特征值和特征向量

1、关于特征值与特征向量课件第一张，PPT共四十页，创作于2022年6月一、定义我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示.为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式.从现在开始，我们主要来讨论，在适当的选择基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式.为了这个目的，先介绍特征值和特征向量的概念.第二张，PPT共四十页，创作于2022年6月定义 7.3.1 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的一个线性变换，如果对于数域 P 中一个数 0 ，存在一个非零向量 ，使得A = 0 .那么 0 称为 A 的一个

2、特征值，而 称为 A 的属于特征值 0 的一个特征向量.这里需要注意，特征值 0 是数域 P 中的数量,特征向量 是非零向量.显然，零向量对任意的0 都满足 A = 0 ，因此这不具有“特征”意义.第三张，PPT共四十页，创作于2022年6月二、几何意义在几何向量空间 R2 和 R3 中，线性变换 A 的特征值与特征向量的几何意义是：特征向量 ( 起点在坐标原点) 与其像 A 同向(或反向)，同向时，特征值 0 0，反向时， 0 0，且 0 的绝对值等于 | A | 与 | | 之比值；征向量被线性变换变成 0 .如果特征值 0 = 0，则特第四张，PPT共四十页，创作于2022年6月例如：在

3、 R2 中，向量绕原点按逆时针方向旋转 角的旋转变换 S ，当 0 时，对任意非零向量 R2 ， S ( ) 与 都不共线 ( 图 7-8所示 )S ( )O图 7-8此时， S 没有实特征值；第五张，PPT共四十页，创作于2022年6月当 = 时，R2 中任何非零向量 都与 S ( )共线，且S ( ) = - (图 7-9所示)，S 的特征值，而且任何非零向量 都是其特征向量.O1S (1)2S (2)图 7-9所以，- 1 是第六张，PPT共四十页，创作于2022年6月如果 是线性变换 A 的属于特征值 0 的特征向量，那么 的任何一个非零倍数 k 也是 A 的属于 0 的特征向量 .因

4、为从 A = 0 可以推出A (k ) = 0 (k ) . 这说明特征向量不是被特征值唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特征向量只能属于一个特征值.第七张，PPT共四十页，创作于2022年6月三、求法设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1 , 2 , , n 是它的一组基，线性变换 A 在这组基下的矩阵是 A.又设 0 是 A 的特征值， 是 A 的属于0 的一个特征向量， 在基 1 , 2 , , n 下的坐标是x01 , x02 , , x0n .则 A 的坐标是第八张，PPT共四十页，创作于2022年6月0 的坐标是因此 A = 0 相当于坐标之间的等式第

5、九张，PPT共四十页，创作于2022年6月上式可进一步变形成这说明特征向量 的坐标 (x01 , x02 , , x0n ) 满足齐次方程组( 0E - A ) X = 0 .由于 0，所以它的坐标 x01 , x02 , , x0n 不全为第十张，PPT共四十页，创作于2022年6月零，即齐次方程组 ( 0E - A ) X = 0 有非零解.我们知道，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式等于零，即我们引入以下定义.第十一张，PPT共四十页，创作于2022年6月定义 7.3.3 设 A 是数域 P 上一 n 级矩阵， 是一个数字.矩阵 E - A 的行列式称为 A 的特征多项

6、式，次多项式.这是数域 P 上的一个 n第十二张，PPT共四十页，创作于2022年6月上面的分析说明，如果 0 是线性变换 A 的特征值，那么 0 一定是矩阵 A 的特征多项式的一个根；反过来，如果 0 是矩阵 A 的特征多项式在数域 P 中的一个根，即 |0E - A | = 0，那么齐次线性 方程组 ( 0E - A ) X = 0 就有非零解.这时，如果(x01 , x02 , , x0n ) 是方程组 ( 0E - A ) X = 0 的一个非零解，那么非零向量 = x011 + x022 + + x0nn 满足 A = 0 ，即 0 是线性变换 A 的一个特征值第十三张，PPT共四十

7、页，创作于2022年6月线性变换 A 的特征值与特征向量的步骤如下：Step 2 ：计算 A 的特征多项式，并求出特征方程在数域 P 中的所有根. 的特征值 1 , 2 , , s ，它们也就是线性变换 A 就是属于特征值 0 的一个特征向量.于是可得求Step 1 ：在线性空间 V 中取一组基1 , 2 , , n ，写出 A 在这组基下的矩阵 A ；设矩阵 A 有 s 个不同的全部特征值.第十四张，PPT共四十页，创作于2022年6月特征向量在基 1 , 2 , , n 下的坐标.Step 3 : 对 A 的每个特征值 i ( i = 1, 2,s ), 求解齐次线性方程组 (i E -

8、A ) X = 0，该方程组的全部解即为矩阵 A 的对应于 i 的全部矩阵 A 的特征多项式的根有时也称为 A 的特征值，而相应的线性方程组 (i E - A ) X = 0 的解也就称为 A 的属于这个特征值的特征向量.第十五张，PPT共四十页，创作于2022年6月四、举例例 1 在 n 维线性空间中，数乘变换 K 在任意一组基下的矩阵都是 kE，它的特征多项式是| E - kE | = ( - k)n .因此，数乘变换 K 的特征值只有 k .由定义可知,每个非零向量都是属于数乘变换 K 的特征向量.第十六张，PPT共四十页，创作于2022年6月例 2 设线性变换 A 在基1 , 2 ,

9、3下的矩阵是求 A 的特征值与特征向量.解A 的特征多项式为单击这里求特征值第十七张，PPT共四十页，创作于2022年6月所以，A 的特征值为当时, 解方程组即第十八张，PPT共四十页，创作于2022年6月单击这里开始求解解之得基础解系为所以属于的一个线性无关的特征向量就是 1 = 1 + 2 + 3，全部特征向量就是第十九张，PPT共四十页，创作于2022年6月当时, 解方程组即第二十张，PPT共四十页，创作于2022年6月解之得基础解系为单击这里开始求解所以属于的一个线性无关的特征向量就是全部特征向量就是第二十一张，PPT共四十页，创作于2022年6月例 3 在空间 Pxn 中，线性变换D

10、 f (x) = f (x)在基下的矩阵是第二十二张，PPT共四十页，创作于2022年6月D 的特征多项式是因此，D 的特征值只有 0 .通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值 0 的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.第二十三张，PPT共四十页，创作于2022年6月例 4 平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，第一节中旋转 S 在直角坐标系下的矩阵为它的特征多项式为当 k 时，这个多项式没有实根，因而，当 k 时， S 没有特征值.第二十四张，PPT共四十页，创作于2022年6月五、特征子空间容易看出，对于线性变换 A 的任一个特征值

11、0 ，全部适合条件A = 0的向量 所成的集合，部特征向量再添上零向量所成的集合，是 V 的一个子空间，显然，的维数就是属于 0 的线性无关的特征向的最大个数.也就是 A 的属于 0 的全称为 A 的一个特征子空间，记为第二十五张，PPT共四十页，创作于2022年6月 (2) 12 n = |A|.证 由行列式的定义可知, 矩阵 A 的特征多 六、性质性质7.3.1 设 1 , 2 , n 是 n 阶矩阵 A = (aij) 的 n 个特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则(1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;项式性质 1第二十六张，PPT共四十

12、页，创作于2022年6月因而, A 的特征多项式中, n 与 n-1 的系数由该项中, 有一项是主对角线上 n 个元素的乘积( - a11) ( - a22) ( - ann)而其他各项至多含有主对角线上的 n - 2 个元素.第二十七张，PPT共四十页，创作于2022年6月 | E - A | = n - (a11 + a22 + + ann)n-1 + + (-1)n |A| . 确定.不难看出, n 的系数为 1 , n-1 的系数为-(a11 + a22 + + ann).另外, 在特征多项式中令 = 0 可得其常数项为 |A| .故第二十八张，PPT共四十页，创作于2022年6月 1

13、2 n = |A|. 证毕称为矩阵 A 的迹, 记作 trA.由于 1 , 2 , , n 是 A 的 n 个特征值, 所以| E - A | = ( - 1)( - 2) ( - n) .比较上述两式可得1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;第二十九张，PPT共四十页，创作于2022年6月特征值自然是被线性变换所决定的.但是在有限维空间中，任取一组基之后，特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根.随着基的不同，线性变换的矩阵一般是不同的.但是这些矩阵是相似的。性质7.3.2 相似的矩阵有相同的特征多项式.第三十张，PPT共四十页，创作于2022年6月证明设

14、 A B，即有可逆矩阵 X，使B = X-1AX .于是| E - B | =| E - X-1AX | = | X-1(E - A)X |= | X-1 | | E - A | | X |= | E - A | .证毕第三十一张，PPT共四十页，创作于2022年6月性质7.3.2 正好说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关，它是直接被线性变换决定的.因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的.譬如说，考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵有相同的行列式.因此，以后就可以说线性变换的行列式了.第三十二张

15、，PPT共四十页，创作于2022年6月应该指出，性质7.3.2 的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的.例如它们的特征多项式都是 ( - 1)2 ，但 A 和 B不相似,因为和 A 相似的矩阵只能是 A 本身.第三十三张，PPT共四十页，创作于2022年6月性质 3哈密顿 - 凯莱(Hanmilton-Caylay) 定理设 A 是数域 P 上一个 n n 矩阵，f () = | E - A |是 A 的特征多项式，则 f (A) = An-(a11+a22+ann)An-1+ (-1)n |A|E = O. 第三十四张，PPT共四十页，创作于2022年6月证明设 B( ) 是 E

16、- A 的伴随矩阵，由行列式的性质，有B( ) (E - A) = | E - A |E = f ( ) E .因为矩阵 B( ) 的元素是 | E - A | 的各个代数余子式，都是 的多项式，其次数不超过 n - 1 .因此由矩阵的运算性质， B( ) 可以写成B( ) = n-1B0 + n-2B1 + + Bn-1 .其中 B0 , B1 , , Bn-1都是 n n 数字矩阵.再设 f ( ) = n + a1n-1 + + an-1 + an ，则 第三十五张，PPT共四十页，创作于2022年6月f ( )E = nE + a1n-1E + + an-1E + an E .而B( ) (E - A)= (n-1B0 + n-2B1 + + Bn-1)(E - A)= nB0 + n-1(B1 - B0A) + n-2 (B2 - B1A)+ + (Bn-1 - Bn-2 A) - Bn-1A .比较上述两式，得第三十六张，PPT共四十页，创作于2022年6月以 An , An-1 , , A , E 依次从右边乘上式中的第一式 , 第二式