选修第1课空间向量的有关概念与线性运算

1、选修第1课空间向量的有关概念与线性运算一、教学目标了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；2 .理解空间向量的线性运算及其性质.。二、基础知识回顾与梳理1、空间向量的有关概念空间向量：在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量；相等向量：方向相同且模相等的向量共线向量：表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；共面向量：能平移到同一平面内的向量.下列命题中是否正确（1 ）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 I- I-i- fc-（2）若I a |=| b |，则a, b的长度相等且方向相同或相反（3）若两个非零向量AB与CD满足AB + CD =0

2、，则AB CD【教学建议】本题主要是帮助学生复习、了解空间向量的有关概念。教学时，教师可让学生说明理由或举 出反例。结合本题，强调定义中的关键词：大小和方向。2、共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 TOC o 1-5 h z lr fr f FF共线向量定理：对空间任意两个向量a,b（a丰0）,b与a共线的充要条件是存在实数人，使b二人a ；共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数对*I3, ），使得 p = xa + yb ；空间向量基本定理：如果三个向量a,b,项共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x, y, z），使得

3、p = xa + yb + zc，把a,b,c叫做空间的一个基底；下列命题：r若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB + BC + CD + DA = 0;I a |-| b |=| a + b |是a、b共线的充 * fh- ir要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 OP = xOA + yOB + zOC （其中x、y、zER）则p、B 仁四点共面.其中不正确命题的个数【教学建议】本题主要是复习空间向量基本定理及其应用三、诊断练习1、教学处理：课前要求学生阅读课本选修2-1P - P完成教材习题P T , P T , P T，再完成诊断

4、练习737873 276 478 34道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及 主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时 要简洁，要点击要害。2、诊断练习点评 题 1：化简（AB - CD） - （AC - BD） =.答案：0【分析与点评】向量的加法、减法的三角形法则和平行四边形法则都需要共起点，首尾相接的向量相加 等于起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量【变式】：化简AF - BF - AC = .答案：CB （教材P73练习1第（2 ）小题）则OE =题2.已知空间四边形OABC中，D

5、是线段BC的中点，E是线段AD的中点，若向量OA = a,OB = b,OC 则OE =答案：；a + 了 b + 丁 c244 - 一 - 一 - 【分析与点评】利用平行四边形法则，表示出三角形一边上的中线对应的向量是基本方法。【变式】：已知空间四边形ABCD中，AB = a - 2c, CD = 5a + 6b - 8c ,对角线AC、BD的中点分别是P、Q，Q，则 PQ =fff答案 PQ = 3a + 3b - 5cD【分析与点评】(1 )用AB,CD表示PQ,关键是将三向量平移到一个三角形中D-A由于P、Q是中点，利用中点平移向量AB, CD .题3.如图，ABCD - ABCD是平

6、行六面体，给出下列命题: iiii(1) AC = AD + DC + CC ； (2) AC = AB + AD + AA AC = AC + CD + DC ； (4) AC = AB + B D + AA其中正确的命题个数有个答案：:3 . 1【分析与点评】(1)向量的加法、减法一般用三角形法则和平行四边形法则；(2 )首尾相接若干向量相加等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量可以认为是平面向量的 加法的平行四边形法则在空间的推广。题4 .在正方体ABCD - A1BCD1中，M,N分别是线段A1D, DC上的点，且AM = 3 A? D N = | DC,2 1 _则向量MN与向

7、量DA, DC之间的关系是. 答案：MN = -DA + -DC .【分析与点评】取叫的一个三等分点，运用三角形法则可解，也可用回路法，即：MN = ND + DC + CN . 总之，空间向量加减法的运算与平面向量完全类似.3、要点归纳一 (1 )在掌握向量加减法时首先应掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等 (2 )向量的减法可以转化为向量的加法，注意向量的三角形法则和平行四边形法则要点.对于向量加法用 平行四边形法则要求两向量共起点，运用三角形法则要求首尾顺次相接对于向量减法要求两向量共起点.(3 )平面向量的运算仅限于在它所在的平面内进行，空间向量的运算常常将研

8、究的向量进行平移，转化 为平面向量问题解决.BDC(4)空间向量的线性运算方法和思想是由平面向量的线性运算推广而来，空间向量的性质、运BDCA比平面向量的运算、性质.四、范例导析例1、如图所示，在平行六面体ABCD - ABCD中，P是CA的中点， 11111M是CD1的中点，N是CR的中点，点Q在CA1上，且CQ : QA1 = 4:1 设AB = a, AD = b, AA = c，用基底a,b,c宝示以下向量：(1) AP ； (2) AM ； ( 3 ) AN ；(4) AQ .【教学处理】本题是教材选修2-1习题3.1 P8T第(1 )题、第(2 )题可让学生板演，教师点评；第(3

9、X (4 )两题可提问学生，先交流讨论，再教师板书。点评或板书时，要示范解题步骤、方法.【引导分析与精讲建议】1、第(1X(2)题，AAAf, AACD1中，p、M分别是Af CR中点，利用平行四边形法则转化为平行 六面体面上的向量再化为棱上的向量运算.第(3 X第(4 )题分析时，先提出以下问题问题1 : AN , AQ如何与基底取得联系？问题2 : AN , AQ放在哪一个三角形中进行转化？问题3:能否用平行四边形法则？或首尾相接的空间多边形？不同路径得到的结果是否相同？为什么？【说明】：第（3）、（4）两题，在提出问题讨论交流后，教师可板书示范其中的一种解法，其它的解法可让学 生尝试练习

10、、板演后点评.D1B1例2：在三棱柱ABC - A1B1C1中，D是AC的中点，用向量证明：Ag II面CBD.D1B1【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评。也可在学生对解题方向遇到困难时，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。【引导分析与精讲建议】1、引导学生从共面向量的概念和定理出发寻找思路。强调并示范用向量证明线面平行的一般方法和解题步骤；2、本题在用向量证明后可以让学生尝试用综合法来证明，对两种方法进行比较.【变式】：设A,B, C及a b C分别是异面直线l,l上的三点，而M,N,P,Q分别是线段AA ,BA ,BB

11、,CC 1 1 11 21111的中点.求证：M,N,P,Q四点共面.【点评】：变式题中给出四点共面问题可化为三向量共面问题解决.根据空间向量共面的基本定理几何，结 合图形根据中点找到四点M,N,P,Q构成的三向量MN,NP,PQ之间的线性关系即可得证.例3已知矩形ABCD,P为平面ABCD外的一点，M, N分别为PC, PD上的点，且PM = 2MC, PN = ND. 求满足MN = xAB + yAD + zAP的实数x, y, z的值.【教学处理】要求学生独立读题并画出图形，引导学生思考：怎样将空间向量转化到一个个平面上的 向量去处理？【引导分析与精讲建议】1、容易表示出MN = AN

12、 - AM，这里的基底AP, AD, AB确定了三个平面，向量AN在平面APD内，一 1 1 1 2因而用平面向量基本定理可得AN = -AP + AD；向量AM在平面APC中，AM =-AP + AC,向*22*33DNCBC量AC在基底AD,AB确定的平面ABDp，因而回路接通。这里的表示，要突出空间向量是如何转化到 平面向量上去的.DNCBC2、* 案中提供的方法，可仿照上面的分析，引导学生作类似的转化.【备用题】已知ABCD - A1 B孔是平行六面体.，一.”一 12 （1）在图上标出式子2AA1+ BC + 3 AB的结果；（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCCB对角线BC

13、上3的分点，设MN = aAB +PAD+yAA试求a,P,y的值。41【教学处理】第（1）题可以让学生板演，教师点评作图依据.第二题从式子的特征、向量MN,AB,AD,AA1 位置关系入手弄清解题意图和解题方向，指导学生独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程。【引导分析与精讲建议】可提出以下问题与学生交流：问题1 ：式子mN=a aB+PaD+y A!表示什么含义？四个向量mN , aB, ad, aa1之间有什么关系？问题2 :由侦,P,Y的值确定吗？为什么？问题3 : MN向量如何利用三角形、平行四边形或空间多边形转化到AB,AD,俱?五、解题反思1、用已知向量表示未知向量一定要结合图形。以图形为依托指导解题是关键厂要熟练掌