m条路，B地到C地有n条路，A地直接到C地有p条路。(l)从A地经B地到C地一共有 种不同的走法。(2)从A地到C地一共有 种不同的走法。8.由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字，任取4个互不相同的数组成一个 号码，一共可

13、以组成 个 号码。具有强、弱抽象关系的数学问题迁移研究测试材料实验设计模式 (4)过程。初11班和高17班作为强抽象组，即先学习乘法原理及例题，然后做迁移题。 初12班与高7班作为弱抽象组，先学习乘法原理的两个特例，然后做与强抽象组相同的迁移题。 实验分组进行。 由2名教师分别在强抽象组的高中班和初中班讲解乘法原理，然后让学生自己阅读例题，使每个学生都理解原理和例题，之后，高中组用15分钟解答迁移题，初中组用20分钟解答迁移题。 同时，由2名教师在弱抽象组的高中班和初中班讲解特例1，让学生自己阅读特例2，使所有学生都能理解两个特例。然后高中组用15分钟解答迁移题，初中组用20分钟解答迁移题。

14、在迁移题的解答中，答对一题得1分，不答或答错，得0分。结果与分析结果与分析 从表5一1中可以看到，高17班的平均分高于高7班的平均分，但两者的差异不显著，这种情形也反映出，强抽象命题比弱抽象命题更容易实现迁移。这一现象在初中组中表现得更加明显，由于初中组的解题时间比高中组的解题时间多用了5分钟，因而平均分比高中组的平均分略高。从表5一3中可以看到，强抽象组(11班)与弱抽象组(12班)的平均成绩有非常显著的差异，即强抽象命题更容易产生顺向正迁移。结果与分析 表5一2反映出，对近迁移题，弱抽象组与强抽象组的迁移率分别为89.2%和93.9%，在远迁移题上，两组的迁移率分别为59.7%和61.2%

15、，这表明，具有抽象关系的数学问题能够产生正迁移，而且强抽象方向的迁移量比弱抽象方向的迁移量大。另一方面，从表中可以看到，对于干扰题，两组被试答错率分别为32.2%和34.3%，说明干扰题产生了较大的负迁移。干扰题在问题的情节、表述形式、表述对象等方面与迁移题非常相似，即表面概貌相似，但两者的内在原理不同，于是，当新问题的内在原理与样例不相同时，两者表面内容相似会对新问题的解决产生负迁移作用。结果与分析 表5一2反映出，对近迁移题，弱抽象组与强抽象组的迁移率分别为89.2%和93.9%，在远迁移题上，两组的迁移率分别为59.7%和61.2%，这表明，具有抽象关系的数学问题能够产生正迁移，而且强抽

16、象方向的迁移量比弱抽象方向的迁移量大。另一方面，从表中可以看到，对于干扰题，两组被试答错率分别为32.2%和34.3%，说明干扰题产生了较大的负迁移。干扰题在问题的情节、表述形式、表述对象等方面与迁移题非常相似，即表面概貌相似，但两者的内在原理不同，于是，当新问题的内在原理与样例不相同时，两者表面内容相似会对新问题的解决产生负迁移作用。结果与分析（1） 研究目的： 进一步验证强抽象比弱抽象更易实现迁移。 考察具有强抽象、弱抽象或广义抽象关系的问题迁移中，哪种抽象形式的迁移量更大。 探讨数学自我监控能力对数学解题迁移的影响。（2）被试选取： 山东临沂一中高二年级一个班，共59人，其中男生30人，

17、女生29人。 临沂六中初二年级一个班，共43人，其中男生21人，女生22人。5 数学自我监控能力与具有抽象关系数学问题迁移的相关研究 参照章建跃编制的中学生数学学科自我监控能力问卷，修订后编制数学解题自我监控能力问卷。 编拟一套数学题目(见附录3)。该组题由4道题目组成，其中一道为学习题，另外3道为迁移题，这3道题记为题A、题B、题C，学习题与迁移题的关系分别为:(3)过程。 初中组的被试采用如下图的实验模式。 即被试先用5分钟时间自我阅读学习题，然后再由主试讲解学习题中的解题思想。主试收回学习题，同时发给被试题A和题B，让被试用20分钟解答这两道题目。高中组的实验采用如下方式进行。 第一天，

18、进行问卷测试，时间为15分钟。第二天，主试发给被试学习题，被试自学，然后主试讲解该题的解题思路。主试收回学习题，同时发给被试题A、题B和题C，让被试用25分钟解答这3道题。结果与分析结果与分析结果与分析 将高中组被试按问卷成绩的得分分为两组，成绩高于平均分(101分)的称为高监控组，成绩低于平均分的称为低监控组。表5一8是高监控组与低监控组在3道题目中的迁移率、平均分以及平均分的差异性检验情况统计。 从表5-4中可以看到，同一组被试在题A与题B的得分上有非常显著的差异，先学习样例再做题A，是强抽象关系，而先学习样例再做题B，是弱抽象关系，这样，就进一步验证了第一个实验的结论，即:样例与靶题之间，强抽象关系比弱抽象关系更容易产生迁移。 这种差异在表5-5、表5-6中也反映出来。高中组在题A、题B、题C的平均成绩存在显著差异，从多重比较中可以看到，题A与题B、题A与题C的成绩差异非常显著，但题B与题C的成绩差异不显著。这说明，样例和靶题之间，强抽象关系比弱抽象关系及广义抽象关系更容易产生迁移。对于样例和靶题之间是弱抽象关系和样例与靶题之间是广义抽象关系的情形，从本实验来看，虽然两种情形的成绩无明显差异，但从迁移率来看