数字信号处理：dsp09 希尔伯特变换与实信号的复数表示

1、数字信号处理6.希尔伯特变换与实信号的复数表示 8/11/20221马尽文6.1实连续信号的复信号表示和希尔伯特变换 希尔伯特变换：既可看作一种简单的滤波，又 可看作 分析信号的一种工具。8/11/20222马尽文6.1实连续信号的复信号表示和希尔伯特变换A.实连续信号的复表示 实余弦信号 由复指数性质得： 依然是实信号 这样称 为 的复信号 对于一般的实连续信号 可作类似的讨论 实连续信号 （满足 ）8/11/20223马尽文6.1实连续信号的复信号表示和希尔伯特变换 由于 ，所以 令 则称 是 的复信号（或复表示） 8/11/20224马尽文6.1实连续信号的复信号表示和希尔伯特变换 设

2、的频谱为 ，则有 因此，复信号的频谱 在 时为零。B.希尔伯特变换 从 与 之间的关系看， 是由 滤波得到的， 滤波器频谱 为： 即8/11/20225马尽文6.1实连续信号的复信号表示和希尔伯特变换 令 称 为 的希尔伯特变换。 从而，一个信号的希尔伯特变换相当于一次滤波变换， 即8/11/20226马尽文（由于 ）6.1实连续信号的复信号表示和希尔伯特变换 希尔伯特滤波频谱 还可以表示为 由上式知，一个信号经希尔伯特变换后，相位谱要做90 度相移。因此，希尔伯特变换又称为90度相移滤波或垂 直滤波。 希尔伯特反变换，即8/11/20227马尽文6.1实连续信号的复信号表示和希尔伯特变换 设

3、 由于 ，所以有 8/11/20228马尽文6.2 希尔伯特变换的例子 例1.设 ，求 的希尔伯特变换。 解：由第5章知 经过希尔伯特变换后，频谱变为8/11/20229马尽文6.2 希尔伯特变换的例子 因此， 例2.设 ，其中 ， 为常数，求 的希尔伯特变换 。 解： ，其中 因此，可直接求得信号 的频谱 为8/11/202210马尽文6.2 希尔伯特变换的例子 由于 ， 若 时，有近似公式 因此，对希尔伯特滤波频谱 有8/11/202211马尽文6.2 希尔伯特变换的例子 对应于上面的频谱近似公式，有信号的近似公式： 即 例3.设信号 为 ，其中 ， 的频谱为 ， ，满足以下关系： 其中

4、为正常数，设 ， 的希尔伯特变换为 ， ， 则 。8/11/202212马尽文 解：根据第3章第8题， 的频谱为6.2 希尔伯特变换的例子 根据其表达式，则有 因此，对希尔伯特滤波频谱 有：8/11/202213马尽文6.2 希尔伯特变换的例子 由于 时， ，所以上式可写为： 即 例4.设信号 为 其中 和 的频谱在 时为0， 则 的希尔伯特变换 为 其中 。8/11/202214马尽文6.2 希尔伯特变换的例子 解：根据 得 由例1知， 再根据例3，得8/11/202215马尽文6.3 连续和离散实信号的包络、瞬时相位和瞬时频率 实连续信号A.一种窄带信号 窄带雷达信号可表示为 其中 是描述

5、振幅变化的，当 变化缓慢时， 起到快速振荡函数 的包络作用。因此， 称为窄带信号的包络。8/11/202216马尽文6.3 连续和离散实信号的包络、瞬时相位和瞬时频率 在余弦振荡信号 中，我们令 由于 反映了随时间变化的相位特点，因此我们称 为窄带信号 的瞬时相位。当 变化缓慢或为常数时 ，则 ，反映了频率特点，因此 称为窄带信号 的瞬时频率。若 ， ， 满足例4的条件，则8/11/202217马尽文6.3 连续和离散实信号的包络、瞬时相位和瞬时频率 由此得B.实连续信号的包络、瞬时相位、瞬时频率 对一般的信号 ，它的希尔伯特变换为 ，其解析信 号为： 令8/11/202218马尽文6.3 连

6、续和离散实信号的包络、瞬时相位和瞬时频率 根据对窄带信号的分析，我们作如下定义： 定义为 的包络。 定义为 的瞬时相位。 定义为 的瞬时频率。 它们之间的关系： （近似计算公式）8/11/202219马尽文6.3 连续和离散实信号的包络、瞬时相位和瞬时频率C.实离散信号的希尔伯特变换及其包络、瞬时相 位、瞬时频率 对于离散信号 ，满足 或 。 这时根据抽样定理，从 可恢复出 。 根据上式，离散希尔伯特滤波频谱应为： 8/11/202220马尽文6.3 连续和离散实信号的包络、瞬时相位和瞬时频率 根据上式知，离散希尔伯特滤波因子 为8/11/202221马尽文 从另一方面， 也可由 表示出来，即

7、6.3 连续和离散实信号的包络、瞬时相位和瞬时频率 设 为实离散信号， 为离散希尔伯特滤波因子，令8/11/202222马尽文6.3 连续和离散实信号的包络、瞬时相位和瞬时频率 作如下定义： 称为 的希尔伯特变换。 称为 的包络。 称为 的瞬时相位。 称为 的复信号。 称为 的瞬时频率。其中8/11/202223马尽文6.3 连续和离散实信号的包络、瞬时相位和瞬时频率 离散信号的希尔伯特逆变换：8/11/202224马尽文6.4物理可实现信号的希尔伯特变换 连续信号 若满足 则称其为物理可实现的。 对于离散信号 如果满足 则称其为物理可实现的。 显然，物理可实现信号为单边（面）信号。 连续的物

8、理可实现信号的希尔伯特变换可按前3节方式讨 论。本节仅讨论对离散的物理可实现信号的希尔伯特变换。8/11/202225马尽文6.4物理可实现信号的希尔伯特变换A.物理可实现离散信号的希尔伯特变换 设 为物理可实现信号， 可取复值， 的频谱为 设 和 分别为 的实部和虚部，即 令 由于 和 都是取实值的，因此有8/11/202226马尽文6.4物理可实现信号的希尔伯特变换 由 和 的关系知： 由于 是物理可实现的，因此 对上式取共轭，得：8/11/202227马尽文6.4物理可实现信号的希尔伯特变换 对比上式得： 或 令 则有 我们称上式为 和 的希尔伯特变换。8/11/202228马尽文6.4

9、物理可实现信号的希尔伯特变换 下面来研究 或 与 的关系，由上述关系得： 或 令 于是有 第一式称为 和 的希尔伯特变换，而第二式称为 和 的希尔伯特变换。 8/11/202229马尽文6.4物理可实现信号的希尔伯特变换 在上式关系中，仅考虑了 。当 时，我们只有 一个关系式 这时 ， 都为实数。因此，不能由 确定 和 或由 确定 和 。这说明，对物理可实现复信 号，频谱的实部不能完全决定虚部。但我们可以确切地说，频谱实部除相差一个点(0点)外完全确定虚部，反之亦然。 当 为实数时，则8/11/202230马尽文6.4物理可实现信号的希尔伯特变换 这时B.物理可实现实信号的希尔伯特变换 考虑物

10、理可实现实信号 。由于 为实数，物理可 实现信号由A中最后两个公式给出，现在进一步讨论 和 的性质。 由于 是实的，则有8/11/202231马尽文6.4物理可实现信号的希尔伯特变换 即 这说明： 为实的， 为纯虚数。 是 的偶函数； 是 的奇函数； 而且 代入希尔伯特变换公式得8/11/202232马尽文6.4物理可实现信号的希尔伯特变换 进一步得： 偶部 奇部 例1.设物理可实现信号 ，求 的 频谱 ， ， ，以及 ， 对应的信号。 解: 易知8/11/202233马尽文6.4物理可实现信号的希尔伯特变换 用 表示 得 由上知， 对应的信号 为 类似可以把 表示为 相应的信号 为8/11/202234马尽文6.4物理可实现信号的希尔伯特变换 例2.已知物理可实现实信号 的频谱 的实部为 求信号 ，频谱 和它的虚部 解：用 表示 得 对应的信号为8/11/202235马尽文6.4物理可实现信号的希尔伯特变换 由希尔伯特变换得 同时， 的频谱及其虚部为8/11/202236马尽文C.频谱实部与虚部的希尔伯特变换6.4物理可实现信号的希尔伯特变换 考虑单位阶跃信号 的频谱为 其表达式为根据希尔伯特变换 得8/11/202237马尽文6.4物理可实现信号的希尔伯特变换