8.1-8.2微分方程的概念

1、下周四11月20日的课程暂停，期末考试的时间延长到第14周周四（12月18日）晚上19：00-21：00，具体地点待定微分方程第八章8.1 微分方程的基本概念微分方程的概念一般地,含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.例如微分方程的概念常微分方程的一般形式是:其中为自变量,是未知函数,在方程中,必须出现,而其余变量可以不出现,微分方程中,其余变量都没有出现.能从方程中就得到微分方程例如在阶如果解出最高阶导数,以后我们讨论的微分方程主要是形如的微分方微分方程的概念以后我们

2、讨论的微分方程主要是形如的微分方微分方程的概念以后我们讨论的微分方程主要是形如的微分方程,并且假设式右端的函数在所讨论的范围内连续.如果方程可表示为如下形式:其中和知函数.不能表示成形如的方程,统称为非线性微分方程.均为自变量的已则称方程为阶线性微分方程.n例1 判断下列方程是否为线性方程， 并指出其 阶数微分方程解的概念代入微分方程能使微分方程成为恒等式的函数称为该微分方程的解.微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数.一般地,微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解.含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解(一般解).所谓通解的意思是指:当其

3、中的任意常数取遍所有实数时,就可以得到微分方程的所有解(至多有个别例外).注:这里所说的相互独立的任意常数,是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.微分方程解的概念许多实际问题要求寻找满足某些附加条件的解,这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数,这类附加条件称为初始条件,也称为定解条件.一般地,一阶微分方程的初始条件为其中都是已知常数.二阶微分方程的初始条件为微分方程解的概念二阶微分方程的初始条件为微分方程解的概念二阶微分方程的初始条件为带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题. 例如,一阶微分方程的初值问题,记为微分方程的解的图形是一条曲线,称为微分方程其中和 都是已知

4、常数.微分方程解的概念微分方程的解的图形是一条曲线,称为微分方程微分方程解的概念微分方程的解的图形是一条曲线,称为微分方程的积分曲线.初值问题的几何意义是:求微分方程的通过点的那条积分曲线.二阶微分方程的初值问题,记为其几何意义是:求微分方程的通过点且在该点处的切线斜率为的那条积分曲线.例2求曲线族满足的微分方程,其中为任意常数.例3验证函数是方程的通解,满足初始条件的特解.并求8.2 可分离变量的微分方程设有一阶微分方程如果其右端函数能分解成即有则称方程为可分离变量的微分方程,其中都是连续函数.根据这种方程的特点,我们可通过积分来求解.设用除方程的两端,用乘以方程的两端,以使得未知函数与自变

5、量置于等号的两边,得可分离变量的微分方程用乘以方程的两端,以使得未知函数与自变量置于等号的两边,得可分离变量的微分方程用乘以方程的两端,以使得未知函数与自变量置于等号的两边，得两边积分,得如果则易知也是方程的解.求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.上述例1求解微分方程的通解.例2求微分方程的通解.齐次方程1.形如的微分方程2.作变量代换则代入得可分离变量方程两边积分求出积分后,再将回代,便得所给齐次方程的通解.称为齐次方程.定义解法齐次方程求出积分后,再将回代,便得所给齐次方程的通解.齐次方程求出积分后,再将回代,便得所给齐次方程的通解.注:如果有使得则显然原方程的解,从而也是原方程的解;如果则原方程变成变量方程.也是这是一个可分离例3求微分方程满足初始条件的特解.例4求解微分方程参考习题数