《空间向量及其运算》习题课

1、空间向量及其运算习题课基础再现.在空间，把具有的量叫做空间向量. 空间向量用表示， TOC o 1-5 h z 的长度就表示向量的.向量 a的起点是A， 终点是B， 则向量 a 可以记作，其模长为.的向量称为相等向量.在空间， 的有向线段表示同一向量或相等向量，因此可以.实数 与空间向量a的乘积 a仍然是一个， 称为向量的数乘运算.当 时， a与a的方向相同;当 时， a与 a的方向相反. a的长度是a的长度的.空间任意两个向量a、 b(b 0)a, b 的充要条件是存在，使 .向量，叫做共面向量.两个非零向量a、 b， 则 叫做a、 b 的数量积，记作 ,即 .数量积的运算律为(a)?b=,

2、a?b=(交换律)， a?(b+c)=a?b+a?c(分配律).如果三个向量a、 b、 c 不共面，那么对空间任一向量p，存在 实数组 x,y,z，使得 p=.如果空间的一个基底的三个基向量,则这个基底叫做单位正交基底.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则1 a+b=;2a-b=;3 a=( R);4 a b=;5a b;6a b;7 |a|=;a1b1a2b2a3b38 cos a,b(a1、 a2、 a3、 b1、 b2、 b3不同时为0).,222222a1 a2 a3b1b2b310.若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，则A、 B 两点间的距离dAB

3、=.答案:1.大小和方向有向线段有向线段模长 AB|a|或| AB |.方向相同且模长相等同向且等长平移.向量 0 0 | |倍.实数 a= b.平行于同一平面的.|a|b|cos a, b a?b a?b=|a|b|cos a, b( a?b) b?a.有序 xa+yb+zc.互相垂直且长度都为1.(a1+b1, a2+b2, a3+b3)(a1-b1, a2-b2, a3-b3)( a1, a2, a3)a1b1+a2b2+a3b3a1a2a3a1= b1, a2= b2, a3= b3( R)或(b1b2b3 0)b1b2b3a1b1+a2b2+a3b3=0222 TOC o 1-5 h

4、 z a1a2a3222. (x2x1 )(y2y1 )(z2z1 )典例启示【例 1】 已知四边形ABCD 的顶点分别是A(3,-1,2)、 B(1,2,-1)、 C(-1,1,-3)、 D(3,-5,3).求证:四边形ABCD 是一个梯形.证明 : AB =(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),CD =(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6),CD =(4,-6,6)=-2(-2,3,-3)=-2 AB .AB 与 CD 共线 .又由 CD 2AB 知 |CD | 2|AB | ， |CD | AB |. AB 与 CD 平行,且 |AB| | CD |.四

5、边形ABCD 为梯形 .启示： 利用向量的坐标证线段平行或垂直时,需要把线段“向量化 ”“ 坐标化 ”， 通过坐标的运算得出线段的平行或垂直.【例2】 如图， 已知 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O,Q 是 CD 的中点，求下列各题中x、 y的值：OQ PQ xPC yPA；PA xPO yPQ PD .111解 :(1) OQ PQ PO PQ (PA PC) PQ PA PC,1 xy2(2) PA PC 2PO, PA 2PO PC.又 PC PD 2PQ ,PC 2PQ PD .从而有 PA 2PO (2PQ PD)

6、2PO 2PQ PD. x=2, y=-2.启示： 确定 OQ PQ xPC yPA中 x、 y的值,需要把OQ用 PQ、 PC 、 PA表示出来， PC 、 PA的系数就分别为x、 y的值 .【例3】已知三个非零向量a=pe1-qe2,b=re2-pe3,c=qe3-re1,且 p、 q、 r 不全为零,求证：a、b、 c 共面 .证明:(1)若 e1、 e2、 e3共面，设该平面为，a=pe1-qe2,a、e1、e2 共面a.同理b,c,a、b、c 共面 .若e1、 e2、e3不 共 面 ， 则ra+qb+pc=r(pe1-qe2)+q(re2-pe3)+p(qe3-re1)=(pr-pr

7、)e1+(qr-qr)e2+(pq -pq)e3=0.p、q、r 不全为零，不妨设r0,则aq bp c ,a、b、c 共面 .rr综上可知，a、 b、 c 共面 .启示： 证明三向量共面的理论是共面向量定理，简记为其中一个向量可用其余两个向量线性表示出来.如 (2)a q b p c ,难点是发现ra+qb+pc=0.rr【例4】如图，已知正方形ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2， AF =1，M 是线段 EF 的中点 .(1)求证：AM平面BDE；(2)求证：AM平面BDF.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBD=N，连结NE.22则点N、 E 的坐标分

8、别为(,0)、 (0,0,1).NE=(2 ,2 ,1).222,1),22又点 A、 M 的坐标分别是( 2 , 2 ,0)、 (AM =(2 ,2 ,1). NE AM 且 NE 与 AM 不共线 .22 NE AM .又 NE 平面 BDE， AM 平面 BDE, AM 平面 BDE.22(2)同 (1)， AM =(2 ,2 式 ,1),D( 2,0,0),F( 2, 2,1),DF =(0, 2 ,1). AM DF 0 . AM DF .同理 AM BF .又 DF BF=F， AM平面 BDF.启示： 用向量知识证立体几何问题仍需判定(或性质)定理.欲证线面平行只需证线线平 TO

9、C o 1-5 h z 行；欲证线面垂直需证线线垂直.能力提高1.设 A(3,3,1)、 B(1,0,5)、 C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到 C点的距离为()A 53B 53C 53D 13. 4.2. 2. 2答案 :C.已知向量a=(x1,y1 ,z1),b=(x2,y2,z2),若 a b,|a-b|=R,则 a-b 与 x轴正向夹角的余弦值为()x1 x2x2 x1A.B.RR| x2x1 |(x1x2 )C.D.RR解析:a-b=(x1-x2, y1-y2, z1-z2), 取 x 轴正向的一个向量为c=(1, 0, 0), 则x1 x2x1 x2cos a b,c 12

10、12|a b| R答案:A.以下四个命题中，正确的是()11若 OP OA OB ,则P、 A、 B 三点共线23若a， b， c为空间的一个基底，则a+b,b+c,c+a构成空间的另一个基底C.|(a b)c|=|a| |b| |c|D. ABC 为直角三角形的充要条件是AB AC 0答案:B4.已知a=(cos,1,sin),b=(sin,1,cos),则向量a+b 与 a-b 的夹角为()A.B.C.解析： |a|=|b|, (a+b)?(a-b)=|a|2-|b|2=0. a+b 与 a-b 垂直 , 夹角为.2答案： CD. 不能确定5.已知空间四边形ABCD 中， G 为 BCD

11、的重心，.化简下列各表达式，并标出化简结果的向量.E、 F、 H 分别为边CD、 ADBC1(1) AG31BE CA;21 (AB AC AD ) ;111AB AC AD . 333解 :(1) G 是 BCD 的重心 , |GE| 1|BE|. 311 BE GE .311AG 1 BE AG GE AE , AE EF AF .3又 CA EF , 2由向量加法的三角形法则可知从而 AG 1 BE 1 CA AF . 32111(AB AC AD) (2AH AD) AH AD AH AF FH .222(3) G 是 BCD 的重心 ,猜想 1 (AB AC AD) AG .事实上

12、, 32 AG AB BG AB BE21AB (BD BC)32AB ( AD AB) (AC AB)(AB AC AD) .已知 ABC 的顶点 A(1,0,1)、 B(2,2,2)、 C(0,2,3),试求 ABC 的面积 .解 : AB =(2, 2, 2)-(1, 0, 1)=(1, 2, 1),AC =(0, 2, 3)-(1, 0, 1)=(-1, 2, 2), AB AC=(1, 2, 1) (-1 , 2, 2)=5,| AB |6 , | AC | 3 . cosAB,AC 653,sinAB,AC 5294. SABC21 |AB|AC|sin AB,AC32652492

13、29 .已知A(-2,0,6)、 B(3,1,12)、 C(0,-3,7)、 D(5,-2,13),求证:A、 B、 C、 D 四点共面.证明 : AB =(3, 1, 12)-(-2, 0, 6)=(5, 1, 6),AC =(0, -3, 7)-(-2, 0, 6)=(2, -3, 1),AD =(5, -2, 13)-(-2, 0, 6)=(7, -2, 7).由 AD xAB yAC 得 (7, -2, 7)= x(5, 1, 6)+y(2, -3, 1).5x 2y 7, x 3y 2, 解之得 x=1, y=1.6x y 7,向量 AD 、 AB 、 AC 共面 . A、 B、 C

14、、 D 四点共面.已知M、 N、 P 分别是正方体ABCD A1B1C1D1 的棱CC1、 BC、 CD 的中点.求证:A1P 平面 DMN .DN =(1, 2, 0),DM =(0, 2, 1).证明 :建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2, 则 D(0, 0, 0)、 A1(2, 0, 2)、P(0, 1, 0)、 M(0, 2, 1)、 N(1, 2, 0).A1P =(0, 1, 0)-(2, 0, 2)=(-2, 1, -2),A1P DM =(-2, 1, -2) (0, 2, 1)=(-2) 0+1 2+(-2) 1 =0,A1P DN =(-2, 1, -2)

15、(1, 2, 0)=(-2) 1+1 2+(-2) 0 =0.A1PDM , A1P DN . A1P DM , A1P DN.又 DM DN=D, A1P平面DMN .1.如图,已知ABC=90,AB =A, BB1于B1,CC1 于C1,AB1C1=90,求证:BC.施展才华设 C(0, b, z), 则 AB =(- a, 0, c), BC =(0, b, z-c).证明:如图, 建立空间直角坐标系, 可设 A(a, 0, 0)、 B(0, 0, c)、 C1(0, b, 0), 由题知 C 在平面 yOz 内 .ABC=90,AB BC 0, 即 c(z-c)=0. c 0, z=c. BC B1C1 . BC B1C1. BC 平面AB1C1, BC .2.在 ABC 中， D、 E 分别是边AC、 AB 上的点，并且AD=2DC， AE=2EB， BD 与 CEP，对空间任意一点O， OP xOA yOB zOC ,求 x、 y、 z的值 .解 :设 DP mPB,EP nPC, 则AP AE EP2n AB EC3 n12nAB n (AC AE)3 n1nn2AB ACABn1n132 AB n AC , 3(n 1) n 1mA