集合重点难点易错题完整版

1、集合与简易逻辑(重点、易错点) TOC o 1-5 h z 集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如(1)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合 P+Q=a b|a P,b Q,若P 0,2,5 , Q 1,2,6,则P+Q中元素的有 个。(答：8)设U (x,y)|x R,y R , A (x,y)|2x y m 0 , B (x,y)|x y n 0,那么点P(2,3) A (CuB)的充要条件是 (答：m 1,n 5); 非空集合S 1,2,3,4,5,且满足“若aS,则6a S，这样的S共有_ _ 个 (答：7)遇到A。B 时，你是否注意到“极端

2、”情况： A或B ；同样当A B时，你是否忘记 A的情形？ 4占意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合 A x | ax 1 0 , Bx|x2 3x 2 0 ,且 aUb b ,则实数 a =(答：a 0,1,：)已知集合 A=x|x 2+(m+2)x + 1=0,x C R,若 AC R =,则实数 m的取值范围是 .(答：m* 4)对于含有n个元素的有限集合 M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n, 2n 1, 2n 1,四.(答:7) A BCUA CU B ；四.(答:7) A BCUA CU B ；B； CU(AB) CU A J CU B ；4,

3、 (CUA) (CUB) 1,5 MA= ,(答：A 2,3 , B 2,4)集合的运算性质：， a|Jb A B A； A0B B B A； A g B AB； Cu A B U A Cu(a|Jb) CU ApCUB .如：(1)设全集 U 1,2,3,4,5,若 A B 2 , (CUA) BB=(2) 设全集 U=x|0 x10,x GN*,若 An B=3, An CuB=1, 5, 7, CUAP C uB=9,则集合 A B是 (2) 设全集 U=x|0 x10,x GN*,五.研究集合问题，一定要理解集合的意义一一抓住集合的代表元素。如：x| y lgx 函数的定义域；y |

4、y lg x 函数的值域；(x, y)|y lg x 函数图象上的点集，如(1)设集合 M x|y Jx 2,集合 N= y| y x2,x M ，则 M，N (答：4,)；(2)设集合 M a|a (1,2)(3,4), R , N(2,3)(4,5), R,则 M N (答：( 2, 2)六.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：(1)已知函数f(x) 4x2 2( p 2)x 2p2 p 1在区间1,1上至少存在一个实数 c,使f(c) 0,求实 3 数p的取值范围。(答：(3,

5、-)(2)已知集合 P= x |4 x5, xCR, Q= x|k +1x2 且 kw3)七.集合语言的转化：由于数学语言的抽象性，有些探索性问题的题设表述不易理解，在解题时若能积极地考虑题设中数或式的几何意义所体现的内在联系，巧妙地转换思维角度，将有利于问题的解决。如：设集合A 如：设集合A (x, y)1y2x 1, B (x, y)|4x 2x 2y 5 0, C (x, y) | y kx b,问是否存在自然数k,b,使(A B) C，试证明你的结论。(答：b=2, k=1)八.复合命题真假的判断。“ 或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“ 且命题”的真假特点是“一假即 假，要

6、真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如：在下列说法中：“ p且q”为真是“ p或q”为真的充分不必要条件；“ p且q”为假是“ p或q”为真的充分不必要条件；“ p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件；“非p”为真是“ p且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是(答：)九.四种命题及其相互关系 。若原命题是“若 p则q”，则逆命题为“若 q则p ；否命题为“若p则q逆否命题为“若q则p”。提醒：(1)互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题 与逆命题、否命题都不等价；(2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或

7、即且，非且即或”；(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题 的结论否定；(4)对于条件或结论是不等关系或否定式白命题，一般利用等价关系“ ABBA”判断其真假，这也是反 证法的理论依据。(5)哪些命题宜用反证法？如：(1) “在 ABC,若/ C=9C0,则/ A、/ B都是锐角”的否命题为 (答：在 ABC中，若 C 90：,则 A, B不都是锐角)；x 2(2)已知函数f(x) ax t一，a 1,证明方程f(x) 0没有负数根。x 1十.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾)，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论

8、可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若 A B ,则A是B的充分条件；若 B A, 则A是B的必要条件；若 A=B则A是B的充要条件。如：(1)给出下列命题： 实数a 0是直线ax 2y 1与2ax 2y 3平行的充要条件；若a, b R, ab 0是a b a b成立的充要条件； 已知x, y R , “若xy 0 ,则x 0或y 0”的逆否命题是“若 x 0或y 0则xy 0 ” ；“若a和b都是偶数，则a b是偶数”的否命题是假命题。其中正确命题的序号是 (答：)；(2)设命题p：|4x 3| 1;命题q:x1(答：当a 0时，x 1；当a 01(答：当a 0时，x

9、1；当a 0时，x 1或x ；当0 a 1时，1 x ；当a 1时，xaa， 一 1当a 1时，一1实数a的取值范围是(答：0 -)，2十一.一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b的形式，若a 0,则b . 一 , bx 一；若a 0,则x ；若a 0,则当b 0时，x R；当b 0时，x 。如 aa1已知关于x的不等式(a b)x (2 a 3b) 0的解集为(，一)，则关于x的不等式(a 3b)x (b 2a) 0 3的解集为(答：x|x 3)十二.一元二次不等式的解集(联系图象)。尤其当 0和0时的解集你会正确表示吗？设 a 0,为，*2是方程ax2

10、 bx c 0的两实根，且为 x2,则其解集如下表：2,cax bx c 02,cax bx c 02,ax bx c 02,ax bx c 00 x | x x1或 x x2x | x x1或 x x2x | x1 x x2x | x1xx20 x|x2aRx|x2a0RR如解关于x的不等式：ax2 (a 1)x 1 0。十三.对于方程 ax2b2十三.对于方程 ax2b2 4ac如：(1) a 2bx c 0有实数解的问题。0。对于多项式方程、不等式、x2 2 a 2 x 1 0 对一切首先要讨论最高次项系数 a是否为0,其次若a 0 ,则一定有 函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同

11、样的情形？x R恒成立，则a的取值范围是(答:(1,2);(2)关于x的方程f (x) k有解的条件是什么？(答：k D,其中D为f(x)的值域)，特别地，若在十四.0,内有两个不等的实根满足等式cos2xJ3sin 2x k 1,则实数k十四.0,内有两个不等的实根满足等式cos2xJ3sin 2x k 1,则实数k的范围是二次方程根的分布理论。方程f(x)2.ax bxc 0( a(答：0,1)0)在(k,)上有两根、在(m,n)上有两根、,k)和(k,)上各有一根的充要条件分别是什么?(a0)(f(k)2af(m)f(n)m 2a(a0)(f(k)2af(m)f(n)m 2a、f (k)

12、 0)。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间m, n根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间m, n讨论方程f (x) 0有实数解的情况,(m,n)上实根分布的情况，得出结果，再令x n和x m检查端点的情况.可先利用在开区间如 实系数方程x2如 实系数方程x2 ax 2b 0的一根大于0且小于1,另一根大于1且小于2,的取值范围“1(答：(一，1)4五.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程式ax2五.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程式ax2 bx c 0( 0)的解集的端点值，也是二次函数y ax2ax2 bxbx c的图象与0的两个根

13、即为二次不等 x轴的交点的横坐标。，一 一，一 一，、 一 3如(1)不等式 Jx ax 一的解集是(4, b)-Ua =2(2)若关于x的不等式ax2 bx c 0的解集为(，m) (n,),其中m0 ,则关于x的不等式 cx2 bx a0的解集为(答：(1,)； n(3)式 cx2 bx a0的解集为(答：(1,)； n(3)不等式3x22bx1,2恒成立，则实数b的取值范围是(4)已知集合Ax|y| y22x 3,x A , C z|z x ,x，且C范围.A(5)已知集合A IB R, A Bx32x 3 0,B2 范围.A(5)已知集合A IB R, A Bx32x 3 0,B2 x

14、 x axB R,A； B x 3 x 4的值。1(答：一a 3)2a=-3,b=-4.)集合(难点-集合思想及应用)集合(难点-集合思想及应用)的取值范围.的取值范围.bC N,使得(AU B)A难点磁场已知集合 A=( x,y)|x2+mxy+2=0, B=( x,y)|x-y+1=0，且 0WxW 2,如果 An Bw，求实数案例探究例 1设 A=(x,y)|y2x1=0, B=( x,y)|4x2+2x2y+5=0, C=(x,y)|y=kx+b,是否存在 k、C二,证明此结论例2向50名学生调查对 A、B两事件的态度，有如下结果：赞成 A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的

15、比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对 A、B都不赞成的学生数比对 A、B都赞成的学生数的 三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？锦囊妙计.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合x|xC P,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质 P;要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A B,则有A= 或AW 两种可能，此时应分类讨论 .难点训练一、选择题kxkkxk.集合“=*万 ,k Z, N= x|x= 5,kCZ,则（A

16、. M = NB.M& NC.M=N.已知集合 A=x|2WxW7, B=x|m+1x2m1且 BwA. -3 m4B.-3m4二、填空题.已知集合A=xC R|ax2-3x+2=0,a R,若A中元素至多有D.M n N =，若 AU B=A,则（）C.2Vm41个，则a的取值范围是D.20,b0,当 AC B 只有一个兀素时，a,b 的关系式是 .a b三、解答题.集合 A=x|x2ax+a219=0, B=x|log2(x25x+8)=1 , C=x|x2+2x8=0,求当 a 取什么实数时，APB M 和 aa c= 同时成立.已知an是等差数列，d为公差且不为 0, a1和d均为实数

17、，它的前 n项和记作Sn,设集合A=( an,-Sn-)|n n（0, 1内，从而方当mW 1时，由Xi+x2= （m1）0及xix2=10知，方程只有正根，且必有一根在区间 程至少有一个根在区间0, （0, 1内，从而方故所求m的取值范围是 mW1.歼灭难点训练、1.解析：对 M 将 k 分成两类：k=2n 或 k=2n+1(n C Z),M=x|x=n n+ ,n C Z Ux|x= n n + -,n 6 Z,对 N 将 k 分成四类，k=4n 或 k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(nC Z),N= x|x=n n + ，nC Z U x|x=n n + ,n424 Z U x|

18、x=n n + n，n C Z U x|x=n n + ,nC Z.4答案：C2答案：C2.解析：.AUB=A, B A,又 Bw2m27 即 2m 98x y ab-2 . 24.解析：由APB只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线- -=1相切，则1= 1f ，即ab= V a b .a ba2 b2答案：ab= a2 b2三、5.解：10g2(x25x+8)=1,由此得 x2 5x+8=2, . B=2,3.由 x2+2x 8=0, . . C=2, 4,又 A n C= , . 2 和，即 An BW4都不是关于 x的方程x2ax+a219=0的解，而A A B ，即 An BW，3是关于x的方程x2ax+a219=0的解，可得 a=5或a=2.当 a=5 当 a=5 时，得人=2, 3, .-An C=2,这与 AAC=5,符合 AAC= , APB /，a= 2.不符合，所以a=5（舍去）；当a=2时，可以求得A=3 ,6.解：（1）6