例题讲解概率统计课件

1、四、设随量X 的概率密度函数为求(1) a 的值;1量X 的密度函数为四、已知连续型随求(1) A ;2量X 的密度函数为四、已知连续型随3作业:P64习题2.5(11)设某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件, 其(:小时)都服从同一指数分布, 密度函数为 x 600 ,1f ( x) x 0其他e 6000,试求此仪器在最初使用的200小时内至少有一个此种电子元件损坏的概率解: 设X 表示电子元件的,x600 ,则X 的分布函数为F ( x) 1 ex 0其他0, 1 P( X 200) F (200) 1 e3设Y 表示3个电子元件中在最初使用的200小时内损坏的个数, 1 1 13 )

2、,3 )3k ,即P(Y k) C k(1 e3 )k (e(k 0,1,2,3)则YB(3, 1 e3 1 1 1 0.6321.从而P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 C 0 (1 e3 )0 (e3 )3 1 e34例题与讲解例3: 若( X ,Y ) 求:(1)常数c;(2) P(0 X 1, 0 Y 1);(3)分布函数F ( x, y);(4) P( X ,Y ) D), 其中D : 2 x 3 y 6.( 2 x3 y )0,x 0, y 0其他6e,f ( x , y) ( X ,Y ) 5f ( x , y) ce(2x3 y ) ,x 0, y 00,其他(4) P( X

3、,Y ) D), 其中D : 2 x 3 y 6.P( X ,Y ) D) f ( x, y) dxdyD:2 x 3 y6 6e( 2 x 3 y )dxdyyD16 2 x23( 2 x 3 y )dx6edy3006 2 xOx332 x3 y6 eedydx30062 x303 2 x 3 y 2e(e)dx0y 6 2 x3D : 0 x 3, 0 2 xe6 ) dx 2(e1303 1 7e6 . ( e2 x 2e6 x)066e( 2 x 3 y )D1例题与讲解例4: 设( X ,Y )的联合分布函数为1 e xe y e x y ,0,x 0, y 0其他F ( x, y

4、) 求( X ,Y )的密度函数 f ( x, y) .F ( x, y) e xe x y ,解: 当x 0, y 0 时, x 2F ( x, y) e x y ,x ye x y ,x 0, y 0 f ( x, y) .0,其他72. 二维连续型随机向量的边缘概率密度定理: 若( X ,Y ) f ( x, y),则f1( x) 0证明:显然且对任意的a b, 有P(a X b) P(a X b, Y )f ( x, y) dydxb a X f ( x) f ( x, y)dy,另一个同理可证.1量, 联合确定了边缘,对连续型的随反之不真.8Y f ( y) f ( y) f ( x

5、, y)dxY2 X fX (x) f1 ( x) f ( x, y)dy例题与讲解例1: 设随机向量( X ,Y )服从区域 D上的均匀分布, 其中D (x, y) 1 x 1, 1 y 1,求X ,Y的边缘密度函数 f1 ( x) 和 f2 ( y). 1解:由题意得: f ( x, y) 4 , | x | 1, | y | 1 f ( x, y)dy而 f (x) ,1 0其他1 dy 1 ,1f ( x) 1 4当| x | 1时,当| x | 1时,f ( x, y)dy12 f1( x) 0 ,f ( x, y) 0, f ( x) 1 ,1 ,| x | 1| y | 1f2

6、( y) ,20 ,同理:20 ,1| x | 1| y | 1X , Y 分别服从一维均匀分布9例题与讲解例2: 设随机向量( X ,Y )服从区域 D上的均匀分布, 其中x2 y2 1,D (x, y)求X ,Y的边缘密度函数 f1 ( x) 和 f2 ( y).y 1 ,x2 y2 1其他解: 由题意得: f (x, y) 0,f1 ( x) f ( x, y)dyf1( x) f ( x, y)dy当| x | 1时,x 1O11 x211 x22 dy ,1 x2 f1( x) 0,f ( x, y) 0,当| x | 1时,同理 2 1 y2f ( y) ,| y | 120,|

7、y | 110 2 1 x2 ,| x | 1f ( x) 10,| x | 1y 1 x 2y 1 x2此题中的X , Y 均从一维均匀分布因此: 二维均匀分布的边缘匀分布不一定是一维均匀分布对于连续型随机向量, 在由联合密度求边缘密度时,要去求联合密度的积分. 当联合密度函数是分片表示的时候, 在计算积分时应特别注意积分限的选取.11例题与讲解例3: 设D (x, y)x2 y 1, x 0 ,随机向量(X,Y ) 的联合概率密度为:(书例)(3)边缘密度 fX ( x) 和fY ( y).(2)P ( X 1 , Y 1);求(1) A的值;2f ( x, y)dxdy 2Dy(1)Ax

8、 ydxdyy解:y 1(1,1)121( x101Axydy A)dxy x2dxx202x2x0126 A( x x )21D : 0 x 1, x y 1 A(41200A6( x, y) D其他6x y , A 6. 1,此时 f ( x, y) 0 ,12Df ( x, y) Ax y ,( x, y) D0 ,其他例题与讲解例3: 设D (x, y)x2 y 1, x 0,随机向量(X,Y ) 的联合概率密度为:求(1) A的值; (2) P( X 1 , Y 1);(3)边缘密度 fX (x) 和fY ( y).22解:(2)P( X 1 ,Y 1 ) f ( x, y)dxdy

9、2211y 1( x, y ) x, y(1,1)22 D2y x 6 xydxdyD11213f ( x, y) Ax y ,( x, y) D0 ,其他例题与讲解例3: 设D (x, y)x2 y 1, x 0 ,随机向量(X,Y ) 的联合概率密度为:求(1) A的值; (2)P ( X 1 , Y 1);(3)边缘密度 fX ( x) 和fY ( y).22解: (3) 当0 x 1时,y1x 21y 1x 26 xy dy 3 x y2f ( x) f ( x, y) dy(1,1)1y x2 3 x(1 x4 )当x 0或 x 1时,x0f1( x) f ( x, y) dy 0,

10、 f ( x) 3 1其他,10 ,14Df ( x, y) Ax y ,( x, y) D0 ,其他例题与讲解例3: 设D (x, y)x2 y 1, x 0,随机向量(X,Y ) 的联合概率密度为:求(1) A的值; (2) P( X 1 , Y 1);(3)边缘密度 fX (x) 和fY ( y).22解: (3) 当0 y 1时,yyy 6 xy dx 3 y x 2y 1f ( y) f ( x, y)dx(1,1)200y x2 3 y 2当y 0或 y 1时,x0f ( x) f ( x, y)dx 0,220 x 13 y, f ( y) .20 ,其他15Df ( x, y)

11、 Ax y ,( x, y) D0 ,其他3.1.4随量的独立性量的独立性, 这里随机以随机事件的独立性定义随变量至少有两个, 所以涉及到的是随机向量.定义: 若对任意的实数 x, y, 有:P ( X x, Y y ) P ( X x) P (Y y),即有:F( x, y) FX ( x) FY (x), 称随量 X , Y 相互独立.( X , Y )离散型定理: X , Y 相互独立 ( X , Y )连续型要判断X , Y 是否相互独立, 必须求出联合分布和边缘分布.性质: 若 X 与Y 相互独立, 则它们的连续函数 g(X )与h(Y ) 也相互独立.特别有:若 X 与Y 相互独立

12、, 则aX b 与cY d 相互独立.(其中a, b, c, d为常数, 且a 0, c 0)16f ( x, y) f1( x) f2 ( y)( x, y) R2pi j pi. p. j(i, j 1,2,)例题与讲解例1: 设( X ,Y ) 的联合分布律如下, 判断X ,Y 的独立性. 1 3 3 ,pp 0 p解:0.10184323即P ( X 0,Y 1) 0 P( X 0) P(Y 1) X ,Y 不是相互独立的.3217YXP(X xi )01 813 823 8301 81 8P(Y yj )3 41 4例题与讲解例2: 袋中有5个球, 其中2白3黑, 每次任取一只, 连

13、续两次,记X 0第一次取白球第一次取黑球Y 0第二次取白球第二次取黑球 1 1分别求有放回和无放回取球时, ( X ,Y ) 的联合概率分布.并判断X ,Y 的独立性.解: 有放回时:无放回时:与实际情况相符 pi j 4 1 pi . p. j p00p0 . p.0(i, j 0,1),2510 X ,Y 相互独立. X ,Y 不是相互独立.18X Y01pi .0 1 10 3 10251 3 10 3 1035p. j2535X Y01pi .0 4 25 6 25251 6 25 9 2535p. j2535例题与讲解例3: 设随机向量( X ,Y )服从区域 D上的均匀分布, 其中

14、D (x, y)| x | 1, | y | 1,求X ,Y的边缘密度函数 f1 ( x) 和 f2 ( y).并判断X ,Y 的独立性. 1 , | x | 1, | y | 1解: 由题意得:f ( x, y) 40,其他11| y | 1| y | 1 ,| x | 1| x | 1 ,( x, y) R2f ( y) 2 ,f ( x) 2 ,由前求出:120 ,0 , f ( x, y) f1( x) f2 ( y) ,从而X ,Y 相互独立.19例题与讲解例4: 设随机向量( X ,Y )服从区域 D上的均匀分布, 其中x2 y2 1,D (x, y)求X ,Y的边缘密度函数 f1

15、 ( x) 和 f2 ( y).并判断X ,Y 的独立性. 1 ,x2 y2 1其他f (x, y) 解: 由题意得:0,由前求出:1 x21 y2 2 2| x | 1| x | 1 ,| y | 1| y | 1 ,f1 ( x) f2 ( y) 0,0,f (0, 0) 1f1(0) f2 (0) 4 当x 0, y 0 时, 2从而X ,Y 不是相互独立的.20n个随量和随量序列的独立性n 相互独立等价于定理: 离散型随量联合概率分布等于边缘概率分布的乘积.连续型随量n 相互独立等价于联合密度函数等于边缘密度函数的乘积.若n 个随n 相互独立, 则它们中的量任意 m (2 m n) 个

16、随也相互独立.量imn ,中任意n (n 2,3,)个定义:若随量序列量序列相互独立.量都是相互独立的, 则称该随随21因此: 对于随量X , Y , (X ,Y ) 的联合分布完全确定了边缘分布, 反之不真, 但当X , Y 相互独立时, 边缘确定了联合.例5: 设随量X 与Y 独立, 其概率分布由表确定,令Z X Y , W XY ,求随机向量( X , Y ) 的联合概率分布,并求W , Z 的概率分布.解:因为 X , Y 相互独立, 则联合分布为:22W X Y0123P0.60.20.120.08W X Y1234P0.30.380.240.08YX12300.30.180.121

17、0.20.120.08X01P0.60.4Y123P0.50.30.2例题与讲解例6: 单项选择题12P( X 1) P(Y 1) ,P( X 1) P(Y 1) 1 ,则下列式子正确的是 (B . P( X Y ) 0D .P( X Y ) 1C).2A . X YC . P( X Y ) 12解: 联合分布律为: P( X Y ) P( X 1,Y 1) ( X 1,Y 1) P( X 1,Y 1) P( X 1,Y 1) 1 1 1 .44223X Y 11pi . 11414121141412p. j1212则即两个独立的正态分布的随量的和仍服从正态分布.24卷积公式例题与讲解例7:

18、设X 和Y 独立同服从标准正态分布N (0,1),求Z1 X Y ,解: X N (0,1),Z2 X Y 的概率密度.Y N (0,1), 且 X 和Y 独立,Z1 X Y N ( 0, 2), X Y N ( 0, 2 ),Z22z1fZ(z) fZ2 2(z) 从而e2112e2z 24,( z ) .225例题与讲解例8: 设随,量X ,Y 分别表示两个独立系统的使用X , Y 分别服从参数为 , ( ) 的指数分布,求Z X Y 的概率密度函数. x y, y 0 , x 0 ,ee解:X f ( x) ( y) Y f21y 0 x 00 ,0 ,FZ (z) P (Z z) P

19、( X Y z)FZ(z) 0, fZ(z) 0,当z 0 时,当 z 0 时, 由卷积公式得:z ( z y )y d yf (z) f (z e0y) f ( y) dy eZ12z (e z e z e z )z0( ) y z( ) y eeedy 026 (e z e z ) , z 0f Z (z) 0,z 0.272829( y) f解:f ( x, y) dx当0 y 1时,Yy12xy x1y 4 y 4 y3 8 y 8xydx2x 1y1xfY ( y) 0 ,0当y 0 或 y 1时, 4 y 4 y 3, 0 y 1故fY ( y ) 0 ,其他(1) f(1) 1 3 3(3) 当x 1 , y 1 时,f (1 , 1) 2 fXY222 24222 2从而X ,Y 不是相互独立的.30 第3章随机向量3.13.23.3二维随机向量及