xx学校试题安徽一09-101高数答案

1、大学 2009-2010 学年第一学期高等数学 C（一）（A 卷）试题参考与评分细则一、填空题（本题共 5 小题,每小题 2 分，共 10 分）xnn1. x 1 ；2.；3.2 o(x ) ；4.x 0 ；5. (0, ) .n二、选择题（本题共 5 小题,每小题 2 分，共 10 分）6. C；7.D；8. B；9.A；10.B.三、计算下列极限（本题共 8 小题, 每小题 6 分，共 48 分）(n n n ) nn n11. 解:原式 lim limnnn n n nn n n nn1 lim n 1 .2nn n11n12. 解: x 1 x x , 所以 1,x 1 lim 1 1

2、 .又因为 limxxx由定理可知 lim 1 x 1 .x xn(31/ n 1)22nn 3 1n 3 1n 31 13, 解: 原式 lim 1 lim 122n n31/ n 11ln 3 e 2 3 .lim e2 n 1/ nx2x 2 sin21 cox) 1214. 解: 原式 lim limln(1 x3 )ln(1 x3 )x3x0 x0 x0 x15.解: 令 x t 2 , 则dx 2tdt1原式 arcsin t 2tdt 2 arcsin tdtt 2(t arcsin t t dt) 2(t arcsin t 1 t 2 ) C1 t 2x ) C2(16. 解:

3、 方法一. 当 x 0, 3 时,(x 1)e( x1)2 , 0 x 2,f (x 1) 2 x 3.e,于是,232(x 1)edx edx( x1)原式022 1 e( x1)2e e .20方法二, 令 x 1 t ,则dx dt ,2122于是 原式f (t)dt te dt edt e .t11117.解: 由对称性可知,2x21原式 2dx1 1 x201 4(1 1 x2 )dx0 4 41 x2 dx 4 4 4 .140dy x y22ydud, 令u , 则 y ux,x18. 解: 原方程可化为,dxxy于是原方程可化为u x du 1 u , 即udu 1 dx ,d

4、xux两边积分得 1 u2 ln | x | C . 变量代回得原方程通解为 y2 x2 (ln x2 C)12将 x 1, y 2 代入通解得C 4 .故原方程在给定初始条件下的特解为 y2 x2 (ln x2 4)四、分析计算题（本题共两小题,其中第 19 题 10 分,第 20 题 12 分，共 22 分）219. 解:将 x 1 代入曲线方程, 解得 y 2 .方程两边对 x 求导得3x2 3y2 y cos( y) (x 1) ysin( y) 0 .将 x 1 , y 2 代入上式解得 y(1) 1 , 即曲线在点(1, 2) 处的切线斜率为3 1 ,3从而曲线在点(1, 2) 处

5、的法线斜率为3 , 故法线方程为 y 3x 1 .20. 解: 曲线 y x2 与 x y2 的交点为 (0, 0) 与 (1,1) . 因此， 图形 D 为： x2 y x ,0 x 1(1) 图形 D 的面积为| dx 1 .31S 01(01(2) Vxx2 )2 dx03 10V 3 .由对称性可知,y10五、证明题（每小题 5 分，共 10 分）21. 证明: 设 f (x1 ) max f (x), g(x2 ) max g(x) , 由题设可知 f (x1 ) g(x2 ) .x(a,b)x(a,b)令 F (x) f (x) g(x). 显然 F (a) 0.F (x1 ) f (x1 ) g(x1 ) g(x2 ) g(x1 ) 0 ,F (x2 ) f (x2 ) g(x2 ) f (x2 ) f (x1 ) 0由零点定理可知, 存在 x3 (a, b) , 使得 F (x3 ) 0 .存在 (a, x3 ), ,使得 F ( ) 0 .由 Rolle 定理知,22. 证明:xx令 F (x) 2tf (t)dt (a x)f (t)dt . 显然 F (a) 0.aa3xF (x) 2xf (x) (a x) f (x) f (t)dtax (x a) f (x) f (t)dtax f (x) f (t)dta因为 f 在a, ) 上单调递增,