高中数学易错易混易忘知识点总结

1、高中数学易错、易混、易忘知识点总结n错点一彳丁忽在空集基荏何菲空集否的子集导致恿维下全面二设 A x|x2 8x 15 0 , Bx|ax 10,设 A x|x2 8x 15 0 , B1 1综上满足条件的a组成的集合为0,1,13 5【练1】已知集合Ax|x2 4x 0、B22x | x 2 a 1 x a 1 0,右 B A,则实数a的取值范围是答案：a 1或a 1tl2 录解函数值域或箪词区而打磨视定义域正先而原画2 一2 一y的取值范围2 y2例2、已知 x 2 1,求x24答案：x2+y2的取值范围是1,2832 y 2 y b221 b 0上变化，则x 2 y的最大值为（x2【练2

2、】右动点（x, v）在曲线4匕24 0 b 4(A)42bb 4(B)b- 4 0 b 42bb 22(C)S 4 (D) 2b4答案：A【易错点3】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。1g 1 x2例5、判断函数 f（x） 的奇偶性。x 2 2解析：由函数的定义域为1,0 U 0,1定义域关于原点对称，在定义域下lg 1 x解析：由函数的定义域为1,0 U 0,1定义域关于原点对称，在定义域下f x 易证xf x f x即函数为奇函数1 x 小，1 1 x 小，1 sin x cosxJ f x - 1 x1 sin x cosx f x . 4 x2 x2 4

3、 f x x 1答案：既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数丁豆错舌4丁丁丽戢乳丽画薮的吊询衽妻灰兔双田爰注壹乐囊的康曲桂友丽三是爻城标先的原画厂b例7、试判断函数f x ax - a 0,b 0的单调性并给出证明。解析：由于f xf x即函数f x为奇函数，因此只需判断函数f x在0,上的单调xi, x20,【练0,答案:设x1ba在0,b为增函数。ab包一 和7】(1)x2b,0f x1fx1f x2x2axx2 bx 解析：由于f xf x即函数f x为奇函数，因此只需判断函数f x在0,上的单调xi, x20,【练0,答案:设x1ba在0,b为增函数。ab包一 和7】(1)x2b

4、,0f x1fx1f x2x2axx2 bx x2 于X x2 0 故当上为减函数。又由于函数为奇函数，故函综上所述：函数上分别为减函数.(潍坊市统考题)f x上的单调性。(2)设f x在0一，1(1)函数在 一a为增函数在axaxx/2b在a数在b和a上增函数，同理可证b,0 为减函数，在上分别为增函数，在0 (1)1的最小值为g a用单调性的定义判断函数f x在，求 y g a的解析式。0,1 a为减函数。(2) y1al a0 a 1错百5T在廨翘朝!落宓荽察脩作无芬家库最落厩示元芬耳示宓萋笑雨i祚壳妻打车西T尊致藉短一；结论。2【练8】函数y x bx C x 0,是是单调函数的充要条

5、件是()A、b 0 B、b 0G b 0d、b 0答案：A猫商-6f而i量萋示摹Mi怂辐向疝丽而而iSJi彳再而臬豆高藤示莓iS将莓耳而函!董!值是否在定义域限制范围之内。例 9、 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+1 )2+(b+1 )2 的最小值。 a b1 一 1 一一一 11211 一 1 一一 错斛：(a+ )2+(b+ )2=a2+b2+-2 +4 2ab+-+44. rab ? +4=8： (a+-)2+(b+)2 的取小值是a b a bab aba b8【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b22ab第一次等号成立的条件是 a=b=，第2二次等号

6、成立的条件 ab=,显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。ab22一11.11c 112解析：原式=a2+b2+ + 2+4=( a2+b2)+( + 2 )+4=(a+b)2-2ab+ ( +)2-+4a ba ba b ab1, 1, a b 2 1用=(1-2ab)(1 + )+4 由 ab&()2=- 得: HYPERLINK l bookmark26 o Current Document a2b2241- X 17+4=25 (当且仅当a=b=1时，等号成立 HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 2221111-1-2ab

7、- =- ,H 16 1+)17.原式2 2a2b2a2b2).-.(a+l)2+(b+l )2的最小值是 竺。a b2【知识归类点拔】 在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即工正、二定、三相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。rm1百7r在潺反指对画面叛时箪谑畦看芙同蔻可；屐宥根据桂庙援存芬类奇存s壹程而易翘略为璇画i数的真数的限制条件。【练1。】设a 0,且a 1试求函数y = log a (4 + 3x -x2)的的单调区间。3 一 .3 一 . . 3 ,一答案：当0 a 1,函数在 1,- 上单调递减在 -,4上单

8、调递增当a 1函数在 1,- 上单调222.3递增在 -4上单调递减。2，丁笏ii8 丁甬!站I法吊缠而葛惠嗝藐前后的琴汗性;一【练11】不等式Xax+_3的解集是(4,b),则a=, b =。2答案：a 1,b 36(提示令换元 & t原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为2氓)8：【易错点9】已知Sn求an时，易忽略n=l的情况.12、an前12、an前n项和sn且a11,an 1- sn。(1)求a2 ,a3 ,a4的值及数列 an的通项公式答案：该数列从第二项开始为等比数列故annn 2& n 1i【知识点归类点拔】对于数列an与sn之间有如下关系：an利用两者之间的关系snsn

9、1 n 2 TOC o 1-5 h z Ii|可以已知sn求an。但注意只有在当a1适合ansnsn 1n 2时两者才可以合并否则要写分段函数iII1的形式。1【练12】已知数列 an满足a1 = 1, an = a1 + 2a2 + 3a3 + + (n - 1)an 1 (n 2),则数列 an的通项答案：(将条件右端视为数列nan的前n-1项和利用公式法解答即可)ann!n 2if点一101利甬函数而强隶廨数列帝聂天顼反箭”n顽和最天值时-易忿略箕定义域限劄是定楚数集或真字一I集（从i开始） TOC o 1-5 h z 【练13】设an是等差数列，sn是前n项和，且S5S6，%S7S8，

10、则下列结论错误的是（）A、d 0b、a7 0 c、s9 号 d、$6和s均为sn的最大值。答案：C （提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）r-TBI点111廨答数列问题时段有绪否等IF等无数珂期E质廨客便葬题恿维夏荫或廨答过程繁顼:II二二二二.二- -22 -3一二二二:例14、已知关于的万程 x 3x a 0和x 3x b 0的四个根组成首项为一的等差数列，求4a b的值。【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如 何排列的。 TOC o 1-5 h z 3 5 7 9273531解析：根据等差

11、数列知识易知此等差数列为：327当故a 27b 35从而a b=32。44,4416 168imii12 T甬等比敌的录粕公式录时:U忿略公兀-丁二丁的情猊- 【练15（2005高考全国卷一第一问）设等比数列an的公比为q,前n项和sn 0 （1）求q的取值范围。答案： 1,0 U 0,1易不ti-13 i茬薮利录而不好录二等!我列写二号正激词的枳两版函薮可函前n反而示左乘甬错顼相丽家:1II或解答结果不到位。【练 16】已知 Un =an + an 1b + an 2b2 + + abn 1 + bn n N ,a 0,b 0 ,当 a b 时，求数列an的前n项和sn答案:sn2a答案:s

12、n2a当a 1时sni【易错点14】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法,i【易错点14】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法,在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的i规律不清，导致多项或少项。例17、求Sn答案:2n【练17（2005济南统考）求和Sn4242十 十答案:2n【练17（2005济南统考）求和Sn4242十 十(2n)(2n)答案：Sn2n2n 12n 12n 1i【易错点15】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。【练18(1)(2000全国)已知数列cn淇中Cn2n3n，且数列Cn1pCn为等比数列.求常数p答案：p=2或

13、p=3 (提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于 p的方程，再说明p值对任意自然数n 都成立)彳易错点一彳6T用判别式判定方程解的不数%或交点的不数厂时:易领略讨论三次项的票数是否为五一无箕 k是直线与圆锥曲线相交时更易忽略.I22,例19、已知双曲线x y 4 ,直线y k x 1 ,讨论直线与双曲线公共点的个数综上知当k 1或综上知当k 1或k2.3时直线与双曲线只有一个交点，当2 32 3,/k 一且k1。时 HYPERLINK l bookmark88 o Current Document 332 32 3直线与双曲线有两个父点，当 k 、或k二_时方程组无解此时直线与双曲线

14、无交点。33【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应 于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法 的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但 只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分 条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。【练19(1)已知双曲线C:,过点P (1,1)作直线1,使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件2的直线1共有 条。答案：4条(可知ki

15、存在时，令1: y-1=k(x-1)代入x21中整理有4(4-k2)x2+2k(k-1)x-5(1-k2)-4=0,.-.当4-k2=0即k=时，有一个公共点；当 k，iM,由=府k 一，有一个切点另：当 kl不存在2时，x=1也和曲线CW一个切点：综上，共有 4条满足条件的直线)【易错点17】易遗忘关于sin 和cos 齐次式的处理方法。cos sin.22例 20、已知 tan 42 ,求(1)； (2) sin sin .cos 2cos 的值.cos sin易错舌一彳8f箪仓直市的三馅画薮访葡懒币二万面孽军面对它知浜逋总厂应再煮浜示福勇二方面易蒋 i角的三角函数值所对应的三角函数线与线

16、段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。丽21、下列命应正一储而是()A、都是第二象限角，若 sinA、都是第二象限角，若 sinsin ,则 tan tanb、都是第三象限角，若cos cos ,贝cos cos ,贝U sin sin o都是第四象限角，若 sin sin ,则tan tan dtan tan d、都是第一象限角，若 cos cos ,则sin sin解析：a、解析：a、由三角函数易知此时角的正切线的数量比角的正切线的数量要小即 tantanb、同理可知sin sinc、知满足条件的角的正切线的数量比角的正切线的数量要大即tantan 。tantan 。正确。D、同理可知应

17、为sinsini葛籍方一彳9 丁茬前甬三 1面薮而S豪灸摄币的甬崩芟疾而漏血丧疾廨题肝易蒋例23.要得到函数例23.要得到函数y sin 2x 的图象，只需将函数 3,1 “一，y sin - x的图象()2A、先将每个x值扩大到原来的4倍,y值不变，再向右平移一个单位。3B、先将每个x值缩小到原来的1倍,4y值不变，再向左平移一个单位。3CA、先将每个x值扩大到原来的4倍,y值不变，再向右平移一个单位。3B、先将每个x值缩小到原来的1倍,4y值不变，再向左平移一个单位。3C、先把每个x值扩大到原来的4倍,y值不变，再向左平移个单位。6D、先把每个x值缩小到原来的1倍,4y值不变，再向右平移一

18、个单位。6易错点一一20】一段有挖掘题 1 一甲的确隐杳票件厂忿视对甬的范围的限制而造成增廨现象丁例24、已知0,cos 套求tan的值。解析：据已知sincos 一 13(1)有 2sin cos1201690,sin0,cos例24、已知0,cos 套求tan的值。解析：据已知sincos 一 13(1)有 2sin cos1201690,sin0,cos0,从而sincos 0即 sincos, 1 2sin cos17 .(2)13联立（1）（2）可得sin12,cos 13,可得tan1312f豆,H2i根搪巨漏案科新1菌前天下:没看逼近福兔南的三蕾函薮值语录i的壹送戢福蔻福函三菌画

19、 |数名称不适当造成错解。例25、若sin,5 .一，sin5辽且10均为锐角，求的值。解析：由sin工5.一例25、若sin,5 .一，sin5辽且10均为锐角，求的值。解析：由sin工5.一，sin5且且10均为锐角知解析：由sin5 .一，sin5-10 口且10均为锐角知cos2.5,cos5标,则cos102.553.10510二由102均为锐角即0,均为锐角即0,【易错点22】对正弦型函数【易错点22】对正弦型函数y Asin x及余弦型函数y Acos x的性质：如图象、|对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。例26、如果函数y sin 2x a cos2x的图象关于直线

20、x 一对称，那么a等于（8A. - 2 B.- -2C.1 D.-1【易错点分析】函数【易错点分析】函数y Asin x的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底，且与y轴平行，而对称中心是图象与x轴的交点，学生对函数的对称性不理解误认为当X 时，y=0,导致解答出错。8,故y,故y的最大值为va21 ，依题意,sin 一 a cos 一44解析：（法一）函数的解析式可化为 y Oa1sin 2x直线x一是函数的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值点即8Oa1 ,解得a 1.故选d（法二）若函数关于直线x是函数的对不则必有 f 08f ,代入即得a 14）上R上的偶函数, TOC o 1-5 h z

21、 【练26（1） （2003年高考江苏卷18）已知函数f（x） sin（ x ）（0,0）上R上的偶函数,一.，3其图象关于点 M（3_,0）对称，且在区间0,万上是单调函数，求和3的值.答案： 一, 一或2。 HYPERLINK l bookmark84 o Current Document 2334（2） （ 2005全国 卷一第17题第一问）设函数的f x34y f x图象的一条对称轴是直线 x 一，求 答案: 8舌一23 i而录通1派还蹄三话吊而若巨而三宿隹丽丽获箕二五而百宿瓣三宿隹府厂易惠雨三1瓶 j解的个数。例 27、在 ABC 中，B 30 , AB 213；AC 2。求 ABC

22、 的面积解析：故相应的三角形面积为 s 1 253 2 sin30J3或1 2由2 273.22【知识点归类点拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能句解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角，这是由于正弦函数在在区间0,内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如：在ABC中,已知a,b和A解的情况如下：（1） 当A为锐角（2）若A为直角或钝角【练27】如果满足 ABC 60 , AC 2, BCk的三角形恰

23、有一个，那么k的取值范围是（）A、8百B、0 k 12c、k 12d、0 k 12或 k 8J3答案：Drmf点一24:香蓼芬式不等式函解法;易对分类讨论的标相瓯不灌芬奥讨论法布i环不不漏的百的 I例29、解关于x的不等式a（x 1）1（aw1）.x 2【易错点分析】将不等式化为关于 x的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论，导致错解。a 2a 2解：综上所述：当 a1时解集为（一8, ）u（2, +8）；当0V a 1时，解集为（2, ）;当a=0a 1a 1时，解集为 ；当a0时，解集为（92, 2）.a 1if点一251未函薮的三叉域写录函装值域错！【练30】已知函数f x1x

24、22 a 1 x2的定义域和值域分别为 R试分别确定满足条件的a的取值范围。答案：（1）a 1或a 33 a 1或a 1褚百一261一利再函薮的函单而I杨遥示琴芙索;夏雨确函薮丽箪词性或箪词区面及是叉域限劄;2例33、记f x ax bx c,若不等式f x 0的解集为1,3 ,试解关于t的不等式f t 8 f 2 t2。解析：不等式的解为：3 t 3。【练33（1）设函数f x 2|x 1| |x1|，求使f x翔2/2的x取值范围3答案：x取值范围是2,）4丁豆错百一27T通友向基西看吴确怒法胃可知!手写应甬豆产王布惹召蔽;例35、下列命题:(a)2(a)2 (a)2 |a(a b) c(

25、a c) b | a b |=| a | | b | 若 a / b , b / c ,则 a/ c/ ca / b ,则存在唯一实数 N使ba 若a c bc,且c-，则ab设e1 ,e2是平面内两向量，则对于平面内任何一向量a ,是平面内两向量，则对于平面内任何一向量a ,都存在唯一一组实数x、y,使axe1 ye2成立。若| a +b |=| a b |则a b =0。a b =0,则a = 0或b = 0真命题个数为()A. 1B. 2C. 3A. 1B. 2C. 3D. 3个以上答案：B答案：B一【!髓ii28 i莉甬而反而笳涂藏i：薮而得运算的元行S逊S氤花塞而壹浜示函痴IiS帛

26、条件。DA = d，且 ab = b 气cd=d -a ,例 36、四边形 ABCD 中，AB = a , BC DA = d，且 ab = b 气cd=d -a ,试问四边形ABCD是什么图形？解：四边形ABCD是矩形【练36（1） （2003高考江苏）O是平面上一定点，A、B C是平面上不共线的三个点，动点 P满足AB ACOP OA AB ACOP OA (|AB| |AC|0）则P的轨迹一定通过 4ABC的D.垂心满足 OA OB OB OC OC OA ,（B）三条边的垂直平分线的交点（D）D.垂心满足 OA OB OB OC OC OA ,（B）三条边的垂直平分线的交点（D）三条高

27、的交点（2） （2005全国卷文科）点O是三角形ABC所在平面内的一点, 则点O是ABC的（）（A）三个内角的角平分线的交点 （C）三条中线的交点答案：（1） B （2） D】 易错点一291葱视向量和定双币对两向量荚i帝定义厂uur uuu例 37、已知 ABC 中，a 5,b 8,c 7,求 BC?CAuuur uuu答案：故据数量积的定义知 BC ?CA 5 8 cos120 20.【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少，在学习过程中要明确它们的概念及取值范围，如直线的倾斜角的取值范围是 0,180 ，两直线的夹角的范围是0,90 ，两向量的夹角的范围是0,180异面直线所成的角的范

28、围是0 ,90 ,直线和平面所成的角的范围是0 ,90 二面角的取值范围是0 ,180 。彳豆!看一30三毛囱形的截面而姮二例56、正方体ABCD-AB1C1D1 , E、F分别是AAi、CCi的中点，p是CCi上的动点（包括端点）过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则 P的轨迹是（）A、线段CiFB、线段CF G线段CF和一点CiD、线段CiF和一点Co答案：选C【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对 平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中 阶段对作截面的方法无非有如下两种：一

29、种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面 内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点 为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点 都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系

30、，然后根据性质作 出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。【练56（1）（2005高考全国卷二）正方体ABCTAi Bi CiDi中，P、Q、R、分另U是【练56（1）（2005高考全国卷二）正方体ABCTAi Bi CiDi中，P、Q、R、分另U是AB、AD、Bi Ci的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形 答案：D（2）在正三棱柱ABC-AB1cl中，P、Q、R分别是BC、CQ、AG的中点，作出过三点P、Q、R截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。答案：五边形:【易错点3i】判断过空间一点与两异面直线成相等的角的直线的条数-J例57、

31、（93全国考试）如果异面直线 a、b所在的角为50 ,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30的直线有几条?A、一条B二条C三条D四条解析：如图，过点p分别作a、b的平行线a、b，则a、b所成的角也为50 ,即过点P与a、b成相等的角的直线必与异面直线 a、b成相等的角，由于过点p的直线l与a、b成相等的角故这样的直线 l在a、b 确定的平面的射影在其角平分线上，则此时必有cos APBcos APO cos OPB 当 cos APOcos30cos25时，有 cos APOcos30cos250,i ,此时这样的直线存在且有两条当BPC i30 时，有cos APOcos30cos

32、 65i这样的直线不存在。故选 B【练57】如果异面直线a、b所在的角为i00 ,P为空间一定点，则过点 P与a、b所成的角都是50的直线有几条？A、一条B二条C三条D四条 答案：C【易错点32】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”，容易导致证明过程跨步太大。例59、如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，m、n、P分别是CC, B1ci,CiDi的中点，面求证：平面 MNP/平面 ABD面【易错点分析】本题容易证得MN/ AD,MPBD ,而直接由此得出MNP 面ABD解析：连结 BiDi,BiC,Q P,N 分别是 Di

33、Ci, BiCi 的中点， PN / Bi Di, Bi Di / BD , PN / BD又PN 面ABD, PN 平面AiBD同理：MN 平面ABD,又PN I MN N平面DMN /平面ABD。【知识点归类点拨】个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问 题，即线面平行则面面平行”，必须注意这里的 线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面，定 理中的条件缺一不可。【练59】正方体ABCD AB1c1D1中，（1） M, N分别是棱AB1,AD1的D, _ c中点，E、F分别是棱BC1,C1D1的中点，求证：E、F、B、D共面；/X平面AMN/平面EF

34、DBD平面AB1 D1 /平面C1 BD证明：（1）Q EF / BiDi, B1D1 / BD EF / BD,则 E、F、B、D共面。易证：MN/EF,设 AC1I MN P, AC1 I EF Q, AC I BD OQ PQ / AO,PQ AO PA / OQ 平面 AMN / 平面 EFDB连结 AC, Q ABCD AB1C1D1 为正方体，AC DBQAA1 平面ABCD, A1C BD ,同理可证ACBC1于是得AC 平面C1BD,同理可证AC 平面ABD1面ABD 面CiBD【易错点33】求异面直线所成的角，若所成角为900 ,容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要方

35、法。例60、（2001全国9）在三棱柱ABC ABG中，若AB &BB ,则AB1与C1B所成角的大小为（）A、600 B、900 C、1050 D、750【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角, 如900时，可以采用证明垂直的方法来求之。【练60（2005年浙江12）设M, N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE AD于E （如图），现将 ADE沿DE折起，使二面角A DE B为45,此时点A在平面bcde内的射影恰为点B,则M, N的连线与AE所成的角的 大小等于。解析：易知 AEB 450, ABE 900, AB BE 取 ae 中点 Q ,连