历年自主招生试题分类汇编平面几何

1、历年自主招生试题分类汇编一一平面几何（2013年北约）如图，ABC中，AD为BC边上的中线，DM、DN分别为/ADB、/ADC的角平分线，试比较BM+CN与MN的大小关系，并说明理由.DANDANC解析延长ND至E,使ND=ED，连结BE、ME，则BEDCND,MEDMND,ME=MN,由BM+BEEM，得BM+CNMN.ANCEAFODACAFODAC题4（2012年北约）如果锐角.：ABC的外接圆圆心为O，求O到三角形三边的距离之比。解：如图，过O分别作BC,CA,AB的垂线，垂足为D,E,F,设OD=dOE=d2,OF二d3,OA=OB=OC=R由平几知识得BOC=2A,BOD=A,dR

2、cosA同理：d2=RcosB,d3=RcosC-d1:d2:d3=cosA:cosB:cosC即O到三角形三边的距离之比为对应边所对角的余弦之比。评析：本题叙述简洁，结论优美，入口较宽，解法多样，既能反映学生的读题能力和转化能力，又考查了学生的平几和三角等知识，是一道相当精彩的好题，为自主招生备考指明了方向。题8（2012年北约）求证：若圆内接五边形的每个角相等，则它为正五边形。AAAA解：如图，五边形ABCDE为LO内接五边形，延长AE,CD,DC,AB有两交点G,H，连接AC,.AED=.EDC,.GED=.GDEGE=GD/A,C,D,E在LO上.CAG=.GDE,.GCA=.GED.

3、/CAG=.GCA.GA=GC/.AE=CDAB=BC=CD=DE=EA,连结AD，同理可得AB=CD，从而AE=AB=CD,同样，延长BC,ED,BA,DE,AB=BC=CD=DE=EA,评析：本题是一道平面几何题，图形简单，背景公平，重点考查学生的推理论证和演绎能力,可贵的是有别于数学竞赛的平几题。（2011年北约）已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线的长【答案】x=4、.2【解】设另一条对角线的长度为X.由2（3252x262,解得x=4.2.求过抛物线y=：2x2-2x-1和y=-5x2x3的交点的直线方程.【解析】以正五边形一条边上的中点为原点，此边

4、所在的直线为【解析】以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为【解】联立两方程，消去x2,得6x7y-0.此方程即为所求2.（2010年北约）AB为边长为1的正五边形边上的点.证明：AB最长为521（25分）ABmax二R2P二R2Q由，知ABmax二R2P.不妨设为X.下面研究正五边形对角线的长.如右图做.EFG的角平分线FH交EG于H.易知.EFH=/HFG=/GFI=/IGF=/FGH.5于是四边形HGIF为平行四边形.HG=1.由角平分线定理知F解得x=-EF_x_1_EH由角平分线定理知F解得x=-FG一11一HG5、(2011年华约)如图，eO1和eO2外切于点C,eQ,eQ

5、又都和eO内切，切点分别为A,B设AOB二：，ACB二：，则()A、C、cos：sin02sin-cos02分析题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：O01O2边O1O2上一点C,O01、O02延长线上分别一点B，使得O1A=O1C,O2B=O2C0解法一：连接0Q2,C在O1O2上，贝y-00Q2OO2O1二-TOC o 1-5 h z11OJCOQA00102,O2BC=/O2CB00201，故22n-aOQAO2CB(00Q00201p2R*n+otRa(OQAO2CB),sincos022解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即

6、可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设n_a两个小圆的半径相等，贝y00102二.00202n-aTOC o 1-5 h zOQA=O2CB00Q：4nH+0(n0(-二-(OQAO2CB),sin：二cos0229、(2011年华约)如图，已知ABC的面积为2,D,E分别为边AB，边AC上的点，F为线段DE上一点，设ADAEX,ABAC值为（为线段DE上一点，设ADAEX,ABAC值为（)81014A、B、C、272727解：SbdfDFS-DESBDE=zSbde,-y，DFDE16D、27=z,且yz-x=1,且二BDF面积的最大BDSBDEABS.ABE=(X)SABE,AESABE

7、SABC二ySaBC,AC于是Sbdf=(1-x)yzSabc=2(1_x)yz。将yz-x=1,变形为yz=x1，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值12S时将x看成常数，欲使yz取得最大值12SbdF（1-x）x*，解这个一元函数的极值问题,6.（2010年华约）如图，“ABC的两条高线OF垂直BC于F,OH与AF相交于G,（A）1:4（B）1:3(C)2:5x+1必须y=z=,于是2116x时取极大值3o27AD,BE交于H则OFG与GAH面积之比为（A）（D）1:2，其外接圆圆心为O,过O作1、（2013年卓越联盟文）如图，AE是LO的切线，A是切点，AD_0E于点D,割线EC交O于B

8、、C两点，设NODC二:-,NDBC=1,贝U/OEC二（用_：:、：表示）.E答案：E答案：（8）（2012年卓越联盟）如图,AB是LO的直径，弦CD垂直AB于点M,E（8）（2012年卓越联盟）如图,线上一点，AB=10,CD=8,3ED=4OM,EF是LO的切线，F是切点，BF与CD相交于点G,（I）求线段EG的长；（H）连线DF,判断DF是否平行于AB，并证明你的结论。（注：根据解题需要，须将图形自行画在大题卡上。)、FOMDG、FOMDG解答：(I)如图，连接AF,CO，根据垂径定理知，M为CD的中点，所以CM=DM=4，所以OM=3，于是知ED=0M=4根据切割线定理知EFEDEC=412=48=EF=4.3,3而.EFG=/BAF=/EGD=/EGF，所以EG=EF=4.3.(H)若DF/AB，则DF_CD,CF为圆O的直径，从而CF=10.根据射影定理知，应该有：22.,CFCDCE=10812=100=9