2021-2022学年吉林省长春市第二高一下学期期中考试数学试卷

1、长春二2021-2022学年度高一下学期期中数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数，则复数的虚部为（ ）A. 1B. C. D. 2. 一个袋子中放有质地均匀的3个白球，3个红球，摇匀后随机摸出3个球，与事件“至多摸出1个白球”互斥而不对立的事件是（ ）A. 摸出3个红球B. 至少摸出1个红球C. 至少摸出1个白球D. 摸出3个白球3. 已知向量，且，方向相反，则的值为（ ）A 1B. C. D. 4. 袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌均匀后从中随机摸出3个球，现在用数字0，1表示红球，数字2，3，4

2、，5表示蓝球，通过计算器随机模拟10次该试验，得到如下数据：024 234 213 012 034 125 035 345 134 304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为（ ）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形，已知点是斜边的中点，且，则的边长为（ ）A. B. C. D. 6. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 7. 中，点为上的点，且，若，则的值是（ ）A. B. C. 1D. 28. 在中，角，所对边分别为，下列结论正确的是（ ）A

3、. 若，则为锐角三角形B. 若为钝角三角形，则C. 若，则为等腰直角三角形D. 若，则符合条件的只有一个二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 某人射箭10次，射中的环数依次为：8，7，8，9，7，6，9，8，10，8关于这组数据，下列说法正确的是（ ）A. 这组数据的众数是8B. 这组数据的平均数是8C. 这组数据的中位数是8D. 这组数据的方差是10. 下列说法错误是（ ）A. 一对夫妇生2个小孩，恰好一男一女的概率为B. 掷一颗骰子2次，两次向上的点数相同的概率为C. 若，为两个任意事件

4、，则事件对立事件是事件，都发生D. 试验次数足够多，事件发生的频率其实就是事件发生的概率11. 关于向量，下列说法错误的是（ ）A. ，则B. C. 若，则D. 有且只有唯一的实数，使得12. 设，是复数，则下列说法中错误的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡上）13. 某篮球运动队有8名运动员，身高（单位：cm）如下：208，186，216，194，198，201，192，211，则身高的第40百分位数是_cm14. 底面是等腰直角三角形的直三棱柱，若该三棱柱的六个顶点都在球的表面上，则球的表面积为_

5、15. 如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是_16. 已知、分别为的三个内角、的对边，点是边的中点，若，则的面积最大值为_四、解答题（本大题共6小题，共70分请将详细解答过程写在答题卡上）17. 已知复数（1）若复数为纯虚数，求实数的值；（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围18. 已知向量，（1）若，求实数值；并求出此时与同向的单位向量的坐标；（2）若，且，三点共线，求实数的值19. 在；，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整题目在中，内角，的对边分别为，已知_（1）求角；（2）若，求和20. 小明家住在卫星广场，每天骑车上学，已知他从家

6、出发要经过有3个交通红绿灯路口（只考虑红灯和绿灯，黄灯忽略），假设他在每个十字路口遇见红灯的事件是相互独立的，且每个路口遇到红灯的概率依次为，（1）求小明上学途中遇见红灯的概率；（2）设小明上学途中遇见的红灯个数为，则可以取哪些值？通过计算判断，小明上学途中最有可能遇见几个红灯？21. 高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示（1）试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；（2）已知100名学生落在第二组的平均成绩是32，方差为7，落在第三组的平均成绩

7、为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数和总方差；（3）已知年级在第二组和第五组两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组的概率22. 如图所示，圆锥的底面半径为2，为母线的中点，侧面展开图是一个中心角为的扇形（1）求圆锥的表面积和体积；（2）若圆锥的底面圆周和和顶点都在球的球面上，求球的表面积；（3）若一只蚂蚁从点出发沿着圆锥侧面爬行，穿过母线，绕圆锥侧面爬行一周后来到母线的中点，试求蚂蚁爬行的最短路程 答案19.ABCD10.AD9.ABCD10.AD9.ABCD10.AD10.AD11.ABD11.AB

8、D 12.ABC13. 19814. 15. 616. #17.（1）由题意得：，解得：或3，解得：且，综上：（2）由题意得：，解得：或，解得：，所以，实数的取值范围是18.（1）,由于，所以.，所以，与同向的单位向量的坐标为.（2），由于三点共线，所以，所以.19.（1）若选：，由正弦定理得，由于，所以由于，所以.若选：，由正弦定理得,，由于，所以，所以为锐角，所以.（2）依题意，由余弦定理得，解得（负根舍去），由正弦定理得.20.（1）因为小明每个十字路口遇见红灯的事件是相互独立的，所以小明上学途中没有遇见红灯的概率为，根据对立事件的概率知，小明上学途中遇见红灯的概率为.（2）由题意，的可能取值为0,1,2,3，由概率可知，小明上学途中最有可能遇见1个红灯.21.（1）由图可得，众数为，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组所占的频率分别为，故平均数为（2）由图可得，第二组的人数为人，第三组的人数为，故.设第二组中10人的分数分别为，第三组中20人的分数分别为，则由题意可得，即，故（3）由题，第二组和第五组的人数比为，故在第二组和第五组分别抽1人和3人.记第二组中的1人为，第五组中的3人分别为，则这4人中随机抽取2人作为学生代表，所有可能的情况有,共6种情况，其中这两名学生代表都来自第五组的有,3种情况.设“从这4人中随机抽取2人作为学生代表，这两名学生代表