高中数学圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用

1、圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应 用，与大家交流。定理1?已知点F是离心率为白的圆锥曲线C的焦点，过点F的弦刃3与二的焦点所在衿日二3的轴的夹角为巴且州=根讥无之D。（1）当焦点尸内分弦时，有见十1 ; （2）m

2、gs日=+1当焦点甘外分弦工3时（此时曲线为双曲线），有兄T。证明？设直线）是焦点F所对应的准线，点43在直线1上的射影分别为A，用，点刀在AFBF三目二直线眼上的射影为旭。由圆锥曲线的统一定义得，明四，又加=/竭让1）,所以所以?当焦点产内分弦AB时ABF BF如图1,8S日二匚oh建如图1,8S日二匚oh建48二型J一3用Hk十名Fa+DE 尸 寅 a-D八十1。?当焦点产外分弦上B时（此时曲线为双曲线）如图2,cos 如图2,cos 3 二 cos 乙MAB =二 +竭=AB AF-BF建F丝国十二一兄十1X+1- R COK & -（用1川a-D ,所以 1图2评注？特别要注意焦点外分

3、焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。C:三一匚=1匕。力0）例1（ 2009年高考全国卷II理科题）已知双曲线 金 6的右焦点为严，过严且斜率为右的直线交U于两点。若依=4，则D的离心率为（）一 16厂e cos 60 = & =解？这里尢=匕领日=，所以日二6。口，又乩=4，代入公式得4十1 ,所以 5 ,故选工。C7- +- 1（d 8 0）例2 （2010年高考全国卷II理科第12题）已知椭圆出 匕的离心率为小 _ _工。过右焦点且斜率为封匕. ）的直线于C相交于两点，若丽=3诟，则上=（?）S COS & 解？这里N =3 ,2 ,设直线工B

4、的倾斜角为8 ,代入公式得22 ,所以cos6 =的,所以上=tmH =，2 ,故选8。例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线炉=2沙8。）的焦点F作倾斜角为3仃的M =直线，与抛物线交于乂田两点（点工在尸轴左侧），则有仔3 图3解 如图3,由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角色二6,当点工在尸轴左侧时,网54-1阳1 /I a 1C0S qQ = I -设四 ，又岑=1,代入公式得N十1 ,解得为=3 ,所以叼 M例4 （2010年高考全国卷I理科第16题）已知F是椭圆U的一个焦点，田是短轴的一个端点，线段方刃的延长线交二于点口，且丽二2而，则口的离心率为COS 0 = = g解？设直线

5、不。与焦点所在的轴的夹角为日，则 BF & ，又且=2 ,代入公式得 一 3,所以一 TOC o 1-5 h z 二-乙二13）。3:0）例5 （自编题）已知双曲线 的离心率为3 ,过左焦点广且斜率为。的直线交D的两支于48两点。若|瓦4| 二 3忸|,则亡=地鼻+1& = 曰 =解？这里3 , = 3,因直线上B与左右两支相交，故应选择公式,砧用/+1 日一#1一_ COS 8 _COS g 太E3H 一 _代入公式得33-1,所以 2所以H=为所以3 0定理2?已知点F和直线上是离心率为它的圆锥曲线仃的焦点和对应准线，焦准距(焦点 到对应准线的距离)为尸。过点F的弦与曲线D的焦点所在的轴的

6、夹角为式日e(030r),AB 二 则有证明？设点儿昆尸在准线上上的射影分别为A风H，过点尸作轴况V的垂线交直线AF 网=田=于点次，交直线3用于点M。由圆锥曲线的统一定义得，陶 所以AP = SBF=B(1)当焦点F内分弦力时。如图4,=刑十 |wg=,忸/| = |用M-网”-网3日。网4(p+网g网网=央-附m电所以较长焦半径阳二工，较短焦半径平1+/ Ct 所以较长焦半径阳二工，较短焦半径平1+/ Ct 9AB所以= 11+ 忸可=一丝一 4-一丝一= 1 一口8客61十者8客02ep1 32 cos2 &(2)当焦点F外分弦且3时(此时曲线为双曲线)如图5,如图5,所以所以AF=e

7、(AFcqs&- P BF = e(p-F |cos &)所以较长焦半径I I0P较短焦半径所以叩G COS+1综合（所以较长焦半径I I0P较短焦半径所以叩G COS+1综合（1）71= I= *（2）知，较长焦半径 卜宓3日,较短焦半径1十息白。焦点弦的弦长公式为特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距声就是径之半，较长焦半径网二一已网二一已1-cqs6 ,较短焦半径-网二1十80焦点弦的弦长公式为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为11211 2cos日r +,注？由上可得，当焦点下内分弦便时，有加I即 吵忸可31p o当112_ J_ 1 2cos 6焦点户外分弦工F时，有叫M加印

8、广网尸0例6 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线/= 2中双芦。）的焦点尸作倾斜角为4y的直线，交抛物线于两点，若线段3的长为8,则户二解？由抛物线焦点弦的弦长公式为网二勿 解？由抛物线焦点弦的弦长公式为网二勿 g疝力451 ，解得r = 2a 二+= 1（2 A 0）_例7 （2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆口 b的右焦点为产， 经过户且倾斜角为60的直线,与椭圆相交于不同两点乩3,已知万=2而（1）求椭圆的离心率；（2）（1）求椭圆的离心率；（2）若AB= 4 ,求椭圆方程。解？ （1）这里日二 50兄=2,由定理1的公式得2e = -,d = 2e = -,d = 6

9、0 AB(2)将 3154，代入焦点弦的弦长公式得,l-(1):cosa6Ci 455,/5/5P二一c二一a 八。官即 二2,所以2（ y）二8,又设二2七”业，代入得上=1 ,所以2所以2口与，所以/二次一i=5 ,故所求椭圆方程为9例8 （2007年重庆卷第16题）过双曲线一/二的右焦点f作倾斜角为10挈的直线, 交双曲线于HQ两点，则附闷的值为FPFQ =解？易知义口均在右支上，因为=&=21=道,离心率居二我，点准距 7 因倾斜角为1U竽，所以6 = 7。FPFQ =1+穹1- cos26l-2s7- l-Q+ccslSCT) （由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线炉一炉=4的右

10、焦点F作倾斜角为二。.的直线，交双曲线于尸值两点，则附卜闷的值为_J2解？因为,离心率总=陋，点准距2=1=,因倾斜角为150;所以 m 注意到f，Q分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，I叫忸口卜%型= A- = 8近住日一1 3。，日+1 e cos3 9- 1 2cos3 30 -1 o例10? (2007年高考全国卷I )如图6,已知椭圆3.2 1的左、右焦点分别为国用， 过E的直线交椭圆于瓦刀两点，过外的直线交椭圆于凡仃两点，且力C_LD 0求四边形面 积的最小值。解？由方程可知，”43-72 解？由方程可知，”43-72 ,则 由=2白 。设直线方。与x轴的夹角为白，因为乂C3。，所以直线曲7与x轴的夹角为90.一日。代入弦长公式得,即二T g 3-d 日即二T g 3-d 日,AC =2ep4j3l-/gl(9(TY) 九故四边形的面积为,249625249625(3-cos3 &)(?- s