新高考一轮复习苏教版 最值、范围、证明问题 作业

1、一轮分层练案(五十)最值、范围、证明问题A级基础达标1.抛物线C： y2=4x的焦点为F,点E(1,0),圆x2 + y2=r2(ro)与抛物线c交 于A, B两点，直线BE与抛物线交点为D.(1)求证：直线AD过焦点F；(2)过F作直线MNJ_AD,交抛物线C于M, N两点，求四边形ANDM面积的最小值.解：证明：由题意,设A(xo, yo), B(x0, yo),直线BE的方程为y=y(x+l), xo+r_ 一yr联立“ 丫 Xo+l ，得拳/2 +(xo+l)y + yo = O,、尸=4x,由题意可得，该方程有一个根为一yo,4由根与系数关系得一yoyD=4, yn=,所以D七-那么

2、直线FD的斜率为直线AF的斜率为直线AF的斜率为yo_4 1所以kAF=kFD,故A, F, D三点共线，所以直线AD过焦点F.设直线AD方程为y = k(x 1),那么直线MN的方程为y=(x1),y=k(x1),联立?得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,y-=4x,2k2+44设 A(xi, yi), D(X2, y2),那么 xi+x2=_jp一=2+f，4 所以 |AD| = xi + x2+2=4+直, K同理可得|MN|=4+4k2,所以四边形ANDM面积为= 8(2+记,离心率为坐.当且仅当10,解得一2VnV2.设 A(xi, yi), B(x2, y?),那么 xi+x

3、2=-2n, xiX2 = 2n24.因为NAOB为钝角等价于且nWO,所以 OAOB =XX2+yiy2= xiX2+&Q + n)6x2+n)=xiX2+(xi + x2)+n2=(2n24)+( 2n) + n20,即 n20)的焦点为F,准线与x轴的交点为E.过点F的直线与抛物线相交于A, B两点, EA, EB分别与y轴相交于M, N两点，当ABJLx轴时，EA=2.(1)求抛物线的方程；(2)设aEAB的面积为Si，ZXEMN面积为S2，求的取值范围._2DX 今,解：当AB_Lx轴时，直线AB的方程为x=,联立j2y=2px,=P，且 EF=p,/. EA=-/aF2 + EF2

4、= 2,解得 p=6，因此，抛物线的标准方程为y2=2吸x.(2)设直线AB的方程为x = my+孚，(1)求抛物线的方程；(2)设aEAB的面积为Si，ZXEMN面积为S2，求的取值范围._2DX 今,解：当AB_Lx轴时，直线AB的方程为x=,联立j2y=2px,=P，且 EF=p,/. EA=-/aF2 + EF2= 2,解得 p=6，因此，抛物线的标准方程为y2=2吸x.(2)设直线AB的方程为x = my+孚，可得y = lpl,那么AFy2=2吸 x,x = mI-得 y22-/2my 2 = 0,设点 A（xi, yi）,B（x2, y2）,所以 yi+y2=2陋m, yiy2=

5、2,直线AE方程为令 x = 0,得 yM=一Xji yimyi+也也a/2 yi_ Y2所以lyMyN尸之 myi+V2-my2+V2=2也（yif）2 （myi + 也）（my2+也）= yi-y2一 （myi+也）（my2+也），其中（myi + 也）（my2+也）=m2yly2+也 m（yi +y2）+ 2= 2m2+4m2+2 = 2m2+2,|EF|yi-y2|那么寸=4m2+44,2 EO|yMyNl当m=0时等号成立，因此卷的取值范围为4, +).x24.椭圆C： -7 d= l(ab0), Fi，F2为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且|PFi|=.(1)求椭圆的标准方程；

6、(2)设直线1： x=-2,过点F2的直线交椭圆于A, B两点，线段AB的垂直平分线分别 交直线1,直线AB于M, N两点，当NMAN最小时，求直线AB的方程.解：(1)设椭圆的左焦点Fi(c,0)(c0),那么|PFi| = 1(、+声.=芈,解得c=l,历所以|PF2|=+，那么由椭圆定义|PFi| + |PF2| = 2a=2b=/a2-c2=l,x2故椭圆的标准方程为+y2= 1.(2)由题意直线AB的斜率必定不为零， 于是可设直线AB: x = ty+l, = ty+1,联立方程1 X2得02 + 2)y2 + 2ty 1 =0,，+尸1，直线 AB 交椭圆于 A(xi, yi),

7、B(x2, y2), AA=4t2+4(t2+2) = 8(t2+l)0.由根与系数关系得yi+y2=12+2, y2=1t2+29门t .,t2 , ,2贝I yN= -t2 + 2, XN = tyN+ 1 = (2 + 2+ 1 = + 29VMNAB, AkMN=-t,.|MN|=/l+t2- -2- =Wl+t2：；江,又|AN|=；|AB|=T /l+t2-|yi-y2|=尸匠,tanZMAN=当且仅当#2+1 =即t=l时取等号.|MN| V2(t2+3) |AN|=此时直线AB的方程为x+y 1 =0或Xy1 =0.B级综合应用5.抛物线x2 = 2py(p0)的焦点F到直线y

8、=目的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)设直线y=kx+l交抛物线于A(xi，yD，B(X2，y2)两点，分别过A, B两点作抛物线 的两条切线，两切线的交点为P,求证：PF1AB.解:(1)由题意知F 0,那么焦点F到直线y=一号的距离为所以抛物线的方程为x2=4y.(2)证明：把直线y=kx+l代入x?=4y消y得X24kx4=0,又 A=16k2+160,Y . -4- vn = zlV利用根与系数关系得X1-X2=-4,由题意设切线PA的斜率为kpA,切线PB的斜率为kpB,点P坐标为(m, n), 由(1)可得y=1x2,那么 y =1x,那么切线PA的方程为y n=yxi(x

9、m),切线PB的方程为y n =yx2(x m),那么yi -n=/xi(xi-m),b0).(1)求椭圆E的方程；(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限局部上一点，作MN垂直于y轴，垂 足为N,求梯形ORMN面积的最大值.解：(1)设 AQ 与 BP 的交点为 G(x, y), P(-2, yi), Q(x), 2),由题可知，3=咛工V 2 V Vi因为kAG = kAQ, kBG = kBP,所以卡=不哀，=一:从而有土=4耨=_；，整理得:+y2=l,X2即椭圆E的方程为w+y2=i.(2)由(1)知 R(2,0),设 M(xo, yo),那么 yo=； 7x*,从而梯形 ORMN 的面积 S=1(2+xo)yo=1 /(4-xg)(2+x0)2,令 t=2