MST团队2022届新高考“高观点”临考秒杀卷

1、个 命 题 ： 团 队 届 新 高 考 “高 观 点 ”临 考 秒 杀 卷 若 犃 ），犅 ），则 犱犃犅 ） ；数 学 试 卷 若 犃 犪 犪 ），犅 犫 犫 ），其 中 犪 犫 犚 ，则 犱 犃犅 ） 犱 犃犅 ）； 若 犃 犪 犫 ），犅 犮 犱 ），其 中 犪 犫 犮 犱 犚 ，则 犱 犃犅 ） 犱 犃犅 ）； 若 犃 犪 犪 ），犅 犫 ），其 中 犪 犫 犚 ，则 犱犃犅 ） 的 最 小 值 为 其 中 所 有 真 命 题 的 个 数 是 本 试 卷 共 页 题 。 全 卷 满 分 分 。 考 试 用 时 分 钟 。注 意 事 项 ： 祝考试顺利 已 知 向 量 犪 犪狓 犪 狔

2、犪 狕 ），犫 犫 狓 犫 狔 犫 狕 ），犻 犼 犽 是 空 间 中 的 一 个 单 位 正 交 基 底 规 定 向 量 积 的 行 列 式 计犻 犼 犽 答 卷 前 ，先 将 自 己 的 姓 名 、准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ，并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指犪 狔 犪 狕 犪 狓 犪 狕定 位 置 。算 犪 犫 犪犫 狕 犪 犫 狔 犻 犪犫 狓 犪 犫 狕 犼 犪 犫 狔 犪 犫 狓 犽 犪 狓 犪 狔 犪 狕 （ ，犫 狔 犫 狕 犫 狓 犫 狕，犫 狓 犫 狔 犫 狕 选 择 题 的 作 答 ：每 小 题 选 出

3、 答 案 后 ，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 。 写 在 试 题 卷 、草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。犪 狓 犪 狔），其 中 行 列 式 计 算 表 示 为犪 犫 犪犱 ，若 向 量 犃 犅 ），犃 犆 ），则 犃 犅 犃 犆 犫 狓 犫 狔 犮 犱 非 选 择 题 的 作 答 ：用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 ， ， ） ， ） ， ） ， ， ）答 题 区 域 均 无 效 。 考 试 结 束

4、后 ，请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。 已 知 狀 元 均 值 不 等 式 为 ：狀狓 狓 狓 狀 ） 狀狓 狓槡 狓狀 ，其 中 狓 狓 ， 狓狀 均 为 正 数 ，已 知 球的 半 径 为 犚 ，利 用 狀 元 均 值 不 等 式 求 得 球 的 内 接 正 四 棱 锥 的 体 积 的 最 大 值 为一 、选 择 题 ：本 题 共 小 题 ，每 小 题 分 ，共 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 。 如 果 实 数 集 犚 的 子 集 犡 满 足 任 意 开 区 间 犪 犫 ）（其 中 犪 犫

5、 ） 中 都 含 有 犡 中 的 元 素 ，则 称 犡 在 犚 中 稠 密 ，若 犚 犚 犚 犚 犚 黎 曼 函 数 犚 狓 ） 是 由 德 国 数 学 家 黎 曼 发 现 并 提 出 的 ，在 高 等 数 学 中 有 着 广 泛 的 应 用 犚 狓 ） 在 上 的 定 义的 子 集 犡 在 犚 中 不 稠 密 ” 则 任 意 开 区 间 都 不 含 有 犡 中 的 点 存 在 开 区 间 不 含 有 犡 中 的 点为 ：当 狓 狇狆狆 狇 ，且 狆 狇 为 互 质 的 正 整 数 ） 时 犚 狓 ）狆；当 狓 或 狓 或 狓 为 ） 内 的 无 理 数 时 ， 任 意 开 区 间 都 含 有

6、 犡 的 补 集 中 的 点 存 在 开 区 间 含 有 犡 的 补 集 中 的 点 欧 拉 公 式 狓 狓 狓 为 虚 数 单 位 狓 犚 为 自 然 对 数 的 底 数 ） 是 由 瑞 士 著 名 数 学 家 欧 拉 发 明 的 ，它犚 狓 ） 已 知 犪 犫 犪 犫 ，则将 指 数 函 数 的 定 义 域 扩 大 到 复 数 ，建 立 了 三 角 函 数 和 指 数 函 数 的 关 系 ，它 在 复 变 函 数 论 里 占 有 非 常 重 要 的 地注 狆 狇 为 互 质 的 正 整 数 狆 狇 ），即狇狆为 已 约 分 的 最 简 真 分 数 位 ，被 誉 为 “数 学 中 的 天 桥

7、 ”，现 有 以 下 两 个 结 论 ： ； ； ）（ ） 犚 狓 ）的 值 域 为 ， 犚 犪 犫 ） 犚 犪 ） 犚 犫 ） 犚 犪 犫 ） 犚 犪 ） 犚 犫 ） 以 上 选 项 都 不 对其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号 是 正 态 分 布 是 最 重 要 的 一 种 概 率 分 布 ，它 是 由 德 国 的 数 学 家 、天 文 学 家 于 年 提 出 ，但 由 于 德 国 数 学 均 正 确 均 错 误 对 错 错 对家 率 先 应 用 于 天 文 学 研 究 ，故 正 态 分 布 又 称 为 高 斯 分 布 ，记 作 犢 犖 ）当 的 正 态 分 布 闵 可 夫 斯 基

8、 距 离 又 称 为 闵 氏 距 离 ，是 两 组 数 据 间 距 离 的 定 义 设 两 组 数 据 分 别 为 犃 犪 犪 ， 犪狀 ） 和 犅 犫 犫 ， 犫 狀 ），这 两 组 数 据 间 的 闵 氏 距 离 定 义 为 犱狀犃犅 狇 ） 犽 狇 狇 ，其 中 狇 表 示 阶 数 现 有 下 列 四狘 犪 犽 犫 犽 狘犢 称 为 标 准 正 态 分 布 ，如 果 令 犡 ，则 可 以 证 明 犡 犖 ），即 任 意 的 正 态 分 布 可 以 通 过 变 换 转 化 为 标 准正 态 分 布 如 果 犡 犖 ） 那 么 对 任 意 的 犪 ，通 常 记 犪 ） 犘 犡 犪 ），也 就

9、 是 说 犪 ） 表 示 犖 ） 对 应的 正 态 曲 线 与 狓 轴 在 区 间 犪 ）内 所 围 的 面 积 某 校 高 三 年 级 名 学 生 ，期 中 考 试 数 学 成 绩 近 似 服 从 正 态分 布 ，高 三 年 级 数 学 成 绩 平 均 分 ，方 差 为 ） ，那 么 成 绩 落 在 的 人 数 大 约 为 若 犃 犆 犅 犇 ，则 直 四 棱 柱 犃 犅 犆 犇 犃犅 犆 犇 在 顶 点 犃 处 的 离 散 曲 率 为 若 犃 犅 犅 犇 ，则 直 四 棱 柱 犃 犅 犆 犇 犃犅 犆 犇 在 顶 点 犃 处 的 离 散 曲 率 为 英 国 数 学 家 布 鲁 克 泰 勒

10、） 以 发 现 泰 勒 公 式 和 泰 勒 级 数 而 闻 名 于 世 根 据 泰勒 公 式 ，我 们 可 知 ：如 果 函 数 犳 狓 ） 在 包 含 狓 的 某 个 开 区 间 犪 犫 ） 上 具 有 狀 ） 阶 导 数 ，那 么 对 于 狓 犪 ， 若 四 面 体 犃 犃 犅 犇 在 点 犃 处 的 离 散 曲 率 为，则 犃 犆 平 面 犃犅 犇犫 ），有 犳 狓 ）犳 狓 ！ ）犳 狓 ！ ）狓 狓 ） 犳 狓 ！ ）狓 狓 犳狀 ）狓狀 ！ ）狓 狓 狀 犚狀 狓 ），其 中 ， 早 在 古 巴 比 伦 时 期 ，人 们 就 会 解 一 元 二 次 方 程 世 纪 上 半 叶 ，数

11、 学 家 们 得 到 了 一 元 三 次 方 程 、一 元 四 次 方 程的 解 法 研 究 过 程 中 得 到 一 个 代 数 基 本 定 理 ：任 何 一 元 狀 狀 犖 ） 次 复 系 数 多 项 式 方 程 犳 狓 ） 至 少 有 一 个犚 狀 狓 ）狀） ）犳狀 ）！狓 狓 ）狀）（此 处 介 于 狓 和 狓 之 间 ）若 取 狓 ，则 犳 狓 ）犳 ） ！犳 ） ！狓 ）犳 ） ！复 数 根 请 借 助 代 数 基 本 定 理 解 决 下 面 问 题 ：设 实 系 数 一 元 四 次 方 程 犪狓复 数 集 犆 内 的 根 为 狓 狓 狓 狓 ，则 下 列 结 论 正 确 的 是

12、犫狓 犮狓 犱狓 犲 犪 ），在狓 犳狀 ） ）狀 ！狓 狀 犚狀 狓 ），其 中 犚狀 狓 ）狀） ）犳狀 ）！狓 ）狀）（此 处 介 于 和 狓 之 间 ） 称 作 拉 格 朗 日 狓 狓 狓 狓 犫犪 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 犮犪余 项 此 时 称 该 式 为 函 数 犳 狓 ） 在 狓 处 的 狀 阶 泰 勒 公 式 ，也 称 作 犳 狓 ） 的 狀 阶 麦 克 劳 林 公 式 于 是 ，我 们 可得 ！ ！ 狀 ！狀 ）！（此 处 介 于 和 之 间 ）若 用狀 ）！近 似 的 表 示 的 泰 勒 狓 狓 狓 狓 犲犪 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓

13、狓 狓 犱犪 丹 麦 数 学 家 琴 生 ） 是 世 纪 对 数 学 分 析 做 出 卓 越 贡 献 的 巨 人 ，特 别 在 函 数 的 凹 凸 性 与 不 等 式 方 面 留 下公 式 的 拉 格 朗 日 余 项 犚 狀 狓 ）狀 ）！，当 犚狀 狓 ） 不 超 过时 ，正 整 数 狀 的 最 小 值 是了 很 多 宝 贵 的 成 果 若 狓 狓 ， 狓狓 狓 狓狀 为 犪 犫 ） 上 任 意 狀 个 实 数 ，满 足 犳 （ 狀 ） 狀狀犳 狓 ） 犳 狓 ） 犳 狓 狀 ），则 称 函 数 犳 狓 ） 在 犪 犫 ） 上 为 “上 凸 函 数 ”设 可 导 函 数 犳 狓 ） 在 犪

14、犫 ） 上 的 导 函 数 为二 、选 择 题 ：本 题 共 小 题 ，每 小 题 分 ，共 分 。 在 每 小 题 给 出 的 选 项 中 ，有 多 项 符 合 题 目 要 求 。 全 部 选 对 的 得 犳 狓 ），犳 狓 ）在 犪 犫 ）上 的 导 函 数 为 犳 狓 ），当 犳 狓 ） 时 ，函 数 犳 狓 ）在 犪 犫 ）上 为 “上 凸 函 数 ”下 列 结 论分 ，部 分 选 对 的 得 分 ，有 选 错 的 得 分 。成 立 的 是 群 论 是 代 数 学 中 一 门 很 重 要 的 理 论 ，我 们 熟 知 的 一 元 五 次 及 以 上 的 方 程 没 有 根 式 解 就

15、可 以 群 论 的 知 识 证 明 ， 狔 狓 在 ） 上 为 “上 凸 函 数 ” 狔 狓 在 ） 上 为 “上 凸 函 数 ”群 的 概 念 则 是 群 论 中 最 基 本 的 概 念 之 一 ，其 定 义 如 下 ：设 犌 是 一 个 非 空 集 合 ，“ ” 是 犌 上 的 一 个 代 数 运 算 ，若满 足 ： 在 犃 犅 犆 中 犃 犅 犆 在 犃 犅 犆 中 犃 犅 犆 槡 犪 犫 犮 犌 ，有 犪 犫 ）犮 犪 犫 犮 ）； 三 、填 空 题 ：本 题 共 小 题 ，每 小 题 分 ，共 分 。 犲 犌 ，使 得 犪 犌 ，有 犲 犪 犪 犲 犪 ； 在 学 习 导 数 和 微

16、 积 分 时 ，应 用 到 了 “极 限 ” 的 概 念 ，极 限 分 为 函 数 极 限 和 数 列 极 限 ，其 中 数 列 极 限 的 概 念 为 ：对 犪 犌 ， 犫 犌 ，使 犪 犫 犫 犪 犲 ，则 称 犌 关 于 “ ” 构 成 一 个 群 ，数 列 犪狀 ，若 存 在 常 数 犃 ，对 于 任 意 ，总 存 在 正 整 数 犖 ，使 得 当 狀 犖 时 ，狘 犪 狀 犃 狘 成 立 ，那 么 称则 下 列 说 法 正 确 的 有 犌 ， 关 于 数 的 乘 法 构 成 群 有 理 数 集 关 于 数 的 乘 法 构 成 群犃 是 数 列 犪 狀 的 极 限 ，已 知 数 列 犫

17、 狀 满 足 犫狀 犫 狀 犫 狀 犖 ，由 以 上 信 息 可 得 犫狀 的 极 限 犃 犌 犿 狘 犿 犣 关 于 数 的 加 法 构 成 群 犌 犿 狀 狘 犿 狀 犣 关 于 数 的 加 法 构 成 群 在 空 间 直 角 坐 标 系 犗 狓狔狕 中 ，经 过 点 犘 狓 狔 狕 ），以 犿 犪 犫 犮 ） 为 法 向 量 的 平 面 方 程 为 犪 狓 狓 ） 设 犘 为 多 面 体 犕 的 一 个 顶 点 ，定 义 多 面 体 犕 在 点 犘 处 的 离 散 曲 率 为 （ 犙犘 犙 犙 犘 犙 犫 狔 狔 ） 犮 狕 狕 ） ，经 过 点 犘 狓 狔 狕 ），且 一 个 方 向

18、向 量 为 狀 ）（ ） 的 直 线 犾 方 程 犙 犽犘 犙 犽 犙 犽犘 犙 ），其 中 犙犻 犻 ， 犽 犽 ） 为 多 面 体 犕 的 所 有 与 点 犘 相 邻 的 顶 点 ，且 平 面犙 犘 犙 ，平 面 犙犘 犙 ， ，平 面 犙 犽犘 犙 犽 和 平 面 犙 犽犘 犙 为 多 面 体 犕 的 所 有 以 犘 为 公 共 点 的 面 已 知 在 直 四 棱为狓 狓 狔 狔 狕 狕 已 知 在 空 间 直 角 坐 标 系 犗 狓狔狕 中 ，平 面 的 方 程 为 狓 狔 狕 ，直 线 犾 的柱 犃 犅 犆 犇 犃 犅 犆 犇 中 ，底 面 犃 犅 犆 犇 为 菱 形 犃 犃 犃 犅

19、 ，则 下 列 结 论 正 确 的 是方 程 为狓 狔 狕 ，则 直 线 犾 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 直 四 棱 柱 犃 犅 犆 犇 犃 犅 犆 犇 在 其 各 顶 点 处 的 离 散 曲 率 都 相 等 德 国 数 学 家 康 托 ） 创 立 的 集 合 论 奠 定 了 现 代 数 学 的 基 础 著 名 的 “康 托 三 分 集 ” 是 数 学 理 性 思 维 的 产学 习 数 学 领 悟 数 学 秒 杀 数 学物 ，具 有 典 型 的 分 形 特 征 ，其 构 造 的 操 作 过 程 如 下 ：将 闭 区 间 均 分 为 三 段 ，去 掉 中 间 的 区 间 段 （，

20、 ，记 （本 小 题 满 分 分 ）对 于 数 列 犪狀 ，定 义 犪狀 为 数 列 犪 狀 的 一 阶 差 分 数 列 ，其 中 犪 狀 犪 狀 犪 狀 狀 犖 ；对 犽 犽 犖 ， 为 第 次 操 作 ；再 将 剩 下 的 两 个 区 间 ， ，分 别 均 分 为 三 段 ，并 各 自 去 掉 中 间 的 区 间 段 ，记 为 第 次定 义 犪 狀 为 犪 狀 的 犽 阶 差 分 数 列 ，其 中 犪 犽犪 犽犪狀 狀 狀 操 作 ；以 此 类 推 ，每 次 在 上 一 次 操 作 的 基 础 上 ，将 剩 下 的 各 个 区 间 分 别 均 分 为 段 ，同 样 各 自 去 掉 中 间

21、的 区 间（ ） 若 数 列 犪狀 的 通 项 公 式 为 犪 狀 ，分 别 求 出 其 一 阶 差 分 数 列 犪 狀 、二 阶 差 分 数 列 犪 狀 的 通 项狀 狀公 式 ；段 操 作 过 程 不 断 地 进 行 下 去 ，以 至 无 穷 ，剩 下 的 元 素 构 成 的 集 合 为 “康 托 三 分 集 ”定 义 区 间 犪 犫 ） 长 度 为 犫 犪 ，则 构 造 “康 托 三 分 集 ” 的 第 狀 次 操 作 去 掉 的 各 区 间 的 长 度 之 和 为 （ ） 若 数 列 犪狀 首 项 犪 ，且 满 足 犪狀 ，求 出 数 列 犪 狀 的 通 项 公 式 犪狀 犪 狀 犪

22、狀 狀 及 前 狀 项 和 犛 狀 （参 考 数 据 ） 极 线 是 高 等 几 何 中 的 重 要 概 念 ，它 是 圆 锥 曲 线 的 一 种 基 本 特 征 对 于 圆 狓 狉 ，与 点 狓 狔 ） 对 应 的 极 线 方 程 为 狓 ，我 们 还 知 道 如 果 点狔 狓 狔 狔 狉 （本 小 题 满 分 分 ）狓 狔 ） 在 圆 上 ，极 线 方 程 即 为 切 线 方 程 ；如 果 点 狓 狔 ） 在 圆 外 ，极 线 方 程在 研 究 函 数 问 题 时 ，我 们 经 常 遇 到 求 函 数 在 某 个 区 间 上 值 域 的 问 题 ，但 函 数 在 区 间 端 点 又 恰 好

23、 没 有 意 义 的 情即 为 切 点 弦 所 在 直 线 方 程 同 样 ，对 于 椭 圆狓犪 狔犫 ，与 点 狓 狔 ） 对 应 的况 ，此 时 我 们 就 可 以 用 函 数 在 这 点 处 的 极 限 来 刻 画 该 点 附 近 函 数 的 走 势 ，从 而 得 到 函 数 在 区 间 上 的 值 域 求 极 限我 们 有 多 种 方 法 ，其 中 有 一 种 十 分 简 单 且 好 用 的 方 法 洛 必 达 法 则 ，该 法 则 表 述 为 ：“设 函 数 犳 狓 ），犵 狓 ） 满 足极 线 方 程 为狓 狓 犪狔 狔 狓 如 图 ，已 知 椭 圆 犆 ：犫 狔 犘 狋 ），过

24、点 犘下 列 条 件 ：作 椭 圆 犆 的 两 条 切 线 犘 犃 犘 犅 ，切 点 分 别 为 犃 犅 ，则 直 线 犃 犅 的 方 程 为 ；直 线 犃 犅 与 犗 犘 交 于 点 犕 ，则 狓 犪犳 狓 ） 狓 犪犵 狓 ） ； 在 点 犪 处 函 数 犳 狓 ） 和 犵 狓 ） 的 图 象 是 连 续 且 光 滑 的 ，即 函 数 犳 狓 ） 和 犵 狓 ） 在 点 犪 处 存 在 导 数 ； 犘 犕 犅 的 最 小 值 是 四 、解 答 题 ：本 题 共 小 题 ，共 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。 狓 犪犳 狓 ）犵 狓 ） 犃

25、 ，其 中 犃 是 某 固 定 实 数 ， （本 小 题 满 分 分 ）余 弦 定 理 是 作 为 勾 股 定 理 的 推 广 而 诞 生 的 ，在 诞 生 之 初 ，它 只 是 以 几 何 定 理 的 身 份 出 现 ，直 到 世 纪 ，才 出 现则 狓 犪犳 狓 ）犵 狓 ） 狓 犪犳 狓 ）犵 狓 ） 犃 ” 那 么 ，假 设 有 函 数 犳 狓 ） 狓 犵 狓 ） 狋狓 （ ） 若 犳 狓 ） 犵 狓 ） 恒 成 立 ，求 狋 的 取 值 范 围 ；三 角 形 式 世 纪 ，尽 管 三 角 形 式 偶 有 出 现 ，但 人 们 主 要 运 用 韦 达 定 理 来 解 “已 知 三 边

26、求 各 角 ” 的 问 题 ，用 正切 定 理 来 解 “已 知 两 边 及 其 夹 角 求 第 三 边 ”的 问 题 到 世 纪 ，韦 达 定 理 销 声 匿 迹 ，三 角 形 式 的 余 弦 定 理 一 统 天 下 （ ） 证 明 狓 狓 在 犃 犅 犆 中 ，角 犃 犅 犆 所 对 的 边 分 别 为 犪 犫 犮 （ ） 证 明 ：正 切 定 理犪 犫犪 犫犃 犅犃 犅；（提 示 犃 犃 犅犃 犅犅 犃 犅犃 犅） （本 小 题 满 分 分 ）在 平 面 直 角 坐 标 系 内 ，我 们 知 道 犪狓 犫狔 犮 犪 犫 不 全 为 ） 是 直 线 的 一 般 式 方 程 而 在 空 间

27、直 角 坐 标 系（ ） 若 犪 犮 犫 犪犮 犃 犆 ，求 角 犃 犆 内 ，我 们 称 犪狓 犫狔 犮狕 犱 犪 犫 犮 不 全 为 ） 为 平 面 的 一 般 式 方 程 （ ） 求 由 点 犃 ），犅 ），犆 ） 确 定 的 平 面 的 一 般 式 方 程 ；（ ） 证 明 狀 犪 犫 犮 ） 为 平 面 犪狓 犫狔 犮狕 犱 犪 犫 犮 不 全 为 ） 的 一 个 法 向 量 ；（ ） 若 平 面 的 一 般 式 方 程 为 犪狓 犫狔 犮狕 犱 犪 犫 犮 不 全 为 ），犘 狓 狔 狕 ） 为 平 面 外 一 点 ，求 点犘 到 平 面 的 距 离 学 习 数 学 领 悟 数 学

28、 秒 杀 数 学 （本 小 题 满 分 分 ） （本 小 题 满 分 分 ）狓狔犫 犪 犫 ），连 接 椭 圆 上 任 意 两 点 的 线 段 叫 作 椭 圆 的 弦 ，过 椭 圆 中 心 的 弦 叫 做 椭 圆 的犫犪 ，则 称 这 两 直 径 为 椭 圆 的 共 轭 直 径 特 别 地 ，若 一 条 直 径 所 在 的 斜 率 为 ，已 知 椭 圆 犆 ： 犪直 径 若 椭 圆 的 两 直 径 的 斜 率 之 积 为 某 制 药 公 司 研 制 了 一 款 针 对 某 种 病 毒 的 新 疫 苗 该 病 毒 一 般 通 过 病 鼠 与 白 鼠 之 间 的 接 触 传 染 ，现 有 狀 只 白 鼠 ，每 只 白 鼠 在 接 触 病 鼠 后 被 感 染 的 概 率 为，被 感 染 的 白 鼠 数 用 随 机 变 量 犡 表 示 ，假 设 每 只 白 鼠 是 否 被 感 染 之 间 相互 独 立 狓另 一 条 直 径 的 斜 率 不 存 在 时 ，也 称 这 两