线性方程组迭代法

1、关于线性方程组的迭代法第一张，PPT共三十五页，创作于2022年6月引言直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解,解线性方程组还有另一种解法，称为迭代法,它的基本思想是将线性方程组 Ax=b 化为 x=Bx+f 再由此构造向量序列x (k): x(k+1)=Bx (k)+f若x (k)收敛至某个向量x *,则可得向量x *就是所求方程组 AX=b 的准确解.线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、Seidel迭代法和超松弛(Sor)迭代法.第二张，PPT共三十五页，创作于2022年6月迭代法的特点 若在求解过程中 xkx*(k)，由 xk+1=(xk)产生的迭代 xk向x*的逼近 ，在数

2、次迭代求解之后，由于机器跳动产生的xk值误差或是有效数字产生的舍入误差，都会在第k+1次迭代计算中自动弥补过来或逐步纠正过来。因此，在 迭代求解过程中产生的各种误差是可以忽略的，即迭代求解无累积误差，实际上， xk只是解的一个近似，机器的舍入误差并不改变它的此性质。 迭代过程中经常要遇到向量范数，矩阵范数以及序列极限的概念。为此，下面先介绍这方面的知识和有关概念。 单击此处即可第三张，PPT共三十五页，创作于2022年6月几个基本概念及性质1. 向量范数： 对任一向量X，按一定规则确定一个实数与其相对应，该实数记 为|X|，若|X|满足下面三个性质：（1）|X|0，|X|=0当且仅当X=0。（

3、2）对任意实数 ，| X|=| | |X|。（3）对任意向量YRn，|X+Y|X|+|Y|。 则称该实数|X|为向量X的范数2 .矩阵范数：设A是NN 阶矩阵，定义 |A| = Max（|AX| / |X|）= Max |AX| x0,xRn |x|=1,xRn 为矩阵A的(算子）范数。|Ax| |A| |x|第四张，PPT共三十五页，创作于2022年6月三种常用的向量范数：例 ：设 x=(1 , -4, 0, 2)T 求它的向量范数第五张，PPT共三十五页，创作于2022年6月三种常用的矩阵范数：例 ：设 A，求它的矩阵范数 第六张，PPT共三十五页，创作于2022年6月矩阵范数的性质：（1

4、）对任意非零矩阵A,有|A|恒为正数，当且仅当A=0，|A|=0.（2）|aA|=|a|A|（a为任意实数）（3）对于任意两个阶相同的矩阵A，B恒有|A+B|A|+|B|.（4）对于与矩阵A有相同维数的向量X，恒有|AX| |A| |X|.（5）对于同阶矩阵A，B 恒有 |AB| . |A| |B| 谱半径： 设 nn 阶矩阵A的特征值为 i(i=1,2,3n),则称 (A)=MAX | i| 为矩阵A的谱半径. 1 in 矩阵范数与谱半径之间的关系为: (A) |A|. 单击此处试做例题第七张，PPT共三十五页，创作于2022年6月5 几个定理及定义设x(k)为 Rn中的向量序列, x(*)

5、为Rn中的向量对矩阵也有类似的结论 下一页第八张，PPT共三十五页，创作于2022年6月 如果 矩阵 A=(aij)满足 n |aii| |aij| i=1,2,n, j=1,ji 则称方阵A是严格(行)对角占优的. a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n A= =L+D+U an1 an3 an4 ann -4 2 1例 矩阵 A= 1 -9 7 2 -6 10ULD第九张，PPT共三十五页，创作于2022年6月Jacobi 迭代一： 设有方程组 a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 . . . . . . . . . .

6、 . . . . . . . . . . . an1x1+an2x2+annxn=bn用矩阵表示：Ax =b （A 为系数矩阵，非奇异；b为右端，x为解向量） 上一页第十张，PPT共三十五页，创作于2022年6月假设 aii0 令 cij = -aij /aii (ij) gi= bi /aij , i=1,2,3,n 则 x1(k+1)= c12x2(k)+c13x3(k)+ +c1nxn(k)+g1 x2(k+1)=c21x1(k) +c23x3(k)+ +c2nxn(k)+g2 。 xn(k+1)=cn1x1(k) +cn2x2(k)+ +cn(n-1)xn-1(k) + gn Jaco

7、bi迭代格式若令 0 c12 c13 c1n x1 c21 0 c23 c2n x2BJ= x= . cn1 cn3 cn4 0 xn a11 g1 a22 g= g2 易看出： BJ =D-1(D-A)=I - D -1 , D= . . ann gn 把方程组写成容易迭代的形式：第十一张，PPT共三十五页，创作于2022年6月Jacobi迭代公式第十二张，PPT共三十五页，创作于2022年6月Seidel迭代法 为了加快收敛速度，同时为了节省计算机的内存，我们作如下的改进：每算出一个分量的近似值，立即用到下一个分量的计算中去，即用迭代格式：这样所得的迭代法就称为Gauss-Seidel迭代

8、法，也称为“异步迭代法”，简称为GS迭代法利用Ax=b 及A=L+D+U,其中D为对角矩阵,L,U分别为严格下，上三角矩阵则有，GS迭代法的矩阵形式为:第十三张，PPT共三十五页，创作于2022年6月Seidel迭代法的具体形式Seidel迭代格式 x1(k+1)= c12x2(k)+c13x3(k)+ +c1nxn(k)+g1 x2(k+1)=c21x1(k+1) +c23x3(k)+ +c2nxn(k)+g2 。 xn(k+1)=cn1x1(k+1) +cn2x2(k+1)+ +cn(n-1)xn-1(k+1) + gn 假设 aii0 令 cij = -aij /aii (ij) gi=

9、 bi /aij , i=1,2,3,n 第十四张，PPT共三十五页，创作于2022年6月收敛性及误差估计Jacobi迭代和GS迭代格式可表述为统一形式:对于其收敛性，我们有如下定理：定理：对任意初始向量x(0)及任意右段向量 g，由此产生的迭代向量序列x(k)收敛的充要条件是证明：必要性：设x(k)收敛，其极限为 x*，则第十五张，PPT共三十五页，创作于2022年6月因上式对任意均成立，故Bk 0 (k ), (B)1 充分性：设(B)1,则IB为非奇异阵,且 =0,所以 有唯一解,记为 则 定理：若|B|R THEN R=ABS(S(I)-T)240 NEXT I250 PRINT K;

10、”-”; : FOR I=1 TO N:PRINT “X(;I;”)=“;INT(X(I)*100000+0.5)/100000; :NEXT I:PRINT 255 IF R1 THEN 280 260 NEXT K. :第二十八张，PPT共三十五页，创作于2022年6月270 PRINT “DRE DAI SH BAI”280END290DATA 10,-1,-2,7.2300DATA -1,10,-2,8.3310DATA -1,-1,5,4.2320DATA 0,0,0 RUN? 3,10E-6,20 返回第二十九张，PPT共三十五页，创作于2022年6月五.方法优缺点讨论由以上例题的

11、求解过程可明显看出GS迭代法的收敛速度比简单迭代法快，但对于任意给定的一个方程组分别用简单迭代法和GS迭代法求解时，两种迭代法可能都收敛，也可能都不收敛也有可能是GS迭代法收敛而J迭代法不收敛但亦有相反情况，即简单迭代法收敛而GS迭代法不收敛而且交换方程组中的方程和未知数的次序都会影响GS迭代法的计算结果，但这种交换对简单迭代法是没有影响的返回第三十张，PPT共三十五页，创作于2022年6月SOR法介绍利用Seidel 迭代法 ，考虑如下Sor 迭代格式一步Seidel迭代松弛因子Sor 迭代格式也是线性迭代形式第三十一张，PPT共三十五页，创作于2022年6月第三十二张，PPT共三十五页，创作于2022年6月第三十三张，PPT共三十五页，创作于2022年6月举例检验Jacoai迭代的收敛性以知三阶线性方程组： 8x1 -3x2 +2x3 =204x1 +11x2 -x3 =336x1 +3x2 +12x3 =36首先将原方程组写为迭代形式的方程组，即：x1=20/8 0 +3/8 x2 2/8x3x2=33/114/11x1 0+1/11x3x3=36/12 6/12x1