《锐角三角函数二》参考教案

1、锐角三角函数（二）教学目标（一）教学知识点.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.理解锐角三角函数的意义.（二）能力训练要求.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己 的观点.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.（三）情感与价值观要求L积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯.教学重点.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.能根据直

2、角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切.教学方法探索交流法.教具准备多媒体演示.教学过程I .创设情境，提出问题，引入新课师我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾 斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这 一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.现在我们提出两个问题:问题1当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?问题2梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？n .讲授新课1.正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内

3、容：想一想：如图直角三角形ABC1和直角三角形AB2c2有什么关系？2 和土_有什么关系？竺1和竺-呢？8A %BA. BA,(3)如果改变Az在梯子AiB上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子AiB的倾斜角的大小呢?你由此乂可得出什么结论?请同学们讨论后回答.生AiCBCi，A2C2BC2,AAiCi/A2C2.鬻和ACB4e RtZBACi sRtBA2c2.丝1和(相似三角形对应边成比例).由于A2是梯子AiB上的任意一点，所以，如果改变A?在梯子A山上的位 置，上述结论仍成立.由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比 值，倾斜角的邻边与斜边的比值

4、随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关, 而与直角三角形大小无关.生如果改变梯子AiB的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜 边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.师我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值 都随着倾斜角的改变而改变，同时.，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边 的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢？生函数关系.师很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有 如下定义：(用多媒体演示)在RtAABC中，如果锐角A确定，那么NA的对边与斜边的比、邻边与斜边 的比也随之确定.如图，NA的对边与邻边的比叫做N

5、A的正弦(sine),记作sinA, 即乙4的对边斜边NA的邻边与斜边的比叫做NA的余弦(cosine),记作cosA,即a ZA的邻边 斜边锐角A的正弦、余弦和正切都是NA的三角函数(trigonometricfunction).师你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A 的三角函数”呢？生我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A确定时.NA的对边与 斜边的比值，NA的邻边与斜边的比值，NA的对边与邻边的比值也都唯一确定. 在“NA的三角函数”概念中，NA是自变量，其取值范围是0oAv90。；三个比 值是因变量.当NA变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与

6、之对应.2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系师我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系：tanA的值越大，梯 子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA、cosA有关系呢?如果有关 系，是怎样的关系？ TOC o 1-5 h z 生妆口图所示，AB = AiBi,在RtAABC中，48sinA=里) 在 RtZABC 中，sinAi=百。ABA4；.BC B.C: AB A/JA C即sinA- B|J cosAcosAi, AB A蜴所以梯子的倾斜程度与cosA也有关系.cosA的值越小，梯子越陡.师同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余 弦都

7、可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切.3 .例题讲解多媒体演示.例 1如图，S RtAABC中，ZB=90, AC = 200.sinA=0.6,求 BC 的长.分析：sinA不是“sin”与“A”的乘积，sinA表示NA所在直角三角形它的对边 与斜边的比值，已知sinA = 0.6, 3=0.6.AC解：在 RtZABC 中，ZB = 90, AC = 200.sinA=0.6, B|J= 0.6, BC = ACx0.6 = 200 x0.6= 120.AC思考：(l)cosA = ?(2)sinC=? cosC = ?(3)由上面计算，你能猜想出什么结论？解：根据勾股定理，得A

8、B = VAC2-BC2 = V20(f-12tf =160.在 ABC 中,CB=90.csA=.8, AC 200 5sinC=这二些/3, AC 200 5BC _ 120 _ 3AC 200 5=0.6,由上面的计算可知sin AcosC = 0.6,cosA sinC0.8.因为NA+NC=90。，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦卬一 个锐角的余弦等于它余角的正弦”.例2做一做：12如图，在 RtZXABC 中，NC=9(r,cosA=，AC=10, AB 等于多少?sinB 呢?cosB、13sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.分析：这是正弦、余弦定

9、义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90-A)=cosA, cos(90-A)=sinA.19AC解：在 RtZABC 中，ZC = 90, AC=10, cosA= , cosA= - 13ABAR- A。 I。，八 13 65.ad -= =i()x =，cosA 1212 6T3sinB = cos A = AB13根据勾股定理，得BCiBXC部心耍爷25AcosB= = A = = AAB 65 65 136可以得出同例1 一样的结论.VZA+ZB=90,/.sinA： cosB=cos(90-A),即 sin A = cos(90-A)；cosA = sinB = sin(90-A

10、),即 cosA = sin(90-A).I【,随堂练习多媒体演示L在等腰三角形 ABC 中,AB=AC=5, BC=6,求 sinB, cosB, tanB.分析：要求sinB, cosB, tanB,先要构造NB所在的直角三角形,根据等腰三角形三线合一”的性质，可过A作AD1.BC, D为垂足.解：过A作ADLBC,AAB=AC, ABD=DC=-BC=3.2在 RtZABD 中，AB = 5, BD=3, AD4.sinB =AO =4AB- 5tanB=AD BD4.在aABC 中，ZC = 90, sinA=y , BC=20,求aABC 的周长和面积.在 RtZBC 中，AC=V2

11、5f-20f=15,/. ABC 的周长=AB+AC+BC = 25+15+20 = 60,ABC 的面积：iACxBC=lxl5x20=150. 22.（补充练习）在 AABC 中,NC=90。，若 tanA=L , 2则 sinA=.解：如图，tanA= = L.AC 2设BC=x, AC=2x,根据勾股定理，得AB= yjx2 +(2x)2 = y5x.sinA=BC _ x _ 1 _ V5AB 一豆一卡一 5W.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三 角函数，即在锐角A的三角函数概念中，ZA是自变量，其取值范围是 0ZA90；三个比值是因变量.当N

12、A确定时，三个比值分别唯一确定；当NA 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们 乂进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦 的定义来解决实际问题.课后作业习题2.2第1、3、4、5题.活动与探究已知：如图，CD是RtAABC的斜边AB上的高，求证：BC?=AB BD.（用 正弦、余弦函数的定义证明）过程根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其 正弦值（或余弦值）就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在RtZABC中,CDLAB .所以图中含有三个直角三角形.例如NB既在RtABDC中，乂在RtAABC中，涉及线段BC、BD、AB,由正弦、余弦的定义得cosB= , cosB= ABBDBC结果在 RtZABC