过抛物线焦点弦端点的切线的探究

1、课题过抛物线焦点弦端点的切线的探究授课时间2008年3月24日授课教师牛文化授课班级高三(4)班教学目标1、掌握抛物线的图像和性质，巩固圆锥曲线中常见的垂直的证明方法，增强学生解决综合性问题 的信心.教学目标2、通过学生的研究讨论，发挥学生自主学习的能动性，提高学生分析问题、解决问题的能力.培 养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力.3、通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，养成实事 求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度重点与抛物线焦点弦有关的垂直关系和证明及应用.难点与抛物线焦点弦有关的垂直关系的证明和应用.教学教师活动学生活动

2、设计意图一、课前回顾与反思前面我们研究了过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，过 这两点的切线的交点的轨迹问题.首先请一名同学回忆一下研究的过程和结果.研究过程为：已知：如图1，设抛物线为X = 2py(p 0)，焦点为F，过 点F的直线与抛物线相交于A、 B两点，过A、 B的切线相交于 点P，求点P的轨迹.学生回忆回忆研究 的过程，从 中体会研究 的方法，为 下面进一步 探究做铺过程T盘2学生1回答垫.解：设直线联立直线AB整理有X2 -由抛物线方1可设点A、由韦达定理】图1pAB的方程为y = kx + ：，ny = kx + 方程和抛物线方程有 0)， X2/ X 2、 B的坐标分别为(

3、X , +)、(X 2-).12 p2 2 p可矢口 x + X = 2 pk，x x = - p 2121 2教学过程教师活动学生活动设计意图由 x 2 = 2 py，得 y = m , y=-.2 PP过点A、 B的切线的斜率分别为y，l = 土 y，|= %x = Xp ，x=x 2p ，于是过点a的切线AP方程为：x 2 xy - 2p = -（x - x1），xx 2整理得y = r x 一十P2 P同理可得：过点B的切线BP的方程为xx 2y = x -=.p 2 p x + xxx联立、，解得x = 1 2 2，y = -2-2 .|x =亨,即（=2 -p所以两条切线交点的轨迹

4、方程为y = -土，这恰是抛物线x2 = 2py的准线.通过这名同学的回答，我们体会证明过程中的几个闪光 点.首先，在设A、B两点的坐标时灵活运用了抛物线方程， 减少了未知数的个数，为简化运算作了铺垫；其次，在寻求 气x2与p的关系时，巧妙地借助“韦达定理”，很快找到了问 题的突破口.二、合作学习，探究新知结合解题过程，仔细观察图形，你能得到那些垂直关系？ 并试着加以证明.（可适当添加辅助线） 通过学生探究，可能得到如下几个结论：结论 1 AP BP.学生回答学生主动探究，合作交流回忆研究的过 程，从中体会研 究的方法，为下 面进一步探究 做铺垫.动画演示结论， 加深学生对结 论的认识和理 解

5、.教师点评，指出 证明过程中的 关键点和突破 口.教师巡视，遇到 学生的问题加 以指导.【证明】由上面可知过点A、B的切线的斜率x=Xx=x=X即kPAX LPkPB学生分组合作共同探究新的 结论易知即kPAX LPkPB学生分组合作共同探究新的 结论易知kPA - kPB土 = -1故 AP BP.结论2连结PF可证PF AB.整个教学过程 中，教师只是启 发、引导，证明 推理过程由学 生来完成，充分 体现学生的主 体地位和教师 的主导作用.uuv x + X【证明】如图2，易知PF = (,p)，翳X2-X2、AB = (X - X , )黑 UUV (X + X )(X 一 X ) X2

6、 - X2PF gAB = 4乂 + h = 0 22故 PF AB.由结论2我们还可以推导出更多结论比如:PF是直角APAB斜边上的高，从而|PF|2 = |FA| |FB .I AP |2 =| AF lg AB II BP |2 =| BF lg BA I| AP |2 + | BP |2 =| AB |2结论3设PA与x轴交于点C , PB与x轴交于点D ,可证 CF AP、DF BP 和 FC FD.【证明】如图3由题意可知【证明】如图3由题意可知学生分组合作， 共同探究新的 结论教学过程X PA与x轴交于点C教学过程X PA与x轴交于点C，点C坐标为（了 ,0），_X PB与x轴交

7、于点D，点D坐标为（了,0），uuvx n由CF - （- Tp），uyuf uuv x - X X p X 2 - p 2可知 CFgPA 1 g+ + a 02222p故CF AP，证明DF BP思路相同（略）.由上面可知在四边形FCPD中，三个角匕FCP、ZCPD、 /PDF 都是 90，可知 /DFC 也为 90，即 FC FD.（到此，主要的垂直结论均已找出并证明，下面根据课上实 际的情况选择是继续挖掘其他结论还是做练习题.）思考：以AB为直径的圆（即VABP的外接圆）与抛物线的准线有什么位置关系？并证明你的结论.结论4以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于点P.（过半径的外端且垂直与

8、这条半径的直线是圆的切线）通过学生分组 学习，发挥学生 自主学习的能 动性，提高分析 问题和解决问 题的能力，逐步 培养学生的钻 研精神.教学过程学生完成证明【证明】如图4,取AB中点为Q , 则点Q为以AB为直径的圆的圆心， 连接PQ，要证PQ和准线垂直，只需证PQ /)教学过程学生完成证明x + x y + y由点Q坐标为(2,)可知PQ / y轴，I*I 八、-_I v 4y 2 ， 2 / 八 *-*j 本节课重点研究了抛物线中常见的垂直关系，并在此基础上 研究了一些平行关系和重要的圆； ，本节课重点研究了抛物线中常见的垂直关系，并在此基础上 研究了一些平行关系和重要的圆；所以以AB为

9、直径的圆与抛物线的准线相切于点P.结论5由CF AP和DF BP可知，以FA为直径的圆 (即VACF的外接圆)与x轴相切于点C ；以FB为直径的圆 (即VBDF的外接圆)与x轴相切于点D.(证明思路同上)三、应用结论，解决问题刚才同学们的回答很踊跃，总结出来的结论也很有水平， 这说明我们的同学不仅具备了很强的运算求解能力，还具备了 很强的观察能力、归纳能力、探索发现能力，下面我们做一个 练习.(08东城第一学期期末理19题)已知抛物线 x2 = 2py(p 0)，过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点， 抛物线在A,B两点处的切线相交于点Q.求OA - OB的值；(II)求点Q的纵坐标；(m)

10、证明：|QF=|a| |BF .p(I)解：设直线l的万程为y = kx +号.ny = kx + ,由 2 可得 x2 - 2pkx - p2 = 0.x 2 = 2 py,则 x + x = 2 pk, x x = - p 2. TOC o 1-5 h z 121 2y - y = (kx + p) - (kx + p)=p.i 2 i 2224uuv uuv3OA - OB = x x + y y =-_ p 2.应用前面结论 的证明思路，完 成练习题.学生在合作 交流的探究氛 围中思考、质 疑、倾听、表述， 体验到成功的 喜悦，学会学 习、学会合作.深化前面结论 的证明思路，增 强解决

11、圆锥曲 线综合题的信 心，为高考打好 基础.1 21 24应用前面结论 的证明思路，完 成练习题.学生在合作 交流的探究氛 围中思考、质 疑、倾听、表述， 体验到成功的 喜悦，学会学 习、学会合作.深化前面结论 的证明思路，增 强解决圆锥曲 线综合题的信 心，为高考打好 基础.-x 2(II)由 x1 2 3 = 2py，可得 y =2 P，x y =-p应用前面结论 的证明思路，完 成练习题.x在点A处的切线方程为即y = x -P在整个新知形 成过程中，教师 的身份始终是 启发者、鼓励者 和指导者，以提 高学生抽象概 括、分析归纳及 语言表述等基 本的数学思维 能力.， x在点B处的切线方

12、程为y = x -教学过程P教学过程,，, p可知易知即点Q的纵坐标为-=- 2可知易知(m)证明：如图5,连接pf.由(I)k - k = ：4 = 土 = -1，即 AP BPPA PB p 2p 2可证PF AB，所以 Qf要注意提高计算和推理论证能力，树立转化意识、方程思想， 学会用代数的方法研究几何图形及其性质，树立事物间普遍联 系，在一定条件下可以相互转化的观点. = |a| |BF .要注意提高计算和推理论证能力，树立转化意识、方程思想， 学会用代数的方法研究几何图形及其性质，树立事物间普遍联 系，在一定条件下可以相互转化的观点.四、课堂小结，提炼升华由于时间关系今天我们就探究到

13、这里，课下请同学们想一 想这个题的一些结论能否推广，或者改变一个条件是否还能得 到类似的结论吗？教学设计说明圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分知识的特点是：综合性强，问题涉及函数、方程、不等式、 三角、平面几何等很多方面的知识，蕴含着数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法，对学生的数 学学习能力及思维能力的考察要求较高。综合圆锥曲线这部分知识的特点和我校学生的实际情况，我们决 定以抛物线为突破口，把难题分解，化整为零，通过基本题型的联系，力争让学生掌握基本数学思想和方 法，增强学生解决圆锥曲线综合问题的信心。圆锥曲线中有很多关于焦点弦的问题，而且高考中也经常出现有关焦点弦的问题。导数是研

14、究函数的 一个重要工具，特别是在研究解析几何的切线问题时，利用它可以解决很多综合性问题。综合上面两点， 我们选择了“过抛物线焦点弦端点的切线的探究”这一课题，旨在充分发挥学生自主学习、提高分析问题 和解决问题的能力，逐步培养学生的钻研精神。课前，我们就“过抛物线焦点弦端点的切线的交点的轨迹”做了探究，目的是让学生掌握常见的解决 圆锥曲线问题的思路和方法，本节课以上节课为基础继续探究过抛物线焦点弦端点的切线的一些问题。本节课首先通过复习回顾“过抛物线焦点弦端点的切线的交点的轨迹”让学生体会研究的方法和常见 的数学思想，为下面探究做铺垫。接着引导学生结合解题过程，仔细观察图形，能得到那些垂直关系？并 试着加以证明。（可适当添加辅助线）由于有前面的铺垫学生能够很容易看出结论1 AP BP，证明 也比较简单。下面的结论2 PF AB通过学案的提示，也比较容易证明。在结论2的基础上，学生 还能推导出更多的结论，这将提高学生学习的积极性，发挥学生学习的能动性。有了前面两个结论的成就 感，“结论3设PA与X轴交于点C，PB与X轴交于点D，可证CF AP、DF BP和FC FD ” 在学生分组的研讨下也不难发现。到此，重要的几个垂直关系找到了，而且通过几