数字信号处理：dsp06 线性时不变滤波器与系统

1、数字信号处理4.线性时不变滤波器与系统 8/11/20221马尽文8/11/20222马尽文8/11/20223马尽文8/11/20224马尽文4.1线性时不变系统及其时间响应函数A.系统的一般定义 从数学上讲，一个系统就是对信号的一个变换。 输入信号 输出信号 滤波器自然是一个系统，本书中的系统即指滤波器。 系统基本分类：线性，非线性，时不变，时变等。B.线性时不变系统8/11/20225马尽文4.1线性时不变系统及其时间响应函数 线性性： 时不变性：即输出信号的波形不随输入信号的延迟而改变。同时输出信号的延迟和输入信号的延迟是同步的，即延迟时间都是 。 线性时不变系统：系统既是线性的，又是

2、时不变的。按频谱分析设计的滤波器： 是一个线性时不变系统线性时不变滤波。8/11/20226马尽文4.1线性时不变系统及其时间响应函数C.离散 函数 离散 函数定义为： 在数学中， 称为克罗内克（Kronecker)函数。 的频谱为： 对于任何信号 ，有8/11/20227马尽文4.1线性时不变系统及其时间响应函数 意义：对于褶积而言， 像是一个单位信号，任何信号 与它褶积，其结果仍是原信号。D.线性时不变系统的时间响应函数 线性时不变系统 ，定义 为系统的时间响应函数或滤波因子。 相应地， 的频率响应函数 和其Z变换 为8/11/20228马尽文E.线性时不变系统的输出信号4.1线性时不变系

3、统及其时间响应函数 对于输入信号 ，输出信号 为 这表明，与输入信号 褶积的信号 为系统的时间响 应函数。从而，线性时不变系统实际上是对输入信号 用 进行线性滤波。8/11/20229马尽文4.2线性时不变系统的因果性和稳定性 另外，由于 通过Z变换得A.因果性 若线性时不变系统的时间响应函数 满足 则称线性时不变系统为因果的，或物理可实现的。（因果性的判别和详细性质，将在第九章讨论）B.稳定性8/11/202210马尽文4.2线性时不变系统的因果性和稳定性 稳定的含义：当输入信号为有限的时候，希望输出信号 也是有限的（指信号本身有限，或者信号的 能量是有限的）。对于一个离散信号 ，如果存在一

4、个正数 ，使得 则称 是有界的。 对于一个系统或滤波器，当输入信号 是有界的，输出 信号 也是有界的，则称其为具有有界输入有界输出（BIBO)稳定性。 一、有界输入有界输出的稳定性8/11/202211马尽文4.2线性时不变系统的因果性和稳定性定理 1. 线性时不变系统 具有有界输入有界输出 （BIBO)稳定性，充分必要条件为 证明：必要性 对任何输入信号 ，输出信号 为 在上式中，取 ，并令8/11/202212马尽文4.2线性时不变系统的因果性和稳定性 此时 为有界信号，按有界输入有界输出的性质有 充分性 对任何一个有界输入信号 ，存在一个正数 使得 ，对输出信号 ，有因此，系统具有BIB

5、O稳定性。8/11/202213马尽文4.2线性时不变系统的因果性和稳定性二、能量有限稳定性对于一个系统或滤波器，当输入信号是能量有限的，输 出信号也是能量有限的，则称该系统或滤波器是能量有 限稳定的。定理 2. 线性时不变系统 具有能量有限稳定性的充 分必要条件是： 的频谱 是有限的，即 存在一个正数 ，使8/11/202214马尽文4.3系统的组合串联、并联及反馈注意： 一个系统具有有界输入有界输出稳定性，则一定 具有能量有限稳定性，反之则不然。8/11/202215马尽文4.3系统的组合串联、并联及反馈A.串联因此，串联后的时间响应函数为8/11/202216马尽文4.3系统的组合串联、并联及反馈 用Z变换表示，则 或B.并联8/11/202217马尽文4.3系统的组合串联、并联及反馈 根据并联结构得： 相应的Z变换为 则，并联后滤波器的滤波因子为C.反馈8/11/202218马尽文4.3系统的组合串联、并联及反馈8/11/202219马尽文4.3系统的组合串联、并联及反馈 由反馈滤波器的结构可知： 因此， 即 作相应的Z变换，则8/11/202220马尽文4.3系统的组合串联、并联及反馈 反馈滤波器 递归滤波器（第11章） 可以看出， 不能直接由 ， 表出