高中数学知识汇编及典例训练

1、高中数学知识汇编及典例梳理第一部分【集合】（1）注意区分集合中元素的形式（如:此为描述法与,无关），元素是数还是有序数对（注意点集与数集的区别），是函数的定义域还是函数的值域等。（2）是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集。所以当两集合之间存在子集关系时，不要忘记对空集的讨论，即若，则应分和两种情况进行分析。（3）若集合是不等式的解集，则在两个集合的交集与并集以及集合的补集的求解过程中要注意端点值的取与舍，不能遗漏；在利用数轴表示集合时，注意端点值的标注，区分实点和虚点(对于端点问题要特殊问题特殊对待)。（4）求解集合的补集时，要先求出集合，然后再写其补集，不要直接转化条件导致出错，

2、如的补集是而不是。（5）交集的补集等于补集的并集，即；并集的补集等于补集的交集，即;。（6）对于含有个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，。如:1.若集合，则=（ C ）A. B. C. D. 2.设集合，则的子集的个数是( A ) A4 B3 C 2 D1第二部分【常用逻辑用语】（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。（3）一个命题的逆命题与它的否命题，具有相同的真假性。（4）在判断一些命题的真假时，如果不容易直接判断，可以反向判断其逆否命题的真假。（5）命题的否定与否命题不同。若命题 “若，则

3、”。该命题的否定是“若，则”，该命题的否定是“若，则”。即命题的否命题是条件和结论都否定，而命题的否定是不否条件，只否结论。命题与该命题的否定一真一假。（6）对于充要条件，解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。（7）全称命题的否定是特称命题。(8)对等价转化思想和倒装形式要特别注意其做法;如:1. “”是“”成立的 （ A ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分条件 D.既不充分也不必要条件 2. 已知直线m,n和平面,则m/n的必要条件是( D )A.m/ ,n/ B.m ,n C.m/ ,n D.m,n 与成等角

4、3. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ C ）A、 B、 C、 D、且第三部分【函数】【函数1】（1）函数是数集到数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，只能一对一或者多对一，不能是一对多，函数是数到数的特殊映射。（2）求函数的定义域，关键是依据含自变量的代数式有意义来列出相应的不等式组求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏。（3）求解与函数、导数有关的问题，如：求值域、单调区间、判断奇偶性、求极值、最值等等，都必须注意定义域优先的原则。（4）求函数单调区间时，易错误地在多个单调区间之间添加“”和“

5、或”它们之间只能用逗号隔开或“和”；单调区间不能用集合或不等式表示，必须用区间。如:和函数定义域.（5）判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响。（6）若是奇函数，且0在其定义域内，则必须有；而是为奇函数的必要不充分条件。（7）函数图像与轴上的垂线至多有一个公共点，但与轴上垂线的公共点可能没有，也可为任意个。（8）函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像。【基本初等函数】（1）指数、对数运算时，忽视字母的正负。如：；。（2）中，而（）中。（3）当时，指数函数与对数函数都是其定义域上的单调增函数，当时，都是定义

6、域上的单调减函数；指数函数的图像都过点（0，1），对数函数的图像都过点（1，0）。指数函数的图像与对数函数（）的图像关于直线对称。（4）幂指数大于0时，幂函数在（0，）上单调递增；幂指数小于0时，幂函数在（0，）上单调递减，所有幂函数的图像都过点（1，1）。（5）求给定区间上的二次函数的最大（小）值时，盲目套用公式：而忽视区间的限制条件时求错最值。如: 1.若函数与函数在区间1,2上单减,则的取值范围是( D )A. B. C. D.2.若是奇函数，则1/2 3.设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为（ A ）A.1，3 B.1，3， C.1，3， D.1，3，4.，且，则A A） B）

7、10 C）20 D）1005.若，则（ C ）AB C D 为锐角且、不同向； ，为直角且、；，为钝角且、不反向；是，为钝角的必要不充分条件。（5）在向量数量积运算时，错误使用数量积的运算律。如：把化简为；由得出或等错误结论。（6）把向量投影错以为只是正数。事实上，向量在向量上的投影是一个实数，可以是正数也可以是负数，也可以是零。如: 1.已知函数的图像恒过点P，若角的终边经过点P，则的值等于-3/13.2.已知,求和的值.（10/9；23/10）3.已知，求的值.（-56/65）4.求下列函数的值域：；。5.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于( C

8、) A. B. C. D.6.为得到函数的图像，只需将函数的图像（ A ）A. 向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位7.设函数,图像的一条对称轴是直线. 求; 求函数的单调区间; 画出函数在区间上的图像.8.已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为. 1)求的解析式；() 2）当，求的值域.( -1,2) 9.设函数f（）=，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且.（1）若点P的坐标为，求的值；(2)（2）若点P（x，y）为平面区域：，上的一个动点，试确定

9、角的取值范围，并求函数的最小值和最大值.(最大:2; 最小2)ABCDEF10.如图,EF为梯形ABCD的中位线,则在向量、中,与相等向量共有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个11.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（ C ） A）重心 外心 垂心 B）重心 外心 内心 C）外心 重心 垂心 D）外心 重心 内心12.设 HYPERLINK 向量，若向量与向量共线，则 213.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（ A ） ABCD14.如图，已知中,点在线段上, 点在线段上且满足,若,则的值为AA B C.2/3 D-11/315.如

10、图，平面内有三个向量、,其中与与的夹角为120，与的夹角为30,且|1，|，若+（，R）,则+的值为 .第四部分【数列】【数列】（1）判断一个数列是等比数列时，忽视各项不能为0。（2）由求时，得到，缺少第一项,应该为通项求法.（3）等比数列求进，不讨论公比是来吧为1。（4）错位相减法求和时，易漏掉减数式的最后一项。（5）裂项相消法求和时，出现分裂前后不相等。如，应该是。(6)等比数列求和公式: ;如: 1.已知数列的前项和为,那么这个数列的通项为 .2.已知等差数列an前三项的和为-3，前三项的积为8.求等差数列an的通项公式；（或）（2）若a2,a3,a1成等比数列，求数列的前n项和。（）3

11、.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，nN，数列bn满足an=4log2bn3，nN.（1）求an，bn；（2）求数列anbn的前n项和Tn.第五部分【不等式】【不等式】（1）不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，要讨论这个数的正负。（2）解不等式中易忽视的问题解含参数一元二次不等式时，不注意二次项系数正负的讨论；解含参数不等式易忽视对两根大小比较的讨论；不等式的解集，只写出不等关系不用集合的形式表示；解绝对值不等式不注意符号讨论或零点分区间讨论。（3）基本不等式求最值时，注意验证“一正、二定、三相等”条件。（4）解线性规划问题时出现以下失误不注意虚实边界；不等式表示的区域搞

12、错；不注意目标函数中的系数的正负，导致最大值与最小值搞错；求最优整数解搞错。如:1. 若正数满足,则的取值范围是 ; （）的取值范围是 ;（）2.已知，且满足，则的最小值为 3 3.若关于不等式的解集为，则实数的取值范围为.4.若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 ;第六部分【立体几何】【立体几何】（1）平面图形的直观图面积等于原图形面积的倍。()（2）几何体的摆放位置不同，其三视图也不同；三视图中的侧视图的宽度对应几何体的宽度。（3）由三视图确定几何体的形状，先由俯视图确定其底面，然后根据侧视图和主视图确定顶点或上底面。（4）注意表面积与侧面积的区别，侧面积只是表面积的一部分，不包括

13、底面。（5）使用判定定理或性质定理时，列举的条件不全，易造成步骤失分。（6）求异面直线所成角或线面角时，忽视角的范围，从而求解出错。（7）求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易错以为是线面夹角的余弦。（8）求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析。如: 【易错题型类】判断下列命题真假1)线线平行: ;2)线线垂直: ;3)线面平行: ;4)线面垂直: ;5)面面平行: ;6)面面垂直: ;第七部分【直线与圆】【直线与圆】（1）设直线的倾斜角，直线的斜率为。当时，不存在；当时，且0，）时，随着的增大而增大，当（，）时，随着的增大而增大。（2）注意直

14、线方程五种形式的局限性点斜式和斜截式不适用于斜率不存在的直线；两点式不包括垂直于坐标轴的直线；截距式不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；任何直线均可写成的形式，但A，B不同时为0。（3）对截距理解截距式不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0。截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。直线两截距相等直线的斜率为或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。（4）讨论两直线的位置关系应注意斜率不存在或斜率为0的情况。当两条直线中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，这两条直线也垂直。（5）已知直线：（A、B不能同时为零），则：与

15、直线平行的直线方程可设为：；与直线垂直的直线方程可设为：。（6）求圆的切线方程时漏掉斜率不存在的情况。（7）在圆的一般方程中易忽视条件。如: 1.知点M（3，1），直线及圆.1)求过点M的圆的切线方程;(x=3或3x-4y-5=0)2)若直线与圆相切,求的值;(0或4/3)3)若直线与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为,求的值.(-3/4)2.已知圆的圆心与点关于直线对称直线与圆相交于两点，且,则圆的方程为 3.已知圆C经过两点A（4，2）和B（-1，3），且在两坐标轴上的截距之和为2，求圆C的方程.(利用一般式完成, )第八部分【椭圆、双曲线、抛物线】【椭圆、双曲线、抛物线】（1）在椭圆与双

16、曲线定义中，要注意与焦距的关系；在抛物线定义中应注意定点不在直线上。（2）用圆锥曲线方程与直线方程联立求解时，在得到方程中要注意到这一条件。（3）圆锥曲线部分设直线时要注意讨论斜率存在与否;切记先特殊后一般.（4）圆锥曲线与直线相交时，消去后，弦长应为。( 5 ) 1)四种弦长计算:圆中弦: 半弦2+圆心距2=半径2;过焦点且垂直于对称轴利用通径: 椭圆和双曲线通径:;抛物线通径:;过焦点弦长:利用焦半径公式;一般弦长:利用公式: 2)弦中点问题:已知弦中点,求曲线方程;已知曲线,求弦中点轨迹;3）向量与圆锥曲线综合应用；4）对称问题（得到不等及相等方程组即可求解）及利用韦达定理求点的坐标.如

17、: 1.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于AA. B.或2 C.2 D.2.已知椭圆C: 的离心率为,其中左焦点F(-2,0).1)求椭圆C的方程;( )2)若直线与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求的值.( )3.已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.1)求椭圆的方程；()2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，求直线的方程.(或)第九部分【计数原理、二项式定理(理)】（1）排列与组合的主要区别是有序还是无序，有序的问题是排列问题，无序的问题是组合问题。（2）解排列组合问题的主要

18、方法有：相邻问题捆绑法；不相邻（相间）问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序问题用除法（组合法）；选取问题先选后排法；至多、至少问题间接法，特别地，还要注意隔板法。（3）二项式与的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分。（4）二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。第十部分【概率、随机变量及分布列（理）】【概率、随机变量及分布列（理）】（1）解概率类问题容易忽视解题步骤。注意格式规范严谨，必须配上适当的文字解答，用一些字母表示事件。（2）较为复杂的古典概型问题，要分析清楚各类事件所含基本事件总数。（3）公式中，事件A、B必须是互斥事件；公式中，事件A、B必须是独立事件；如果不是，要弄清A+B表示事件的含义（A，B中至少有一个要发生），AB表示事件的含义（A，B同时发生），再去求。（4）求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正。（5）区分条件概率与概率：它